Сплайн-интерполирование

Источник: http://bspu.secna.ru/~pvv/mathpage/calcmath/complex/lection_a.htm - WWW - версия учебно - методического комплекса по численным методам, разработана на кафедре Информатики и Математического Обеспечения Петрозаводского государственного университета.

Интерполирование сплайнами

Пусть на интервале [a,b] задана сетка и значения функции в ее узлах. Кубическим сплайном (сплайн-функцией), соответствующим сетке и функции f(x_i), называется функция S(x) удовлетворяющая следующим условиям:

S(x) при , i=1,2,...n, является кубическим полиномом
S(x), S'(x), S''(x) - непрерывны на [a,b]
S(x_i) = f(x_i).

Если, кроме перечисленного, функция S(x) удовлетворяет условию S'(x) = S''(x) =0, то она является естественным кубическим сплайном.

Сходимость сплайн-интерполяции
Интерполирование сплайнами является сходящимся процессом для непрерывной функции f(x). Оценка погрешности интерполяции ||r(x)|| = ||S(x) - f(x_i)|| зависит как от свойств гладкости f(x), так и от свойств сетки . Так, в случае равномерной сетки для погрешности интерполирования функции f(x), имеющей непрерывные производные до 4-й включительно, справедливы следующие оценки:

где

- равномерная норма.
Отсюда ясно, что при

, т.е. при

, интерполяционный процесс сходятся равномерно для f(x), f'(x), f''(x).