Магистерская работа

Автор:Апухтин А.В.
Руководитель: доцентТолочко О.И.
Тема: Анализ электромеханических систем с наблюдателями и регуляторами состояния.




ВВЕДЕНИЕ


В данной работе рассматриваются методы синтеза регуляторов состояния и наблюдателей состояния с помощью программного пакета Matlab 5.3.

Разработки выполнялись на основе современной теории управления, которая базируется на концепции пространства состояния. Исследования проводились с использованием метода математического моделирования на персональном компьютере с применением пакета Matlab 5.3 и его расширения Simulink.

В данной работе рассмотрены методы синтеза регулятора состояния с промежуточным преобразованием в форму Фробениуса и без, описаны функции позволяющие реализовать синтез в среде пакета Matlab 5.3, рассмотрен конкретный пример синтеза регулятора состояния для системы ТП-ДЭМС. Также разработан метод синтеза асимптотического наблюдателя состояния в среде пакета Matlab 5.3.

1 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ СОСТОЯНИЯ

Построение замкнутой системы управления электроприводом основывается на использовании обратных связей. Важным аспектом при проектировании систем управления с обратной связью является устойчивость системы, которая должна быть обеспечена во всех режимах работы. Кроме того, обратные связи дают возможность обеспечить требуемое качество переходного процесса системы и её точность.

При модальном управлении систему замыкают по переменным состояния. Если при этом используются все переменные состояния, то полученный регулятор называют регулятором состояния полного порядка. С его помощью можно обеспечить любое желаемое распределение корней характеристического полинома замкнутой системы на комплексной плоскости и тем самым добиться желаемого качества переходных процессов.

Во время синтеза систем модального управления используют стандартные формы характеристических полиномов (фильтр Баттерворта, полином с биномиальными коэффициентами и полиномы, которые обеспечивают минимизацию некоторого оптимизирующего функционала) и многие другие.

Если некоторые переменные состояния по тем или другим причинам измерить невозможно, то недостающую информацию можно получить с помощью так называемых наблюдателей состояния (Н.С.).

Наблюдатель, выходными координатами которого есть все переменные состояния (восстановленные и измеренные) объекта регулирования, вместе с регулятором состояния образуют модальный регулятор (М.Р.).

Рассмотрим объект регулирования с одним входом, описываемый уравнением состояния:

x’(t)=Ax’+Bu (1.1)

Допустим, что все переменные состояния Xi(t), i=1,2,…,n могут быть измерены при помощи соответствующих датчиков и использованы в дальнейшем для построения регуляторов состояния. Систему в этом случае называют системой с полной информацией о состоянии. Образуем линейный закон управления при помощи обратной связи по всем переменным состояния, вида:

u(t)=-Kx(t); (1.2)

где K-матрица коэффициентов усиления обратной связи размерности (1,n):

K=[k1,k2,…,kn];

Если этот закон использовать в системе, которая описывается уравнением 1 системы, тогда замкнутая система управления будет описываться следующим уравнением состояния:

x'(t)=(A-BK)x(t) (1.3)

где Aз=А-ВК - матрица состояния замкнутой системы

Структурная схема объекта управления с регулятором состояния, которая отвечает этому уравнению, приведена на рисунке 1.1.

Проектирование регуляторов состояния состоит в таком выборе матрицы коэффициентов, чтобы можно было получить желаемые распределения полюсов (желаемые коэффициенты характеристического полинома) представленной системы.

Рисунок 1.1. Структурная схема объекта управления с регулятором состояния.

Существует несколько методов синтеза регуляторов состояния:

  1. С промежуточным преобразованием в форму Фробениуса;
  2. По матричным формулам;
  3. По формуле Аккермана;
  4. Решением системы нелинейных уравнений, полученной при приравнивании выражений для коэффициентов желаемого и действительного характеристических полиномов замкнутой системы;

Первые три метода требуют определения коэффициентов характеристического полинома объекта регулирования и легко алгоритмизируются, их удобно использовать при решении задачи на ЭВМ. Для решения “вручную” (без ЭВМ или при частичном её использовании) удобнее использовать последний метод.

В качестве примера синтеза регулятора состояния при помощи ЭВМ рассмотрим первый метод.

1.1. Синтез регулятора состояния с промежуточным преобразованием в форму Фробениуса.


Этот метод синтеза регулятора состояния состоит в желаемом расположении корней характеристического уравнения системы (1.3), т.е. собственных значений матрицы замкнутой системы [A-BK], на комплексной плоскости корней. При решении этой задачи синтеза будем полагать, что матрицы А, В представлены в одной из канонических форм, а именно в форме Фробениуса:

А*=PAP–1;

В*=PB;

Преимущество представления матриц А, В, в форме Фробениуса А*, B* состоит, во-первых, в более простом способе аналогового моделирования уравнений состояния, так как эти уравнениях содержат минимальное число ненулевых элементов, и, во-вторых, в том, что в этом случае удаётся наиболее просто сформулировать алгоритм синтеза регулятора состояния, позволяющий желаемым образом разместить собственные значения матрицы [A*-K*B*] в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Для выполнения синтеза регулятора состояния по этому методу используют следующий алгоритм:

  1. По известным структуре ОР составляется уравнение состояния:

    2. (1.4)

  2. Вычисляют матрицу управляемости:

    3. ; (1.5)

    и проверяют совпадение ранга этой матрицы с размерностью системы.

  3. Находят выражение для характеристического полинома ОР и нормируют его по коэффициенту при старшей степени оператора Лапласа:

    4. . (1.6)

  4. По коэффициентам Gp(p) записывают пару матриц А*, В* в форме Фробениуса.
  5. Задают желаемый характеристический полином Gж(p) замкнутой системы:

    (1.7)

  6. По формуле вычисляют компоненты вектора обратной связи К*, который записан в форме Фробениуса.
  7. Вычисляют матрицу преобразования Р:

    8. (1.8)

    P1=[0, 0, 0, ... 0, 1]Q-1упр;

    С её помощью преобразуют коэффициенты вектора К* в исходный базис К=К*Р.



1.2. Синтез регулятора состояния без преобразования в форму Фробениуса.


Кроме рассмотренного, имеются алгоритмы синтеза регулятора состояния, которые позволяют решать задачи, не используя преобразование уравнений к форме Фробениуса.

В одном из них коэффициенты вектора обратной связи К по всем переменными состояния находятся из выражения:

K=[(M*QTупр)-1× (g-a)T]T; (1.9)

Коэффициенты матриц определяются из характеристических полиномов разомкнутой (1.5) и замкнутой (1.6) системы.

Так как матрица М является треугольной с единицами на главной диагонали, то она всегда является невырожденной. Поэтому чтобы существовало решение задачи, необходимо и достаточно, чтобы пара матриц [А, В] была бы полностью управляемой.

Первые три пункта алгоритма синтеза в рассматриваемом случае остаются такими же, как и в алгоритме, приведенном выше; четвёртый пункт опускается; затем по формуле (1.9) определяют матрицу обратной связи К, предварительно определив при этом матрицы М, QTупр, a,g и [M×QTупр]-1.



2 СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ СОСТОЯНИЯ


При построении регуляторов состояния полного порядка необходимо измерять все компоненты вектора состояния с помощью датчиков, которые подключены непосредственно к объекту управления. Такое измерение координат объекта не всегда возможно. Поэтому часто вместо совокупности датчиков используют электронные устройства, которые называют наблюдателями состояния.

Входными сигналами для них являються измерянные непосредственно на объекте входной u(t) и выходной y(t) сигналы, а выходными – восстановленные (выработанные самим наблюдателем) переменные состояния xi^(t). Точное воспроизведение переменных состояния наблюдателем состояния невозможно, так как наблюдатель состояния и цепи измерения имеют инерционные элементы. Таким образом, восстановленный вектор состояния x^(t) представляет собой оценку реального вектора x^(t).

Задачу синтеза параметров наблюдателя состояния можно сформулировать следующим образом:

Дана математическая модель объекта управление в виде уравнения состояния и уравнение выхода:

(2.1)

где;

A– матрица коэффициентов переменных состояния;

В-матрица входа;

C-матрица выхода;

Кроме матриц A, B и C известны также измерянные непосредственно на объекте входной и выходной сигналы. Необходимо построить наблюдатель состояния, который бы вместо x(t) выдавал его оценку x^(t)



2.1. Синтез асимптотического наблюдателя состояния


На рисунке 2.1 приведена схема асимптотического наблюдателя состояния, в котором используется измеренный выходной сигнал объекта.

В схеме предусмотрена автоматическая минимизация отклонения оценки x^(t) от его истинного значения x(t), за счёт того, что наблюдатель состояния построен как замкнутая система с отрицательными обратными связями. Выход y(t)=Cx(t) сравнивается с выходом наблюдателя y^(t)=Cx(t), их разность представляет собой сигнал несогласования, который через матрицу коэффициентов усиления с наблюдателя L подается на входы интеграторов.

Проектирование наблюдателей состоит в таком выборе структуры и параметров матрицы К, чтобы ошибка y~(t)=y(t)-y^(t), а также ошибка x~(t)=x(t)-x^(t) за минимальное время приближалась к нулю.

Рисунок 2.1 Простейшая схема асимптотического Н.С. полного порядка.

Из сравнения уравнения состояния наблюдателя и регулятора состояния видно, что матрицы наблюдателя [А-LС] и регулятора состояния [А-KВ] одинаковые по своей структуре. Поэтому можно перенести методику проектирования регулятора на проектирование наблюдателя состояния.

Cинтез асимптотического наблюдателя можно выполнить в следующем порядке:

  1. Составляется уравнение состояния объекта управления.
  2. Вычисляется матрица наблюдаемости.

    (2.2)

  3. Находится выражение для характеристического полинома замкнутого наблюдателя.

    (2.3)

    где – характеристический полином матрицы А;

    I – диагональная матрица n-го порядка;

    L – матрица коэффициентов усиления обратных связей наблюдателя;

  4. Соответственно стандартной форме записывается пара матриц А, С в каноничной форме фазовой переменной A*, C*.

    (2.4)

    (2.5)

  5. Задают желаемый характеристический полином замкнутого наблюдателя.

  6. Соответственно выражению , i=0,1,…,n-1 рассчитывают коэффициенты усиления матрицы L* записанной в канонической форме фазовой переменной.

  7. Вычисляют матрицу Pн преобразование начальных уравнений состояния к уравнениям состояния записанных в канонической форме фазовой переменной.

    (2.6)

  8. Рассчитываются коэффициенты матрицы обратных связей наблюдателя.

(2.7)



2.2. Синтез наблюдателя состояния в среде пакета Matlab 5.


Рассмотрим синтез наблюдателя состояния непосредственно в среде пакета Matlab 5 и его приложении Simulink.

На рисунке 2.2 изображена структурная схема объекта регулирования с набдюдателем состояния.

Рисунок 2.2. Структурная схема объекта регулирования с наблюдателем состояния.

Выполнив преобразования Aнз(n´n)=A(n´n)-L(n´1)C(1´n), получим:

Рисунок 2.3. Преобразованная структурная схема объекта регулирования с наблюдателем состояния.

Синтез такого наблюдателя обычно ведут по желаемому расположению корней характеристического полинома.

Характеристический полином имеет вид:

Gн(p)=det(pI-Aнз)=det(pI-A+LC); (2.8)

Корни характеристического полинома рассчитываются по формуле:

Pн=eig(A-LC); (2.9)

Корни P являются собственными числами матрицы состояния.

Имея в виду дуальную связь между управляемостью и наблюдаемостью, можно записать:

eig(A-BK)=eig(AT – CT LT); (2.10)

Отсюда следует, что для определения коэффициента наблюдаемости можно использовать функцию acker, которая использовалась для определения коэффициента регулятора состояний.

K=acker(A,B,p);

P=eig(A-BK);

(2.11)

A'нз=A'-C'L'; (2.12)

Прежде чем синтезировать наблюдатель состояния необходимо проверить наблюдаемость матрицы А.

Qn=obsv(A); (2.13)

Затем определяется ранг матрицы А.

R=rank(Qn); (2.14)

Если матрица А наблюдаема, то R=n

Желаемый характеристический полином наблюдателя:

Gn(p)=pn a n w n pn-1 +…+ a 1 w nn-1 p + w n; (2.15)

w н>w 0;

Чем больше w н/w 0, тем меньше отличается поведение системы, замкнутой по собственным координатам, от поведения системы замкнутой через Н.С. и тем меньше чувствительность системы к изменениям параметров объекта регулирования.

Синтез наблюдателя в пакете Matlab 5 можно разделить на пять этапов:

  1. Набрать в Simulinkмодель той части объекта регулирования, который будет восстанавливаться наблюдателем. Отметить входной и выходной сигналы портами и сохранить эту модель в файле.
  2. Определить порядок расположения переменных состояния в модели, используя функцию:

    [sizes,x0,xstr]=model;

    model – имя файла, в котором записана модель Н.С.

  3. С учётом полученной информации собрать модель замкнутого наблюдателя. Отметить выходными портами сигналы, по которым будет выполняться замыкание системы, а входными – сигнал управления и контролируемый сигналы. Сгруппировать наблюдатель в подсистему, установить режим (show port labels). Для удобства работы с подсистемой (sybsystem) желательно изменить названия входных и выходных портов (inp k,out k) именами соответствующих сигналов.
  4. Подключить наблюдатель в систему управления замкнутую по собственным координатам. Сравниваем поведение восстанавливаемых и реальных координат.

  5. Замкнуть систему через наблюдатель.



ВЫВОДЫ

В этой работе разработаны методы машинного синтеза наблюдателей и регуляторов состояния. По результатам проведенной работы можно сделать следующие выводы: пакет Matlab значительно повышает скорость синтеза и анализа систем автоматизированного управления электроприводом, он позволяет проанализировать эти системы в любом режиме (динамическом или статическом), получить графики переходных процессов, он имеет эффективные средства для решения задач по обработке данных, анализу и фильтрации сигналов, символьным вычислениям и моделированию блочно заданных систем. Использование пакета Matlab позволяет повысить скорость и надёжность синтеза.