Задачи со многими критериями встречаются в самых различных областях науки и техники, но чаще всего в машиностроении.
Особенности используемого метода. Отличительная черта используемого метода — систематический просмотр многомерных областей: в качестве пробных точек в пространстве параметров используются точки равномерно распределенных последовательностей. Для этих целей были применены так называемые ЛПt- последовательности, которые обладают наилучшими характеристиками равномерности среди всех известных в настоящее время равномерно распределенных последовательностей.
Другая особенность метода состоит в том, что конструктор не должен «комбинировать», то есть гадать, какой выигрыш по одним критериям могут дать уступки по другим критериям, это выясняется в процессе диалога с программой.
Задана математическая модель исследуемой или проектируемой системы, и модель эта зависит от п параметров а1 . . ., аn, которые могут быть естественными физическими величинами.
Пространством параметров называется n-мерное пространство, состоящее из точек А с декартовыми координатами (a1 . . ., аn). Проектировщики могут указать разумные пределы изменения каждого из параметров, которые мы будем называть параметрическими ограничениями.
Кроме параметрических ограничений обычно в условия задачи включаются функциональные ограничения. Они могут быть заданы явно.
Критерием качества называется характеристика системы, которая связана с ее качеством монотонной зависимостью. Иными словами, при прочих равных условиях система тем лучше, чем больше (меньше) критерий.
Исследование проводится в три этапа.
1-й этап: составление таблиц испытаний. Этот этап выполняется без вмешательства проектировщика. Последовательно выбираются N пробных точек А1, равномерно расположенных в G. В каждой из точек Аi рассчитывается система и вычисляются значения всех критериев Ф1(Аi), . . , Фk(Ai). По каждому критерию составляется таблица испытаний, в которой значения расположены в порядке возрастания и указаны номера i1, i2, . . ., iN соответствующих пробных точек (свои для каждого v).
2-й этап: выбор критериальных ограничений. Этот этап предполагает вмешательство проектировщика. Просматривая поочередно каждую из таблиц испытаний, он должен назначить ограничение Фv** для каждого критерия.
3-й этап: проверка непустоты D. Этот этап также выполняется автоматически. Фиксируется какой-нибудь из критериев, например, Ф1 (А), и рассматривается соответствующая ему таблица испытаний.
Путем перебора значений всех критериев в точках можно проверить, есть ли среди этих точек хотя бы одна такая, которая удовлетворяет всем критериальным ограничениям. Если такая точка Aij существует, то множество D непусто и задача разрешима. В противном случае следует вернуться ко второму этапу и потребовать от конструктора уступок при назначении Фv**. Если такие уступки невозможны, то необходимо вернуться к первому этапу и увеличить количество N пробных точек, чтобы повторить второй и третий этапы с таблицами испытаний большего объема.
Наконец, если при неоднократном увеличении N точки Aij, принадлежащие D, не обнаруживаются, то есть все основания считать, что выбранные критериальные ограничения Фv** несовместны.
ЛПt-последовательности – наиболее равномерно распределенные последовательности. Обычно полагают, что наиболее равномерный просмотр n-мерного куба обеспечивает кубическая решетка, состоящая из N = Мп точек. Однако это неверно. Такая решетка оптимальна только в одномерном случае, при п = 1. Уже при п = 2 она не очень хороша, а с увеличением п «равномерность» ее быстро ухудшается.
Для разработки программы, реализующей многокритериальный подход в задачах оптимизации, был выбран математический пакет Scilab версии 4.0. Scilab – это язык высокого уровня для выполнения математических расчетов. Пакет включает в себя набор инструментов и интерактивную документацию. В первом приближении пакет является некоммерческим аналогом пакета Matlab. Об основных отличиях между ними можно прочитать на сайте разработчика Scilab.
Scilab свободно распространяется вместе с исходными кодами. Использование, копирование, изменение, распространение – свободные. Данный пакет является достаточно мощным средством математического моделирования. Учитывая необходимость дальнейшего расширения разработанного программного модуля, которое приведет к необходимости решать системы дифференциальных уравнений, становится очевидным, что мощное средство для выполнения математических расчетов просто необходимо.
На данный момент реализован модуль выполняющий построение -последовательностей. Он позволяет строить пространство параметров и исследовать точки, равномерно распределенные в этом пространстве. Данный модуль является самодостаточным и может использоваться при разработке других программных продуктов в среде Scilab.
В дальнейшем будут разработаны модули, реализующие диалог с пользователем и сканирование сгенерированного пространства параметров, т.о. будет получен полноценный программный продукт, решающий задачу многокритериальной оптимизации сложных систем.
Литература