УДК 62-83-52

В современных электромеханических системах все чаще применяются наблюдатели состояния (НС) для восстановления не измеряемых координат объекта, которые по тем или иным причинам необходимы для построения желаемой системы управления [1,2]. В результате этого система оказывается замкнутой, как правило, не только по измеряемым координатам объекта, но и по координатам, восстановленным при помощи наблюдателя.

Ряд приемов, облегчающих определение передаточных функций систем, описание которых выполнено в пространстве состояний, приведен в [3]. Однако часто системы представлены в виде структурных схем с использованием передаточных функций отдельных элементов. В этом случае поставленная задача обычно решается с использованием формулы Мейсона, в соответствии с которой передаточная функция равна

– передаточные функции прямых каналов, связывающих вход с интересующим нас выходом;

m – число таких каналов;

– алгебраическая сумма передаточных функций разомкнутых контуров (знак слагаемого определяется знаком обратной связи);

, , … – алгебраические сумма произведений передаточных функций не касающихся друг друга пар, троек и т.д. разомкнутых контуров;

- выражение, составленное по правилу, аналогичному (2), но только для контуров, не соприкасающимися с i-м прямым каналом.

При наличии в системе НС весьма затруднительно находить ввиду не только большого числа контуров, но и необходимости большого внимания при их выявлении.

Для упрощения вычисления воспользуемся теоремой разделения, справедливой для систем с НС [1]. При этом систему, в которой замыкание по всем координатам, в том числе и по восстановленным, осуществляется в предположении, что они измеряемы, будем называть системой, замкнутой по собственным координатам. Из теоремы разделения следует, что характеристический полином системы с НС состоит из произведения характеристического полинома системы, замкнутой по собственным координатам, и характеристического полинома наблюдателя, т.е.

Выражения для и составляются по правилу (2) отдельно для системы без наблюдателя состояния, замкнутой по собственным координатам, и для наблюдателя состояния.

В связи с тем, что и , а, следовательно, и их произведение вычисляются значительно проще, чем , определение передаточной функции существенно облегчается.

Так например, для системы, представленной на рис.1, в которой восстанавливаются всего лишь две координаты и при помощи наблюдателя состояния полного порядка, построенного в предположении, что возмущающее воздействие f отсутствует, сумма передаточных функций разомкнутых контуров состоит из восьми слагаемых

Легко теперь представить, какое внимание должно быть проявлено при нахождении для системы, в которой осуществляется восстановление более, чем двух координат.

Необходимо отметить и следующее положение, облегчающее вычисление передаточных функций. Если воздействие, по отношению к которому определяется передаточная функция, прикладывается к системе до точки съема управляющего сигнала u наблюдателя состояния, то

Тогда, с учётом (5), передаточная функция системы с НС совпадает с передаточной функцией системы без НС , т.е.

В последних двух уравнениях - выражение, составленное по правилу (2), для контуров системы, замкнутой по собственным координатам, которые не касаются i-го прямого канала.

Полученное выражение для передаточной функции (10) свидетельствует о том, что воздействия, приложенные к системе до управляющего сигнала наблюдателя u, отрабатываются так же, как и системой, замкнутой по собственным координатам. Настройка наблюдателя состояния в этом случае не влияет на характер переходных процессов.

Следует, однако, помнить, что приведенное выше утверждение справедливо только при нулевых или одинаковых начальных условиях координат системы и наблюдателя .

Необходимо отметить, что , определенное уравнением (4), не зависит от того, по каким координатам объекта и каким координатам наблюдателя состояния замкнута система. Остается справедливым и уравнение (9), если воздействие приложено до точки съема управляющего сигнала u наблюдателя состояния. По этой причине передаточная функция системы с наблюдателем по отношению к такому воздействию совпадает с передаточной функцией системы , замкнутой по собственным координатам, и также не зависит от того, по каким координатам объекта и каким координатам наблюдателя замкнута система.

Если воздействие прикладывается к системе после точки съема управляющего сигнала u наблюдателя, то передаточная функция системы с наблюдателем , определяемая уравнением (5), не равна передаточной функции системы , замкнутой по собственным координатам. Кроме того, передаточная функция зависит от характера замыкания системы, так как от этого зависят выражения для .

Рисунок 2 - Система автоматического управления, замкнутая по собственным координатам

Выражение для системы с наблюдателем определяется по формуле (4). Легко проверить, что оно при и совпадает с , которое определено по формуле (2) для исходной системы рис.1.

Управляющее воздействие g прикладывается к системе по двум каналам левее точки съема управляющего сигнала наблюдателя состояния. Поэтому передаточная функция системы с наблюдателем совпадает с передаточной функцией системы, замкнутой по собственным координатам (см.рис.2). Из рис.2 с учетом (10) находим

а определяется уравнением (12).

Возмущающее воздействие f прикладывается к системе после точки съема управляющего сигнала наблюдателя. По этой причине передаточная функция системы определяется по уравнению (5), которое, с учетом того, что имеется только один прямой канал от возмущения f до выхода с передаточной функцией , принимает вид

выражение, составленное по правилу (2) для контуров, не касающихся прямого пути с передаточной функцией W₁(p).

После подстановки в (15) значений , и из (16), (12) и (13) при

окончательно получаем следующее выражение для передаточной функции системы по возмущающему воздействию:

где - полином, не имеющий нулей в точке p=0.

Наличие нуля в точке p=0 у передаточной функции свидетельствует о том, что система с наблюдателем состояния является астатической первого порядка по отношению к возмущающему воздействию несмотря на то, что система, замкнутая по собственным координатам (рис.2), является статической.

1. Использование теоремы разделения позволяет существенно упростить процедуру отыскания передаточных функций системы с наблюдателями состояния и дальнейший их анализ.
2. Система с наблюдателем состояния отрабатывает воздействия, приложенные до точки съема управляющего сигнала наблюдателя, так же, как и система, замкнутая по собственным координатам.
3. Отработка воздействий, приложенных до точки съема управляющего сигнала наблюдателя состояния, не зависит от того, по каким координатам объекта и каким координатам наблюдателя замкнута система.
4. Отработка воздействий, приложенных после точки съема управляющего сигнала наблюдателя, зависит от характера замыкания системы.