О математическом моделировании аварии, происшедшей с реактором PWR на АЭС

Три-Майл-Айленд в США в 1979 г.

 

 

Ковалев А.П., Чурсинов В.И., Джура С.Г., Мясникова Е.А.

 

Известно, что 28 марта 1979 г. В 4 часа утра по местному времени на американской АЭС в Гаррисберге «Три-Майл-Айленд» на реакторе PWR (легководный реактор с водой под давлением) мощностью 885 МВт энергоблока №2 произошла авария [1].

В результате аварии была расплавлена верхняя часть активной зоны реактора, после чего восстановление его стало нецелесообразно. Общий ущерб от аварии составил 1,86 млрд. долл. [2].

Под риском в данном случае при эксплуатации АЭС будем понимать вероятность поступления с течением времени t=1 год такого случайного события, при котором происходит расплавление его активной зоны.

Согласно рекомендациям МАГАТЭ приемлемый риск широкомасштабного загрязнения радионуклидами окружающей среды в результате аварии на АЭС или на другой ядерной установке не должен превышать вероятность 1·10-6 в течение года. Во Франции риск, связанный с эксплуатацией реактора АЭС, признается приемлемым только после того, как будет доказано, что вероятность аварии на нем в течение года не превосходит значения 1·10-7. [3].

Анализ причин, приведших к аварии на АЭС «Три-Майл-Айленд», позволил представить расплавления активной зоны реактора как совпадения в пространстве и времени следующих пяти случайных событий: аварийное отключение питательных насосов; отказ во включении аварийной системы охлаждения активной зоны; отказ разгрузочного клапана компенсатора объема в открытом положении; отказ насосов высокого давления; отказ насосов первого контура.

Цель данной работы состоит в том, чтобы, используя понятия Марковских случайных процессов, оценить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года F1(x), определить среднее время до аварии  и дисперсию  при условии, что в начальный момент времени все системы обеспечения безопасности АЭС находились в работоспособном состоянии, обслуживающий персонал не делает ошибок при эксплуатации.

При составлении математической модели, описывающей процесс возникновения аварии на АЭС, принимаем ряд допущений и положений: отказавшее состояние аварийной системы охлаждения, запорной арматуры и различных средств защиты, которые находятся в «ждущем режиме», обнаруживаются только в результате профилактических проверок, либо при возникновении аварий; проверки систем защит, находящихся в ждущем режиме, абсолютно надежны; после каждого отказа рассматриваемых систем их отказавшее состояние обнаруживается, и работоспособное состояние полностью восстанавливается, (система работает как новая); человек при эксплуатации принимает неправильные решения (отказывает) в результате повреждений регистрирующих на пульте управления приборов, по показанию которых оператор принимает решение.

   Обозначим через k=5 число систем, участвующих в формировании аварии на АЭС.

Процесс изменения каждой из k рассматриваемых систем с течением времени t обозначим через , . Предположим, что  принимает два значения: 0 или 1, если k находится в работоспособном состоянии и отказавшем соответственно. Что касается статистической природы этих функций, то предположим, что вероятность переходов из работоспособного состояния в отказавшее за промежуток времени  равна , где означает, что вероятность появления более одного отказа в интервале является величиной высшего порядка малости по сравнению с ; вероятность переходов из отказавшего состояния в работоспособное за время  равна  и не зависит от предшествующего течения процесса .

Величины  и  являются параметрами рассматриваемого процесса. Принятые допущения означают, что  можно рассматривать как процесс Маркова с двумя состояниями: 0 (безотказное) и 1 (отказавшее) [4].

Рассмотрим совокупность процессов  как общий процесс Маркова  с 32 дискретными состояниями е1(0,0,0,0), е2(1,0,0,0,),…, е32(1,1,1,1) и непрерывным временем. Авария на АЭС с расплавлением активной зоны произойдет в момент встречи процесса  в состоянии 1, т.е. когда ; , , , .

Выразим вероятность нахождения системы в каждом из 32 возможных состояний через параметры известных процессов , ,,,.

Поведение во времени такой системы полностью определяется матрицей интенсивностей переходов P, которая для данной задачи имеет вид:

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

где

 

 

 

(2)

 

Матрицы ∆ и ∆1 отличаются между собой только элементами главной диагонали. Главная диагональ матрицы ∆1  начинается элементом α16, а заканчивается элементом α30. Диагональные элементы матриц ∆ и ∆1 определяются как единица минус сумма элементов соответствующей строки. Например:

 

; ; …..;

; .

 

В матрице (2) ; ; , где

, - средний интервал времени между отказами питательных насосов и средняя длительность нахождения питательных насосов в отказавшем (нерабочем) состоянии;

, - средний интервал времени между отказами во включении аварийной системы охлаждения и средняя длительность нахождения аварийной системы охлаждения в отказавшем состоянии;

, - средний интервал времени между отказами (заклинивание в открытом положении) разгрузочного канала компенсатора объема и средняя длительность нахождения его в отказавшем состоянии;

 

 

, - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходов из строя) насосов высокого давления и средняя длительность нахождения насосов высокого давления в отключенном (отказавшем) состоянии;

, - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходом из строя) насосов первого контура и средняя длительность нахождения их в отключенном (отказавшем) состоянии;

 

Вероятность нахождения рассматриваемой системы в каждом из 32 возможных состояниях можно найти из решения системы линейных дифференциальных уравнений, записанных в матричном виде:

 

                  ,                                                        (3)

 

где - вектор-строка; , где I – единичная матрица; P – матрица интенсивностей переходов (1).

 

Система линейных дифференциальных уравнений (3) должна решаться при начальных условиях:

,

численным методом с помощью ЭВМ [5]. Вероятность нахождения всех пяти процессов в состоянии  и будет равна вероятности расплавления активной зоны реактора, т.е.:

 

                        ,                                                           (4)

 

Значение среднего времени до расплавления активной зоны реактора , если в начальный момент времени все k рассматриваемые системы находились в работоспособном состоянии, (оборудование работало в нормальном режиме, люди не делали в процессе эксплуатации реактора ошибок) находим из следующей системы уравнений, записанной в матричном виде:

 

                          ,                                                           (5)

 

где  - фундаментальная матрица.

 

Q – матрица, полученная из матрицы интенсивностей переходов (1) исключением из нее поглощающего состояния (последней строки и последнего столбца);  - вектор-столбец, у которого все элементы равны единице;

 - вектор-столбец.

 

Дисперсия времени  до первой аварии, сопровождающейся расплавлением активной зоны реактора, можно определить, пользуясь общей системой уравнений [6]:

 

                          ,                                       (6)

 

где  и  - векторы-столбцы.

 

Для систем, находящихся в «ждущем режиме» (средства защиты, управление запорной арматурой и т.д.), для которых заданы интервалы времени между профилактиками , например, потоков  можно находить следующим образом [7]:

 

                 ,                                  (7)

 

в том случае, когда <0,1, тогда

 

                                                                               (8)

 

 

При выполнении условия  (свойство экспоненциального распределения), вероятность расплавления активной зоны реактора можно определить из выражения:

 

                                                                          (9)

 

ПРИМЕР. Определить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года F1(8760) при совпадении в пространстве и времени следующих случайных событий: произошло аварийное отключение питательных насосов; отказала во включении аварийная система охлаждения активной зоны реактора; отказал разгрузочный клапан на компенсаторе объема в открытом состоянии; отказали (отключились) насосы высоко давления; отказали (отключились) циркуляционные насосы первого контура.

 

Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

 

Сравнить полученный результат F1(8760) c нормируемой величиной F0(8760).

 

Решение. Используя исходные данные, систему уравнений (3) матрицы (1) и (2), с помощью ЭВМ численным методом находим:

 

.

 

Сравнение полученного результата с нормой F0(8760) показало,  что в данном случае риск в расплавлении активной зоны реактора в течение года выше нормируемого в 5,8 раза.

ЛИТЕРАТУРА

 

1.                           Бабаев н.С., Кузьмин И.И., Легасов В.А., Сидоренко В.А. Проблемы безопасности на атомных электростанциях. – Природа, 1980, №6, с.30-43.

2.                           Новиков И.И., Кружилин Г.Н. Уроки аварии реактора PWR на АЭС Три-Майл-Айленд в США в 1979 г. – Электрические станции, 1999, №6, с.29-35.

3.                           Ваганов П.А. Ядерный риск: Учеб. пособие – СПб.: изд-во     С-Петербург, ун-та, 1997 – 112 с.

4.                           Тиханов В.И., Миронов в.А. Марковские процессы.- М.: Советское радио, 1977 – 320 с.

5.                           А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа – М.: Наука, 1966 – 735 с.

6.                            Кемени Дж., Скел Дж. Конечные цепи Маркова – М.: Наука, 1970 – 110с.

7.                           Ковалев А.П. О проблемах оценки безопасности электротехнических объектов. Электричество, 1991, №7,    с.50-55.