Введение временной задержки в передачу сигналов по связям вносит существенные усложнения в поведение локально связанных осцилляторов. Рассмотрим простейшую систему двух фазовых осцилляторов с задержками
Пусть W - частота, на которой синхронизуются осцилляторы (dq1/dt = dq2/dt = W), а f - соответствующая разность фаз (f=q1(t)-q2(t)). Как показали X. Шустер и П. Вагнер [107], введение задержки t приводит к следующим важным результатам: для данной пары (К,t) существует несколько решений Wi(К, t), fi(К, t) с различными размерами областей притяжения и различной устойчивостью (в то же время, очевидно, что при отсутствии задержки существует единственное решение); на плоскости (К, t) существуют критические линии, при пересечении которых устойчивые решения W, f резко изменяют свои значения.
В работе X. Шустера и Д. Каммена [86] на двумерной решетке исследовалась синхронизация в смысле ОС1 большой сети фазовых осцилляторов, связанных с ближайшими соседями. Система уравнений для такой сети является обобщением (2.17), включая задержку t в передачу сигналов от соседей и белый шум hi(t) с дисперсией T2 (T - аналог температуры). Рассматривался случай wi=w0.
Расчеты показали, что с ростом величины задержки t средняя частота
уменьшается (<*> - среднее по
вероятностному пространству). Кроме того,
динамика системы определяется значениями
температуры T. Для высоких температур
возрастает пространственная
неоднородность в распределении фаз и
система довольно быстро достигает
минимальной из возможных частот
синхронизации. Для низких температур
пространственная неоднородность
маловероятна и система может долго
находиться в метастабильном состоянии
прежде, чем перейдет в состояние с
минимальной частотой.
Аналитический результат был получен для системы из двух осцилляторов. Переход к новым переменным позволил исключить из системы задержку t и определить функцию Ляпунова новой системы. Для однородной ситуации (q1 - q2 = 0) эта функция имеет локальный минимум, глубина которого возрастает с ростом К и задержки t. При пространственной неоднородности фаз (q1 - q2 ¹0) локальный минимум становится меньше и исчезает для q1-q2=pk/2 (k=±1,+3,...). Поэтому пространственная неоднородность фаз позволяет системе достигнуть состояния с минимальной частотой, соответствующей глобальному минимуму функции, не проходя через ее локальный минимум.