Введение в Вейвлет

В  (3) s - коэффициент масштабирования, коэффициент    s^-1/2 вводится для нормализации энергии сигнала при разных масштабах.

Важно отметить, что в (1), (2) (3) не уточняется вид функции вейвлета. В этом состоит отличие вейвлет-анализа от анализа Фурье. Вейвлет-анализ строится не на определенном виде функций-вейвлетов, а на определенных свойтвах этих функций. 

может быть использована для анализа, а затем для восстановления сигнала без потери информации.В (4) ( ) означает преобразование Фурье функции (t ). Условие допустимости подразумевает, что преобразование Фурье функции (t) становится равным нулю на нулевой частоте, т.е.

Это значит, что вейвлеты должны иметь полосу частот как спектр. Нулевое значение на нулевой частоте также значит, что среднее значение вейвлета на всей временной оси должно быть равно нулю (в отличие от среднего значения гармоник Фурье-анализа). Из этого утверждения легко зделать вывод, что по виду вейвлет-функции представляют собой волны.

Здесь  f ^(p) - производная порядка p функции  f и O(n+1) представляет собой остаток разложения.

Обозначив моменты вейвлета как M_p,

можно переписать   (7) как конечную сумму

Из условия допустимости следует равенство 0 момента  M₀ = 0, т.е. первое слагаемое в правой части  (9) равно 0. Если теперь нам удастся зделать нулевыми остальные моменты до M_n,  коэффициенты вейвлет-преобразования (s,) будут убывать также быстро как   sⁿ+2 в случае гладкого сигнала f(t). Это называют исчезающими моментами. Если у вейвлета  N исчезающих моментов, то порядок приближения вейвлет-преобразования равен  N. Моменты необязательно должны быть равны 0, очень маленькое значение часто считают достаточным.

Таким образом, условие допустимости дает нам волну, регулярность и исчезающие моменты дают нам быстрое убывание, и вместе эти 2 условия дают нам вейвлет.

Когда для преобразования непрерывного сигнала используют дискретные вейвлеты, результат представляет собой ряд вейвлет-коэффициентов и называется разложением в вейвлет-ряд. При этом обязательным является условие восстановления сигнала по коэффициентам разложения. достаточным для восстановления сигнала является ограничение (11) для энергии вейвлет-коэффициентов.

| f ||²      -энергия f(t), A > 0, B <  ; A, B  не зависят от  f(t). Когда  (11) выполняется, семействр базовых функций _j,k(t ) где j, k Z называют фреймом с границами  A и B. Если A = B фрейм называют узким и дискретные вейвлеты представляют собой ортонормальный базис.Если A B,   точное восстановление сигнала возможно с условием использования двойного фрейма, в котором вейвлет, используемый при разложении отличается от вейвлета, используемого при восстановлении сигнала.

Вернемся от фреймов к удалению избыточности. Приведем дискретные вейвлеты к ортонормальному базису. Дискретные вейвлеты могут быть ортогональны своим собственным расширениям и сдвигам благодаря специальному выбору материнского вейвлета, что значит: 

Начальный сигнал может быть восстановлен суммированием ортогональных базисных вейвлет-функций, умноженных на коэффициенты вейвлет-преобразования.

(13)   - обратное дискретное вейвлет-преобразование.

Ортогональность все же не является непременным условием вейвлет-преобразования сигналов. В некоторых приложениях выбор неортогональных вейвлетов (избыточное преобразование) помогает уменьшить чувствительность к шумам и улучшить нечувствительность к сдвигу сигнала. Одним из недостатков дискретного вейвлет-преобразования является его чувствительность к сдвигу во времени исходного сигнала. Вейвлет преобразования сигнала и его версии, сдвинутой во времени не будут явялятся копиями друг-друга, только сдвинутыми по времени.

Это значит, что сжатие вейвлета по времени в 2 раза растянет его спектр частот в 2 раза и также сдвинет все частотные составляющие спектра вверх. Используя эти выводы, мы может перекрыть конечный спектр нашего сигнала спектрами расширяемых вейвлетов также, как во временной области мы перекрываем весь наш сигнал за счет перемещения вейвлетов "вдоль" него во времени. Для хорошего качества представления спектра сигнала, перекрывающие его спектры вейвлетов должны касаться друг друга, как будто они стоят, держась за руки (рис. 2). Этого можно достичь при правильном построении вейвлетов.  

Таким образом, вейвлет можно представить, как частотный фильтр. Тогда ряд вейвлетов можно назвать банком фильтров. Если мы обратим внимание на отношение центральной частоты спектра вейвлета к ширине этого спектра, то увидим, что это отношение постоянно для всех вейвлетов. Обычно это отношение называют фактором верности Q фильтра, и в случае вейвлетов говорят о постоянном Q банке фильтров.

Так как мы выбрали масштабирующую функцию    (t ) таким образом, что ее спектр успешно перекрывает остаток спектра сигнала, выражение  (16) использует бесконечное количество вейвлетов до некоторого масштаба j (см. рис. 3. Это значит, что если при разложении сигнала мы используем масштабирующую функцию и ряд вейвлетов, масштабирующая функция перекрывает своим спектром ту часть сигнала, которая иначе была бы перекрыта всеми вейвлетами до масштаба j. Остаток же спектра сигнала, неперекрытый спектром масштабирующей функции, перекрывается вейвлетами. Так, мы ограничили количество вейвлетов  в разложении и сделали его конечным. 

Рис. 3
Замена бесконечного набора вейвлетов одной масштабирующей функцией.

Безусловно, при использовании масштабирующей функции мы теряем часть информации. Сигнал может быть восстановлен без потерь, но некоторые особенности сигнала, которые можно было бы выявить при масштабном изменении вейвлетов, останутся невыясненными. Таким образом, становится важность выбора ширины спектра масштабирующей функции. Чем он шире, тем больше детальной информации остается невыясненной.

Низкочастотный спектр масштабирующей функции позволяет нам сформулировать некоторое условие допустимости сродни   (6)

Есть два подхода к осуществлению субполосного кодирования. Первый - рассчитать множество частотных фильтров и пропустить через них исходный сигнал. Это сложный подход, но удобен тем, что ширина полосы частот, пропускаемой отдельным фильтром, может быть выбрана свободно и, таким образом, мы можем заострять свое внимание на определенных частях спектра исследуемого сигнала. Но этот подход является очень сложным. Другой подход заключается в том, чтобы разделить исходный спектр сигнала на 2 части - высокочастотную и низкочастотную. Высокочастотная часть содержит мельчайшие детали, которые нас интересуют. Однако низкочастотная часть также может содержать информацию о деталях исходного сигнала, поэтому мы можем снова разделить ее на 2 части и т.д., пока мы не будем удовлетворены количеством частотных полос. Таким образом второй подход состоит в создании итерированного банка фильтров. Обычно количество полос в результате работы банка фильтров ограничивается объемом исходной информации или возможностями вычислительной техники. Процесс деления сигнала показан на рисунке 4. Преимущество этой схемы состоит в том, что нам необходимо создать только 2 фильтра, недостаток - в том, что покрытие спектра сигнала ограничено. 

Из этого представления следует, что масштабирующая функция на некотором масштабе может быть выражена через сдвинутую масштабирующую функцию на следующем более мелком масштабе, (здесь более мелкий масштаб означает ьольше деталей).

Первая масштабирующая функция заменила ряд вейвлетов. Таким образом, мы можем также выразить вейвлеты этого ряда через сдвинутые масштабирующие функции следующего масштаба. Для вейвлета масштаба j можно записать:

что представляет собой двумасштабное отношение вейвлета и масштабирующей функции более мелкого масштаба.

Так как наш сигнал можно выразить через расширенные и сдвинутые вейвлет до масштаба j-1, его также можно выразить через масштабированные и сдвинутые масштабирующие функции масштаба j.

Если в этом выражении мы поднимемся до масштаба j-1, нам необходимо будет добавить вейвлеты, чтобы сохранить тот же уровень детализации:

Если масштабирующая функция  _j,k(t ) и вейвлеты  _j,k(t) ортонормальны или представляют собой узкий фрейм, коэффициенты _j-1(k ) и _j-1(k) можно найти как: