ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ЦИФРОВОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫМ ПРИВОДОМ

УДК 621.313.33:519.876.5

АВТОРЫ

Толочко Ольга Ивановна, д - р техн. наук, профессор

Коцегуб Павел Харитонович, д-р техн. наук

Розкаряка Павел Иванович, аспирант

Донецкий национальный технический университет

       Знайдено вирази для похибок чисельного інтегрування методом Сімпсона сигналу завдання на швидкість цифрового задатчика положення, що формує оптимальні за тепловими втратами діаграми відпрацьовування переміщень. Запропоновано метод і схемне вирішення компенсації цих похибок.

       Найдены выражения для ошибок численного интегрирования методом Симпсона сигнала задания на скорость цифрового задатчика положения, формирующего оптимальные по тепловым потерям диаграммы отработки перемещений. Предложен метод и схемное решение компенсации этих ошибок.

       Formulas for Simpson's numerical integration error of velocity setting signal of digital position controller were found. The profile is optimal by heat loss. The method and circuit design of error compensation was offered.

       Одним из способов снижения непроизводительных затрат электроэнергии при управлении позиционными механизмами является применение задатчиков положения (ЗП), формирующих диаграммы перемещения, оптимальные или квазиоптимальные по тепловым потерям. Формулы и алгоритмы расчета выходных сигналов таких ЗП в литературных источниках (например, [1, 2]) приводятся, как правило, в предположении непрерывного характера изменения этих сигналов. При реализации рассматриваемых ЗП в цифровой форме использование формул, выведенных без учета эффекта квантования по времени, приводит к существенным отклонениям формируемых управляющих воздействий от желаемых.

       В [3] разработана методика корректировки алгоритмов цифровой реализации оптимальных по тепловым потерям диаграмм отработки заданных перемещений, формируемых в реальном времени, путем расчета диаграммы задания на ускорение и двукратного численного интегрирования (ЧИ) этого сигнала, с учетом эффектов квантования и экстраполяции. Основные этапы этой методики заключаются в следующем:

       1) рассчитывают узловые точки диаграммы задания на ускорение, исходя из величины отрабатываемого перемещения и желаемого времени его отработки с учетом ограничений на скорость , ускорение и рывок в соответствии с принятым критерием оптимизации без учета дискретности по времени;

       2) абсциссы узловых точек диаграммы корректируют таким образом, чтобы они стали кратными периоду дискретности , а ординаты этих точек - таким образом, чтобы вследствие коррекции абсцисс не изменилась величина отрабатываемого перемещения и общий вид диаграмм;

       3) полученный сигнал сначала смещают на полпериода дискретности вправо и только потом дискретизируют и экстраполируют:

       4) при отсутствии ограничения на рывок для первого из цифровых интеграторов (ЦИ), формирующего дискретный экстраполированный сигнал задания на скорость , используют метод Backward Euler

       ,          (1)

а для второго, формирующего сигнал - метод трапеций

       ;          (2)

при наличии ограничения на рывок первый интегратор также должен выполнять численное интегрирование методом трапеций.

       В [3] показано, что при указанных в п. 4 типах ЦИ сигнал в моменты времени, кратные периоду прерывания, совпадает с соответствующими значениями эталонной аналоговой тахограммы , а сигнал задания на положение формируется с установившейся ошибкой, которая при отсутствии ограничения на рывок составляет

       .          (3)

       Целью работы является устранение установившейся ошибки в дискретном экстраполированном сигнале задания на положение и обеспечение его совпадения в моменты времени, кратные периоду прерывания, с соответствующими значениями аналогового сигнала .

       В предложенной в [3] методике цифровой реализации задатчика положения (ЗП) выбор ЦИ производился из стандартной библиотеки Discrete приложения Simulink пакета MATLAB, который, благодаря наличию в нем приложения Real Time Workshop, может рассматриваться как один из возможных вариантов программной реализации цифровых управляющих устройств. Звено Discrete-Time Integrator рассматриваемого программного продукта может реализовать ЧИ с использованием интерполяционных полиномов нулевого и первого порядков, порождающих соответственно методы прямоугольников и трапеций. Между тем, точное интегрирование параболического сигнала, каковым является сигнал задания на скорость, можно выполнить, используя алгоритмы ЧИ более высокого порядка, например, алгоритм Симпсона.

       Один шаг ЧИ методом Симпсона описывается разностным уравнением второго порядка

       ,          (4)

которому соответствует передаточная функция (ПФ):

       .          (5)

       На рисунке 1 представлены непрерывные и дискретные диаграммы перемещения, оптимальные по тепловым потерям, сформированные по приведенной выше методике и при замене ЦИ, интегрирующего методом трапеций (см. ПФ (2)), цифровым интегратором, использующим методом Симпсона (ПФ (5)). Период прерывания на приведенном рисунке намеренно завышен для того, чтобы хорошо были видны ошибки, обусловленные дискретностью процессов.

       Рисунок 1 - Диаграммы отработки заданного перемещения, оптимальные по тепловым потерям

       Из рис. 1 видно, что интегрирование кривой методом трапеций приводит к формированию сигнала с установившейся ошибкой (3), которая накапливается постепенно, увеличиваясь с каждым шагом ЧИ. При замене метода трапеций методом Симпсона все четные точки кривой вычисляются точно, а все нечетные - с ошибкой, что приводит к автоколебаниям выходного сигнала ЗП в установившемся режиме, причем накопление ошибки происходит только на первом и последнем шагах отработки заданного перемещения.

       Причиной такого эффекта является неправомерное использование формулы Симпсона в моменты времени и , которым предшествует скачкообразное изменение задания на ускорение.

       Определим величину ошибки, возникающей на первом шаге после начала отработки очередного перемещения.

       Точное значение задания на перемещение в этот момент времени составляет

       ,          (6)

а значение, вычисленное методом Симпсона, -

       .          (7)

       Таким образом, значение ошибки ЧИ на первом шаге, сохраняемое в соответствии с формулой (4) на всех нечетных шагах, можно вычислить следующим образом:

       .          (8)

       В момент времени эта ошибка, в силу симметрии сигнала задания на скорость, удваивается:

       ,          (9)

       .          (10)

       Дополнительные исследования позволили выявить следующие закономерности формирования сигнала задания на положение методом Симпсона:

изменение уравнения или коэффициентов уравнения, описывающего непрерывный аналог интегрируемого сигнала , приводит к накоплению ошибки интегрирования только при скачкообразном изменении его первой производной , что при оптимальных по тепловым потерям законах управления имеет место в начале и в конце отработки перемещения;

      

величина приращения ошибки ЧИ зависит от амплитуды скачка задания на ускорение и величины периода дискретности; независимо от формы оптимальной диаграммы, определяемой наличием либо отсутствием в ней участков ограничения скорости и ускорения

       ,

где - время скачкообразного изменения сигнала ;

      

знак ошибки ЧИ зависит от знака задания на рывок в момент времени :

       ;          (11)

      

если время отработки заданного перемещения равно четному количеству интервалов дискретности, то ошибка ЧИ на четных шагах отсутствует; на нечетных она составляет в динамике величину, определяемую формулой (11), а в статике - ее удвоенное значение; в результате этого выходной сигнал ЗП в установившемся режиме (при нулевых значениях сигналов и ) совершает незатухающие дискретные колебания между уровнями и ;