Конюховский П.В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности

В данной статье приведена лишь часть книги, использованной в магистерской работе (см. 34-50).

В ее рамках действует банк, который в соответствии с классической микроэкономической теорией монополии обладает возможностями по изменению величин процентных ставок на кредиты и депозиты (). Формально данную предпосылку можно выразить через задание функций:

, ставящей в соответствие значению процентной ставки за кредиты объем кредитов , которые потенциальные заемщики возьмут у банка по такой ставке;

, ставящей в соответствие значению процентной ставки за депозиты объем средств . Которые сможет занять у депозиторов банк, обещая им выплаты по данной ставке.

Представляется естественным считать, что функция является убывающей, - возрастающей.

При дальнейшем изложении модели необходимы обратные функции , . Дополнительно будем считать, что процентная ставка по межбанковским кредитам является параметром, задаваемым извне (допустим, назначается центральным банком). Тогда прибыль, получаемая некоторым банком – монополистом, будет равна

Необходимое условие максимума функции прибыли - равенство первых частных производных нулю – примет вид:

Заметим, что в случае, если выполняется предположение о вогнутости , то условия (1) и (2) будут также и достаточными.

Эластичность спроса на кредиты по процентной ставке выражается формулой: (3).

Знак “минус” в формуле (3) нужен для обеспечения неотрицательности значения эластичности . В свою очередь, эластичность предложения депозитов (по процентной ставке) примет вид (4).

С учетом (3) и (4) решение системы (1) и (2) определяется равенствами (5).

В результате условие равновесия в монопольной банковской системе может быть сформулировано следующим образом: банк монополист будет устанавливать количество кредитов и депозитов таким образом, чтобы выполнялось условие равенства индексов Лернера обратным эласчтичностям.

Так, из того, что и вытекает, что

Непосредствено из (5) – (6) вытекает принципиально важное заключение о том, что если в рамках модели Монти – Кляйна функция издержек управления банком С является аддитивной относительно своих параметров и , то значения оптимальных ставок по депозитам и кредитам являются независимыми друг от друга; то есть кредитный депозитный рынки обладают независимыми характеристиками для состояния их равновесия.

Докажем еще одно важное свойство состояния равновесия для случая банка – монополиста: если в модели Монти – Кляйна функция издержек является аддитивной, то при возрастании ставки межбанковского рынка ставки по кредитам и депозитам также возрастают.

Доказательство: Условия максимума функции прибыли (1) – (2) неявно задают некоторую функцию от . (7).

Тогда, если повторно продифференцировать (7) по , получим: (8)

Поскольку функция предполагается вогнутой, то и

Откуда следует, что имеет тот же знак, что и , а - тот же знак, что и . Из (1) – (2) можем получить: (10) и

Следовательно, , .

Учитывая, что функция является убывающей, получаем, что

Аналогично, принимая во внимание, что функция является возрастающей, получаем, что

Пусть на рынке присутствует банков, пронумерованных индексом . Допустим также, что все они характеризуются одинаковой линейной функцией издержек управления:

Под равновесием по Курно будем понимать такой вектор размерности , где - количество депозитов и кредитов, принадлежащих - му банку. Для всех пара значений такова, что она максимизирует прибыль - ого банка при условии, что остальные банки владеют кредитами и депозитами в объемах .

Другими словами, вектор задает такое устойчивое состояние банковской системы, от которого каждому банку в отдельности не выгодно отклоняться (при условии, что остальные банки также будут придерживаться своих “равновесных” стратегий). Напомним, что основной специфической особенностью понятия равновесия по Курно является то, что в тех моделях, где оно рассматривается, стратегия участников (фирм, банков и т.п.) задаются в форме принятия решений по объему продукции, выставляемой на рынок (для банков, соответственно, - по объемам кредитов и депозитов).

С математической точки зрения для каждого пара определяется как решение задачи:

Если обозначить через и (14), то нетрудно заметить, что для функции издержек типа (12) единственное равновесное состояние определяется условиями: и (14).

Необходимое условие максимума определяется уравнениями: (16)

Полученные уравнения (18)-(19) являются дальнейшим обобщением условий равновесия для моделей конкурентной и монополистической банковских систем. Можно заметить, что условия равновесия по Курно для модели банковской олигополии отличаются от аналогичных условий в модели монополистического банка только тем, что коэффициент эластичности в знаменателе правой части умножается на число банков .

Таким образом, мы получаем вполне естественный результат: монопольная банковская система представляет собой граничный случай олигопольной при , а конкурентная банковская система – при

Уравнения (18) – (19) также можно использовать в качестве критерия уровня “несовершенности” конкуренции в банковском секторе. Они, в частности, позволяют выразить “предельную чувствительность” ставок к изменениям ставки межбанковского рынка . Особенно наглядно это можно сделать, если допустить, что эластичности и являются постоянными величинами. Тогда на основе (18) – (19) можно записать: (20)

Из условий (20)-(21) видно, что “предельные чувствительности” ставок к изменениям ставки межбанковского рынка зависят от количества банков . Последнее, в свою очередь, может быть интерпретировано как то, что при увеличении интенсивности конкуренции (возрастании ) процентная ставка по кредитам становится менее чувствительной (а процентная ставка по депозитам - более чувствительной) к изменениям ставки .

В простейшей формулировке модели Салопа для банковской системы предполагается существование совокупности депозиторов (вкладчиков) в количестве , каждый из которых обладает наличными запасами денежных средств, которые он готов потенциально поместить в банк. Для простоты будем считать, что каждый вкладчик владеет суммой величиной в некоторую условную единицу. Расположение банков и вкладчиков друг относительно друга с точки зрения принятого выше понятия “расстояния” моделируется с помощью круга, длина которого считается равной единице. Будем считать, что вкладчики равномерно по окружности.

Пусть в рассматриваемой экономике существуют банков, идентифицируемых с помощью индекса . Предполагается, что банки, в отличие от вкладчиков, имеют возможность вкладывать привлеченные ими средства в некоторые безрисковые активы, приносящие доход с процентной ставкой .

Также предполагается, что вкладчики, помещая средства в банк, несут “транспортные” издержки (пропорционально “расстоянию” , отделяющему их от банка).

Поскольку депозиторы расположены по окружности однородно, то оптимальная организация банковской системы потребует и соответствующего равномерного распределения банков. Тогда максимально возможное расстояние, которое придется преодолеть вкладчику до ближайшего банка, равно .

При этом его транспортные издержки определяются как (22)

Наконец, пусть средние издержки на создание нового банка равны .

В рамках построенной модели закономерным представляется вопрос: какое количество банков будет оптимальным для рассматриваемой экономической системы. При этом “логичным” критерием оптимальности представляется минимизация суммарных издержек, складывающихся из затрат на учреждение банка и транспортных издержек: (23)

Если пренебречь условием целочисленности , то минимум выражения (23) достигается, когда его производная по равна нулю:

Откуда получаем формулу для оптимального количества банков: (25)

Основываясь на предпосылках простейшей микроэкономической модели поведения банка в условиях совершенной конкуренции, можно сделать вывод о том, что в целях максимизации получаемой прибыли банк будет привлекать депозиты в таком объеме , чтобы предельные издержки на управление ими равнялись . Соответственно, кредиты будут выдаваться в таком объеме , чтобы предельные издержки на управление равнялись .

Из модели Монти-Кляйна, описывающей поведение банка в условиях монополии, следует, что банк-монополист будет устанавливать объемы предлагаемых им кредитов () и депозитов () таким образом, чтобы выполнялось условие равенства индексов Лернера обратным эластичностям. Данный вывод может быть обобщен на случай олигополии. При этом требуется равенство индексов Лернера обратным произведениям эластичностей на количество банков.

На базе модели Монти-Кляйна могут быть получены принципиальные выводы, касающиеся последствий политики регулирования ставки процентных выплат по депозитам. В частности, ограничение сверху на размер депозитной ставки вызывает уменьшение процентных ставок по кредитам тогда и только тогда, когда относительно функции прибыли банка выполняется условие , т.е. депозиты и кредиты являются субститутами.