УДК 621.311.153.2.001.24

Постановка задачи. Электроприемники с резкопеременной нагрузкой вызывают быстрые изменения (колебания) напряжения D U(t) в осветительных электрических сетях. Это приводит к дополнительному утомлению людей, работающих при искусственном освещении: ухудшается зрение и уменьшается производительность труда.

Универсальным показателем допустимости колебаний напряжения (помех) является доза фликера (ДФ) напряжения. Все известные фликер-модели имеют взвешивающий фильтр (ВФ), моделирующий источник света и реакцию мозга человека на колебания освещенности; нелинейный блок определения уровней фликера (зрительного ощущения) Р(t) и блок статистической обработки, в котором ДФ рассчитывается по интегральным

вероятностям E_И процесса Р(t). Реакцию ВФ обозначим через Y(t). Принятая в стандартах [1,2] фликер-модель имеет ВФ с диапазоном частот l от 0,05 до 35 Гц.

Для периодических колебаний простой формы ДФ может быть рассчитана по размахам d U и частотам колебаний, поэтому для этих случаев допустимость колебаний напряжения можно оценивать по кривым разма-хов: зависимостям размахов от частоты. В [1] нормируются кривые размахов гармонических колебаний и колебаний в форме меандра частотой более 0,5 Гц, а в [2] - только в форме меандра частотой более 8,33·10^-4 Гц. Очевидно, что оценки допустимости колебаний по ДФ и кривым размахов должны совпадать.

В [2] рекомендуются инженерные методы расчета приведенных размахов колебаний и ДФ процессов D U(t) только в виде кусочно-линейных функций, к тому же в частотном диапазоне до 1 Гц. Здесь предлагаются аналитически точные методы расчета для колебаний любой формы. Исходные данные могут быть представлены реализациями (графиками) процесса D U(t), а также корреляционной функцией (КФ) К(t ) или спектральной плотностью.

Описание ВФ. Передаточная функция ВФ описывается отношением многочленов, причем многочлен знаменателя имеет степень п = 11. Для унификации описания и упрощения решений используется метод парциальных реакций [4], согласно которому ВФ представляется в виде п параллельно включенных инерционных парциальных звеньев. Коэффициенты передачи а и постоянные времени J парциальных звеньев выражаются через параметры ВФ [З]. Парциальная реакция у(t) на выходе одного звена определяется достаточно просто, а искомая реакция получается суммированием парциальных реакций.

Непериодические реализации. В общем случае нестационарный процесс D U(t) согласно [2] задается реализациями длительностью по 10 мин. По каждой реализации рассчитывается кратковременная ДФ Р_St. Затем за каждые два часа определяется длительная ДФ Р_Lt - как среднекубическое значение 12-ти кратковременных доз. Колебания считаются допустимыми, если за сутки каждая кратковременная или длительная ДФ не превышает допустимых значений [Р_St ] и [Р_Lt ]. Характеристики стационарного процесса не зависят от времени, поэтому для него понятие кратковременной ДФ отпадает, а для сопоставления с [Р_Lt ] достаточно вычислить ДФ только по одной реализации, которая может начинаться с любого момента времени. Необходимую длительность Т_З реализации найдем с учетом того, что статистическая обработка должна выполняться по стационарному режиму, который наступает по окончании переходного процесса от момента подачи стационарной помехи на фликер-модель.

Длительность Т_ст. стационарного состояния определяется требованием к объему статистического материала. Согласно [5] количество наблюдений случайной величины должно превышать 50. В рассматриваемом случае это требование определяет минимальное количество размахов на стационарном участке реализации. Длительность Т_П переходного процесса равна наибольшей из длительностей затухания переходных процессов:

0,27 с - во ВФ и 1,5 с - в инерционном звене блока выделения зрительного ощущения [З]. С запасом округленно примем, что Т_П = 2 с. Искомая длительность Т₃ = Т_СТ + Т_П .

Колебания напряжения измеряются в процентах от номинального напряжения U_H, а реакция фильтра - в относительных единицах (о.е.). Для перехода от % к о.е. на выходе ВФ предусматривается умножение ординат реакции в % на масштабный коэффициент² k_у = 16 (о.е.)/(%). Парциальную реакцию i -го звена при g _i =1/J_i найдем с использованием интеграла Дюамеля:

где x - вспомогательная переменная интегрирования. Реакция ВФ равна сумме парциальных реакций.

Уровни фликера получаются квадратичным инерционным сглаживанием с постоянной времени T_и, равной 0,3 с. После возведения реакции в квадрат также используем интеграл Дюамеля при Т_и = 1 / Т_и:

Из полученной реализации (3) исключается начальная часть длительностью T_п, а по оставшейся части вычисляется искомая ДФ.

Расчет по КФ. Для сжатия информации помехи могут задаваться не реализациями, а их КФ. Нестационарные помехи имеют разные КФ К(t,t ) на разных участках стационарности. Поэтому расчет кратковременных ДФ производится для каждого участка. Стационарные помехи имеют КФ К(t ), не зависящие от времени. Для них рассчитывается одна длительная ДФ.

КФ обычно аппроксимируется суммой экспоненциально-косинусоидальных выражений, каждое из которых имеет свои параметры а и w _о. Для однотипности расчетов эти выражения удобно представить в виде экспонент с мнимыми параметрами, использовав известное выражение cos w _ot через полусумму экспонент с параметрами ± jw _ot , где j =. В результате при количестве слагаемых т получим

где D_m - дисперсия т -ой составляющей КФ.

Удобство выражения (3) в том, что расчеты достаточно выполнять по КФ одного вида: экспоненциальной. В этом случае КФ k_ymi(t ) парциальной реакции i -го звена и взаимной КФ k_ymir(t ) между реакциями i -го и r -то звеньев определяются подстановкой в формулы (11) и (12) из [4] величин a = a _i ± jw _oi. В результате эти КФ содержат 4 экспоненциальные составляющие. КФ реакции ВФ

Для определения дисперсии DР уровней фликера необходимо знать КФ К_Y2(t ) квадрата реакции. В большинстве случаев вероятностное распределение реакции подчиняется нормальному закону. В этом

где учтено, что среднее значение реакции равно нулю, так как переходная функция ВФ при t ® ¥ стремится к нулю. Квадрат КФ реакции в (5) определяется суммой экспоненциальных составляющих с комплексными показателями степени. По формуле (11.53) из [6] для каждой составляющей вычисляется дисперсия Dр . Искомая дисперсия DР равна сумме Dр , причем при суммировании мнимые величины взаимно компенсируются.

Так как уровень фликера есть сугубо положительная величина, то согласно [7] для процесса Р(t) можно принять гамма-распределение с параметрами

Интегральная функция F(Р) гамма-распределения табулировна. Кумулятивные вероятности в процентах выражаются через эту функцию:

По функции (7) согласно (Б.9) и (Б. 11) из [2] вычисляется искомая ДФ.

Спектральная плотность и КФ взаимосвязаны, поэтому расчет по спектральной плотности аналогичен -различие лишь в выражениях для определения параметров гамма-распределения.

Периодические помехи сложной формы. В проектировании часто используются периодические графики электрических нагрузок, по которым рассчитываются графики колебаний напряжения. Периодичность позволяет получить стационарное решение без вычисления переходного процесса. Пусть график колебаний напряжения за время t_ц имеет N отрезков, в пределах каждого из которых колебания описываются своей функцией времени и(t). Найдем парциальную реакцию i -го звена на такую помеху.

Обозначив через

для j-го участка длительностью t_j. запишем известное периодическое решение в виде

где у_ijн - неизвестная пока начальная ордината реакции, а время отсчитывается от начала участка: 0 £ t £ . t_j. Конечная ордината у_ijk получается подстановкой в (8) значения t = t_j.. В систему N выражений (8) входит по

N неизвестных начальных и конечных ординат реакций. Дополним эту систему N очевидными соотношениями:

вытекающими из периодичности решения. В результате получим систему 2N уравнений, легко решаемых относительно начальных и конечных ординат на границах участков. Подстановка этих значений в (9) дает периодическое решение для парциальной реакции на j-ом участке. Искомая реакция получается путем суммирования парциальных реакций в пределах каждого участка.

На j-ом участке квадрат реакции содержит сумму п квадратов парциальных реакций и сумму С²_n удвоенных произведений попарно взятых реакций. Обозначив через

получим выражение для уровней фликера на j-ом участке:

в которое входят неизвестные начальные значения Р_ijн и P_irjн. Эти значения определяются из системы уравнений (10) и соотношениями, аналогичными (9). Искомые уровни фликера получаются суммированием уровней фликера (10) по каждому участку.

Численные методы расчета. Проверка по полученным точным решениям показала, что для расчета ДФ можно использовать численные методы расчета в системе МаtLаЬ. Для этого фликер-модель набирается в виде блоков, описание которых дано в [З].

Если помеха задана КФ, то массив исходных данных получается путем имитации колебаний (например, методом из [9]). Необходимость в этом может возникнуть в тех случаях, когда вероятностные распределения реакций отличаются от нормальных, а следовательно, выражение (5) неприменимо.

Пример расчета. По нормам [2] определить допустимость колебаний напряжения³ сети с сопротивлением х = 1,2 Ом от дуговой сталеплавильной печи, график тока которой взят из [10] и представлен на рис.2,а. Напряжение питания U_н =35 кВ.

Переход от нагрузки к графику колебаний напряжения в % выполним по известной формуле:

Расчет парциальных реакций по формуле (1) и их суммирование дает график реакции ВФ (рис.2,6). Преобразование (2) позволяет получить график уровней фликера (рис.2,в, кривая 1).. Начальную часть этого графика до t = T_п = 2 с отбрасываем. По оставшейся части строим функцию интегральных вероятностей, представленную на рис.2, в кривой 2 (ось Е_и на рисунке не приведена). Расчет по формулам (Б.9) и (Б. 10) из [2] дает дозу фликера 0,624 о.е., которая меньше допустимых значений 0,74 и 1. Следовательно, дуговая печь не нарушает электромагнитную совместимость.

Выводы. Разработанные методы расчета доз фликера напряжения являются общими и аналитически точными. Методы рекомендуются для использования в проектировании и действующих системах электроснабжения, а также для совершенствования ГОСТ 13109-97.