УДК 621.3.05:519.2

 

Е.Г. Курінний, докт.  техн. наук,     Н.М. Погрібняк (Донецьк. держ. техн. ун-т, Донецьк)

 

ІНЕРЦІЙНЕ ЕНЕРГЕТИЧНЕ ЗГЛАДЖУВАННЯ ВИПАДКОВИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ ПРОЦЕСІВ

Техническая электродинамика - 1990г.- №3-с.3-6

 

Розглянуто типову задачу оцінки впливу випадкових електричних процесів на мережі та електроприймачі. На прикладі розрахунку температури перегріву провідника дається рішення шляхом імітації випадкових електричних навантажень.

 

Рассмотрена типичная задача оценки воздействий случайных электрических процессов на сети и электроприемники. На примере расчета температуры перегрева проводника дается решение путем имитации случайных электрических нагрузок.

 

Вихідні положення. Якщо оцінюється вплив електричних процесів на мережу та електроприймачі, то потрібно враховувати, принаймні, потужність процесів і інерційність об’єктів. Тому в теорії електромагнітної сумісності типовою є задача про інерційне енергетичне згладжування [7], яка полягає в знаходженні характеристик рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку, до правої частини якого входить квадрат досліджуваного випадкового процесу.

Існуючі аналітичні рішення у вигляді рядів не завжди придатні до практичного застосування, тому потрібно переходити до методів імітації.

Методика імітації. Існує велика кількість методів імітації випадкових процесів, із яких природно застосовувати методи, відображаючи фізику розв’язування задачі. Оскільки процеси в системах електропостачання ергодичні, їх можливо імітувати у вигляді однієї реалізації. Однак, не зважаючи на більшу наочність імітації «по реалізації», все ж доцільніше імітувати випадкові процеси у вигляді ансамблю реалізацій. Це дозволяє отримувати характеристики стаціонарного  режиму одразу після закінчення перехідного процесу (приблизно через 5 – 6Т), а також вивчати перехідний процес змінень доз.

Кожна реалізація доз розраховується по реалізації навантаження відповідно з інтегралом Дюамеля, починаючи з нульового значення дози. Статистична функція або щільність розподілу та інші характеристики доз (знак ~) для потрібного моменту часу розраховуються по перерізу ансамблю.

Точність імітації забезпечується вибором великої кількості реалізацій у відповідності з відомими методами оцінки погрішностей відтворення тих або інших характеристик. Доцільно перевіряти точність імітації для поодиноких випадків, коли аналітичне рішення відомо.

Теоретично можливо, але малоймовірно, що в силу псевдовипадковості роботи датчиків випадкових чисел між реалізаціями виникне зв’язок. Для виключення цього слід імітувати m ансамблів по N реалізацій в кожному, а шукані характеристики знаходити як середні значення по m. Досвід показує, що достатньо прийняти m=20.

Нормальні процеси. Реалізації нормального випадкового процесу з експоненціальною КФ можливо отримати різними методами. Найбільш повно фізичну суть формування навантаження групи електроприймачів відображає метод елементних процесів [7], за яким імітація здійснюється у вигляді суми елементних процесів з КФ

 

                                             .

 

Ця КФ залишається експоненціальною з тим же параметром, тому для її отримання істотно взяти розглянуту вище послідовність прямокутних імпульсів і пауз з показовими розподілами тривалостей.

Сума елементних процесів дає біноміальний розподіл навантаження, який при великому n наближається до нормального: тим краще, чим менше величина . Якщо n однакові,  збіжність найкраща при k_в=k_o=0,5, що і прийнято далі. У довіднику [1] дається максимальна оцінка ε<10^-3, яка веде до нерівності n>4·10⁶. Така велика кількість елементних процесів може знадобитись, коли у правій частині вихідного диференціального рівняння будуть похідниці. У розгляданому випадку цього нема, тому збіжність до нормального розподілу будемо оцінювати по близькості статистичного коефіцієнту до значення 1,65. Розрахунки показали, що з прийнятою в теорії електричних навантажень допустимою похибкою 10%.

Висновок. Обмеженість вихідної інформації не дозволяє використовувати ряди Еджворта для рішення задачі про інерційне енергетичне згладжування, яку потрібно розраховувати методами імітації випадкових електроенергетичних процесів.

 

1. Анго А. Математика для электро-  и радиоинженеров. - М.: Наука,    1965.  -  778 с.

2. Васильев Д.В. Инерционное детектирование случайной последовательности прямоугольных импульсов // Известия высших учебных заведений, - 1960,  т. 3, №6.  -  С.1010  -  1021.

3. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.П. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. -  М.: Советское радио, 1970.  -  597 с.

4. ГОСТ 13109-87. Электрическая энергия. Требования к качеству электрической энергии в электрических сетях общего назначения. - Введ. 01.01.89.

5. Edgeworth F.Y. The law of error. - Proc. Cambridge Phil. Soc., 1905, v. 20. - P. 36 - 65.

6. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. - М.: Наука, 1968.  -  463 с.

7. Шидловский А.К., Куренный Э.Г. Введение в статистическую динамику систем электроснабжения.  -  К.: Наукова думка, 1984.  -  271 с.

8. Электромагнитная совместимость электроприемников промышленных предприятий/ А.К.Шидловский (ред.).  -  Киев: Наукова думка. 1992. - 236 с.

 

 

Аналітичні рішення. У явному вигляді аналітичне рішення задачі згладжування може бути знайдено лише для поодинокого випадку індивідуального навантаження з експоненційною КФ  і . Для цього достатньо застосувати відому формулу для щільності розподілу ординат  інерційного згладжування телеграфного сигналу [3]:

 

                       

 

де  - гамма-функція, - інтенсивність точок пересічення осі абсцис (нулів).

У розглядаємому випадку ,    . Підставивши ці вирази в відому загальну формулу теорії імовірностей для функціонального перетворення випадкового аргументу, знайдемо щільність розподілу доз

 

                                             (7)

 

у межах .  Аналогічно знаходиться  рішення, коли замість пауз є ділянки холостого ходу. Слід визначити, що формула (7) уточнює наведений в п.II.6 монографії [7] вираз для щільності доз, у якому потрібно замінити  на .

У інших випадках рішення знаходять у вигляді ряду Еджворта [5] через функцію  стандартного нормального розподілу, її похідні та центральні моменти  розподілу доз. Враховуючи, що середнє значення гріючих доз дорівнює квадрату ефективного навантаження або , запишемо ряд Еджворта у вигляді

 

                                           (8)

 

де - стандарт доз,  і  є асиметрія і ексцес доз. Відзначимо, що в формулу (8) аргумент  неявно через .

Інтегруванням виразу (8) у межах від   до  знайдемо функцію розподілу доз

 

                                             (9)

Для індивідуальних навантажень моменти розподілу доз розраховуються по розподілам тривалостей імпульсів і пауз [2] , а для нормально розподілених навантажень - по КФ ( наприклад, вирази (34.38) в [6]).

Ряд Еджворта дає необмежений розподіл імовірностей від  до , в той час як доза може бути обмеженою в діапазоні . Для врахування обмеженості перейдемо до зрізаного розподілу, який відрізняється коефіцієнтом

 

                                       .

 

Тоді замість (8) і (9) отримаємо вирази:

 

                                           ,                                           (10)

 

                                   .                                  (11)

Рис. 1

 

 Формула (8) дає щільність розподілу , яка істотно відрізняється від фактичної. Проілюструємо це для поодинокого випадку, коли рішення відоме. Якщо , то відповідно (7) розподіл доз буде рівномірним:  (пряма 1 на рис.1), для якого , , , . Розрахунки по формулі (8) дали криву 2, яка не тільки відрізняється від прямої 1, але виходить за межі , що суперечить фізичному глузду. Дійсно, площини областей а і б становлять 0,045, тому при  від’ємна область а дає мнимі мінімальні навантаження ,  а область б - максимальні навантаження, які перевищують  , чого не може бути. І хоча при  розраховане по ряду максимальне навантаження 0,993 усього на 1,85% перевищує теоретичне значення 0,975, це не може свідчити на користь можливості застосування ряду Еджворта, бо з цією ж вірогідністю ряд на 37,1% занижує мінімальне навантаження (0,141 проти теоретичного значення 0,224), тобто більш, ніж втричі перевищує допустиму похибку.

Формула (10) при  і  дає криву 3, яка знаходиться в діапазоні змінення доз. В цьому випадку максимальне і мінімальне значення становлять  та , тобто на -2,15 та 33,5% відрізняються від теоретичних.