Обычно при расчетах гидростатических давлений пренебрегают сжимаемостью жидкости и принимают, что величина плотности постоянна по глубине жидкости.
Плотность жидкости с глубиной изменяется по следующему закону:
где Е – модуль упругости жидкости, Па; p0 – плотность жидкости на поверхности при давлении окружающей среды; dp – изменение давления от одной точки до другой по глубине.
Средняя плотность по высоте столба жидкости hi:
где dz – приращение вертикальной координаты оси z, направленной вниз.
Гидростатическое давление dp столба жидкости высотой hi найдем также с учетом средней плотности:
Подставляем полученное выражение в первое, можем получить следующую зависимость:
Можно записать, что средняя плотность равна:
Выражая отсюда f(z) и подставляя его в предпоследнее выражение, будем иметь:
Решая это уравнение относительно интеграла плотности, получим:
Подставляя полученный результат во второе выражение, будем иметь среднюю плотность на разности глубин dh:
Графическая зависимость средней плотности от высоты столба капельной жидкости представлена на рисунке 1.
Рис. 1. Изменение средней плотности по высоте столба капельной жидкости
Список источников.
1. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводу. Я. М. Вильнер, Я. Т. Ковалев, Б. Б. Некрасов. «Вышэйшая школа». Минск, 1976. -415с.