К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ МАРШРУТИЗАЦИИ
ИЗДЕЛИЙ В РАЗВЕТВЛЯЮЩИХСЯ ПОТОЧНО-ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ НА БАЗЕ МНОГОМЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ГРУПП
Михайлов А.Н. (ДонНТУ, г. Донецк, Украина) Прогрессивные технологии и системы машиностроения: Международный сб. научных трудов. - Донецк: ДонНТУ, 2002. Вып. 19. С. 3-11
The problems of definition of parameters of routing of articles in continuous branching flow-spatial technology systems are solved in the paper- It is based on the developed multidimensional group algebra. The formalism to define the articles routing parameters is offered.
Функционирование поточно-пространственной технологической системы [1] представляет собой сложный процесс, который задается ее структурой и определяется как множество последовательных во времени состояний множества блоков технологического воздействия (элементов). Их функционирование - это стабильная способность к целенаправленным технологическим воздействиям орудий и средств обработки (блоков технологического воздействия) на изделия, выполняемых в соответствии со структурой технологической системы по заданному алгоритму.
Поточно-пространственная технологическая система непрерывного действия [1] обычно состоит из большого числа подсистем и технологических элементов (блоков технологического воздействия), структура которой сроится на базе многомерных супергрупп (рис.1). Это вызывает сложный процесс функционирования такой технологической системы, который проявляется возникновением сложной структуры маршрутов движения изделий но позициям и подсистемам технологической системы. При этом определение и управление показателями качества функционирования поточно-пространственной технологической системы невозможно без исследования параметров маршрутизации изделий. Поэтому в данной в работе выполняются исследования, связанные с определением основных параметров маршрутизации изделий в поточно-пространственных технологических системах с разветвляющимися потоками и имеющих многомерную структуру блоков технологического воздействия.
В работе [1,2,3] решены вопросы определения параметров маршрутизации изделий в поточно-пространственной технологической системе, структура которой описывается многомерной супергруппой и имеющей один входной и выходной поток изделий. Можно заметить, что определение параметров маршрутизации изделий для поточно-пространственной технологической системы с помощью обычной алгебры групп [4] не представляется возможным. Потому в работе [1] разработана многомерная ал-
гебра i-руппы, позволяющая определить параметры маршрутизации изделий, проходящих по многомерным супергруппам и представляющих собой замкнутые рекуррентные многомерные группы.
Супергруппа (рис.1) множества А; элементов (блоков технологического воздействия) порядка Vj состоит из множества р-го класса подсистем А порядка vip, каждая из которых также состоит из множества р-го класса подсистем А.) порядка. Vjp. (более низкого класса), которые также состоят из множества подсистем еще более низкого класса, и так далее, причем последние подсистемы состоят уже из элементов (блоков технологического воздействия). Здесь следует отметить, что множество подсистем каждого класса в поточно-пространственной технологической системе является замкнутой рекуррентной циклической группой, каждая из подсистем которой в свою очередь является замкнутой рекуррентной циклической группой, и так далее. То есть в супергруппе существует многомерность построения элементов. Порядок подсистем многомерной cynepгруппы определяется множеством:
где vlk порядок подсистемы к -го класса; р- число классов подсистем супергруппы.
Можно заметить, что отображение одномерных групп, например А на Ал |может быть трех типов [5] (рис.2):
- инъективное отображение (рис.2, а);
- биективное отображение (рис.2, б);
- суръективное отображение (рис.2, в).
Основные параметры этих отображений для одномерных циклических рекуррентных групп могут быть найдены с помощью алгебры групп [4]. С точки зрения маршрутизации изделий в технологических системах непрерывного действия, выполненных на базе роторных или роторно
конвейерных линий |6|, отображения множеств (рис.2) можно выразить с помощью следующих видов маршрутизации изделий:
- простая маршрутизация (рис.2, а);
- неполная маршрутизация (рис.2,6);
- сложная маршрутизация (рис.2, б).
Если множества А: и А,,, представляют собой многомерные рекуррентные супергруппы [1], то между каждым классом подсистем может действовать одно из трех типов отображений, число которых будет равно количеству классов подсистем супергруппы. Общее число возможных различных композиций отображений в супергруппе по классам подсистем определяется по формуле:
i-де р, - число классов подсистем i-й супергруппы поточно-пространственного технологического модуля.
Можно отметить, что когда взаимодействующие соседние поточно-простпанственные технологические модули имеют только один входной и выходной потоки изделий, то здесь параметры отображений определяются на основании методики приведенной в работах [1. 2, 3J. Однако на практике возможны случаи, когда поточно-пространственная технологическая система имеет сложную структуру, выполненную в виде супергрупп, содержит несколько входных или выходных потоков изделий. Это особенно часто встречается на многономенклатурных и сборочных технологических системах. Заметим, что для технологических систем состоящих из одно-циклических групп и имеющих несколько входных или выходных потоков изделий параметры отображений элементов групп (параметры маршрутизации) определены в работе [7]. При этом определение параметров маршрутизации изделий в поточно-пространственных технологических системах, с разветвляющимися потоками изделий, является крайне необходимой задачей для изучения и управления их процессом функционирования. Поэтому далее приводится решение этой проблемы на базе разработанной в работе [1] многомерной алгебры групп.
На рис.3 показана гипотетическая модель поточпо-пространствелтшу технологической системы с разветвляющимися потоками изделий.^ представлено: V- вход изделий, W = {fV[,W2,..Wn]}- обобщенный выход
изделий. А - входной поточно-пространственный технологический процесс (входная многомерная замкнутая рекуррентная супергруппа элементов (блоков технологического воздействия)), Bt - /-й выходной поточно-пространственный технологический модуль (/-я выходная многомерная замкнутая рекуррентная супергруппа элементов (блоков технологического воздействия)), п - общее число выходных технологических модулей.
Рис.3. Гипотетическая
модель поточно-
пространственной технологической системы с несколькими входными или выходными потоками изделий
Зададим многомерную структуру блоков технологического воздействия входного технологического модуля следующим множеством:
где Ак - множество подсистем (к-1 )-го класса в подсистеме к-го класса; А(к-1) - n-я подсистема (к-1)-го класса в подсистеме к-го класса; uк- порядок множества am -m-й элемент множества Aj.
Множество В содержит следующие подсистемы
где подсистема множества В; n — число выходных технологических модулей; - подсистема (к-1)-го класса в подсистеме к-го класса множества i-го выходного технологического модуля; via- порядок множества Вi1m - m-й элемент множества Вi; рi- число классов подсистем множества Bрi
В системах уравнений (2) и (5) общий порядок блоков технологического воздействия множеств А и Bi определяется выражениями:
Можно отметить, что в случае, когда один из поточно-пространственных технологических . модулей технологической системы имеет одномерную замкнутую структуру, то выражения (1) и (4) принимают следующие значения:
Для решения данной задачи зададимся начальными условиями: 1 .Поточно-пространственная технологическая система состоит из одного входного технологического модуля и n выходных, структура которых определяется множествами (1), (2) и (3), (4), (5) или (0,(2), (3), (4), (5) и частично (6), (7).
2. Пронумеруем элементы и подсистемы входного технологического
модуля: в подсистеме А\ 1-го класса позиции элементов 1,2,—,Ц1,—,Щ\ в
подсистеме А2 2-го класса позиции подсистем 1-го класса
I,2,...,rj2,...,ii2;...; в подсистеме n-го класса позиции подсистем (k-J)-ro
класса l,2,...,rjio...,uij...; в подсистеме Ар р-го класса позиции подсистем
(p-l)-ro класса 1,2,...,т]р,...,nр.
3. Пронумеруем выходные технологические модули обозначаемые
множеством В следующими позициями l,2r...,i,...,n.
4. Пронумеруем элементы и подсистемы г-го выходного технологи
ческого модуля: в подсистеме Ви 1-го класса позиции элементов
1,2,...,?]!t...,v}; в подсистеме Bi2 2-го класса позиции подсистем 7-го класса
I,2,...,tj2r...,v2;...; в подсистеме Biк. к—то класса позиции подсистем (к-1)-го класса l,2,...,T]io...,Vk;...; в подсистеме Bip р,—го класса позиции подсистем (р-1)-гокласса 1,2,...,n ,....v..
5. Зададимся тем, что первый маршрут проходит по первым позици
ям элементов и подсистем каждого класса.
6. Позиции и подсистемы каждого класса являются замкнутыми ре
куррентными последовательностями.
7. Изделия с входного технологического модуля последовательно
поочередно поступают в 1,2,—Х—,п выходные технологические модули,
затем циклы повторяются.
Для нахождения параметров маршрутизации изделий в поточно-пространственных технологических системах с разветвляющимися потоками изделий в работе предусматривается выполнить следующее:
- найти общее число различных маршрутов движения изделий по по
зициям технологической системы;
- установить число изделий, после прохождения которых в техноло
гической системе завершается полный кинематический цикл движения ее
элементов и подсистем, то есть случай когда все позиции и подсистемы
технологической системы возвращаются в исходное положение;
- определить номера позиций элементов и подсистем технологиче
ской системы по которым проходит маршрут любого номера изделия;
- определить число позиций элементов подсистемы i-го класса вход
ного технологического модуля, с которыми взаимодействует фиксирован
ная позиция элементов подсистемы 1-го класса i- го выходного технологи
ческого модуля системы.
Решение этих задач является основой определения параметров маршрутизации изделий в разветвляющихся поточно-пространственных технологических системах, без знаний которых не представляется возможным ведение управления показателей качества выпускаемых изделий.
Используя предложения, теоремы и формулы многомерной алгебры групп [1] общее число различных маршрутов движения изделия по позициям технологической системы с разветвляющимися потоками будет определяться на основании следующих выражений:
где - Ni общее число различных маршрутов движения изделий по позициям технологической системы;
наименьшее общее кратное двух чисел.
При этом количество изделий, после прохождения которых, в технологической системе завершается полный кинематический цикл движений ее элементов и подсистем, определяется по следующей форме:
В полученной формуле (9) величина G вычисляется на основании выражения (8).
Номера позиций элементов и подсистем технологической системы, по которым проходит маршрут S, любого изделия определяется на основании следующих систем уравнений:
- для входного технологического модуля
для 1-го выходного технологического модуля
где Sr- номер изделия поступающего в технологическую систему;
mt, rtikr целые числа, представляющие повторяемость циклов позиций подсистем (к-1)- го или (к,-1)-то класса в подсистеме к-то или к~го класса входного или i-ro выходного технологического модуля; гь ГЙ - номер позиции подсистемы А>го ли 1,-го класса входного или n-го выходного технологического модуля, составляющий маршрут движения S, изделия.
Следует иметь в виду, что при вычислении параметров по системе уравнений (10) необходимо чтобы выполнялись следующие условия:
-для правой части уравнений
- для левой части уравнений
Для системы уравнений (11) необходимо, чтобы также выполнялись следующие условия:
- для правой части уравнений
- для левой части уравнении
Число позиций элементов подсистемы 1-го класса входного технологического модуля с которыми взаимодействует фиксированная позиция элементов подсистемы 1-го класса г—го выходного технологического модуля определяется на основании нахождения порядка нормального делителя [1] и выражается следующими формулами:
где R1- число позиций элементов подсистемы 1-го класса входного технологического модуля с которым взаимодействует один выходной технологический модуль;
Д2-число позиций элементов подсистемы 1-го класса входного технологического модуля с которыми взаимодействует фиксированная позиция элементов подсистемы 1-го класса i-го выходного технологического модуля.
Таким образом, разработанный подход и предлагаемые формулы, полученные на основе многомерной алгебры групп [1 ], позволяют определить основные параметры маршрутизации изделий в разветвляющихся поточно-пространственных технологических системах. А это дает возможность управлять показателями качества изготовления изделий и функционирования технологических систем, повысить уровень автоматизации производственных процессов на базе технологических систем непрерывного действия.
Список литературы: 1, Михайлов А.Н. Разработка методов проектирования высокоэффективных поточно-пространственных технологических систем. Дис... д-ра техн. наук - Харьков: ХПИ 1991. - 498 с. 2. Михайлов А.Н., Тернюк Н.Э. К расчету параметров маршрутизации изделий в поточно-пространственных технологических системах // Известия вузов. Машиностроение, 1990, №11. С.60-63. 3. Михайлов А.Н. Структура маршрутов и закономерности движений изделий в поточно-пространственных технологических системах // Прогрессивные технологии и системы машиностроения: Международный сб. научных трудов. - Донецк: ДонГТУ, 1998. Вып. 3. С.64-79. 4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.- 431 с. 5. Математический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - 847 с. 6. Фролович Е.Н., Тиняков Г.А. Маршрутизация объектов обработки в автоматических роторных и роторно-конвейерных линиях // Теория машин автоматического действия. М.: Наука, 1970. С. 93-97. 7. Ищенко А.Л., Михайлов А.Н., Кречин Д.Н. Проблемы маршрутизации изделий в роторных системах сборки с разветвляющимися потоками // Прогрессивные технологии и системы машиностроения: Международный сб. научных трудов. - Донецк: ДонГТУ, 1998. Вып. 5. С. 72-77
подсистема множества В; n — число выходных технологических модулей;
- подсистема (к-1)-го класса в подсистеме к-го класса множества i-го выходного технологического модуля;
наименьшее общее кратное двух чисел.
