K. W. Brodlie, M. R. Asim and K. Unsworth

 

Эта статья обсуждает проблему визуализации данных, в условиях существования некоторых ограничений, которых необходимо придерживаться. Например, может быть известно, что данные по своей природе являются положительными. В статье показывается как модифицированный квадратичный метод Шепарда, интерполирующий произвольные данные, может быть ограничен, чтобы сохранить положительность. Это достигается путём ограничения квадратичной базисной функции положительной областью значений. Метод может быть расширен и на другие виды ограничений. А дальнейшее расширение метода позволяет задать произвольные ограничения, создавая интерполяции которые лежат между двумя определёнными функциями, задающими нижнюю и верхнюю границы.

 

Процесс визуализации можно рассматривать как процесс реконструкции. Мы создаём представление общего поведения некоторой сущности, основываясь на ограниченном наборе дискретной информации. Эта реконструкция достигается путём интерполяции. Однако часто о сущности известна дополнительная информация, которую мы хотим учесть при реконструкции: сущность может подчиняться некоторым физическим законам, которые ограничивают её поведение — например, мы знаем, что плотность всегда является положительной величиной. В этой статье мы исследуем семейство интерполяционных алгоритмов Шепарда и покажем, как они могут быть приспособлены для наложения ограничений на интерполяцию.

В данной статье изучается интерполяция разрозненных данных. Подобная задача возникает во многих практических ситуациях, когда данные собраны экспериментальным путём (например, измерения уровня осадков полученные с различных метеостанций) либо получены в процессе моделирования. Существует множество подходов к решению этой общей задачи — детальный обзор всей области выполнен Lodha и Franke [1].

Некоторые методы основываются на начальной триангуляции точек данных (или их эквивалентов в больших измерениях), за которой следует кусочное конструирование интерполяции. Одной из простейших подобных техник является кусочно-линейная интерполяция. Она обладает замечательным свойством оставаться внутри границ данных и таким образом сохранять, например, положительность данных. Однако этот метод является лишь С 0непрерывным. Более сглаженные интерполяции, основанные на триангуляции, обычно не могут оставаться внутри границ данных, но некоторые такие методы всё же были модифицированы так, чтобы соблюдать ограничения.

Тем не менее, все эти подходы требуют триангуляции точек. Другой большой класс методов для интерполяции разрозненных данных не требует начальной триангуляции и может рассматриваться как «бессеточный». Двумя основными типами таких методов являются метод радиальных базисных функций (РБФ) и методы Шепардского типа. Оба типа методов широко применяются на практике.

Однако на настоящий момент существует относительно небольшое количество работ в области наложения ограничений на бессеточные методы. Так для РБФ Utreras [9] в своей работе показал, что ограничение положительности может быть наложено, однако вычислительные издержки при этом слишком высоки и требуют решения задачи глобальной оптимизации на каждом шаге итерации. В работе Xiao и Woodbury [10] рассмотрены наложение ограничений на интерполяцию 3-х мерных данных. В тех областях, где было известно, что сущность имеет определённое значение, скажем, ноль, вводились дополнительные точки, чтобы «подтолкнуть» интерполяцию как можно ближе к нулю в этих областях. Если физические ограничения дополнительно сообщали, что сущность является неотрицательной, тогда результат интерполяции просто фиксировался в нуле. Трудность такого подхода заключается в том, что производная результата такой интерполяции не будет непрерывной в этой области. Нашей же целью является генерация интерполяции с наложенными ограничениями, которая будет эффективной в вычислении и которая воспримет ограничение как часть интерполяционного процесса, в отличие от апостериорного процесса, такого как фиксирование значений к некоторой величине.