- Дремин И. М., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук, 2001, № 5. с. 465-499
- Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и некоторые приложения// Успехи физических наук, 1996, № 11. с. 1145–1170
- Daubeshi I. Ten lectures on Wavelets - SIAM, 1991
- Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing – Academic Press, 1998
И. А. Шаховая Применение вейвлет-анализа при обработке сигналов. IV международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Компьютерный мониторинг и информационные технологии». 13-14 мая 2008г.
В отличие от традиционно применяемого при обработке сигналов преобразования Фурье, анализирующая функция которого покрывает всю временную ось, вейвлет-преобразование дает результаты, обладающие большей информативностью. Применив Фурье-преобразование, мы получаем представление о характеристиках сигнала в частотной области, но не о временной локализации его компонент. Эта проблема частично решаема за счет применения искусственных методов, например, окон данных. Но при обработке нестационарных сигналов применение оконного Фурье-преобразования довольно проблематично, поэтому целесообразней использовать вейвлет-преобразование, которое находит частотно-временные характеристики сигнала. Термин «вейвлет» происходит от английского «wavelet», что в переводе звучит как «рябь», «маленькая волна». Он был введен Гроссманом и Морле в середине 80-х годов в связи с анализом сейсмических и акустических сигналов. Вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в разложении его по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами функции посредством масштабных изменений и переносов.
Вейвлет-анализ применяется в основном для анализа экспериментальных данных, сжатия сигналов, очистки от шумов, распознавания образов и так далее.
Грубую классификацию вейвлет-алгоритмов можно сделать, выделив непрерывное (CWT — Continuous Wavelet Transform) и дискретное (DWT — Discrete Wavelet Transform) вейвлет-преобразования. Получить набор вейвлет-коэффициентов в случае дискретного преобразования быстрее, и он дает достаточно точное представление о сигнале при меньшем объеме получаемых в результате данных. Непрерывное преобразование требует больших вычислительных затрат, но, вместе с этим, позволяет детальнее рассмотреть структуру сигнала. Выбор того или иного метода зависит от поставленной задачи и типа имеющихся данных, которые необходимо обработать, от возможностей вычислительной техники и от того, в каком виде необходимо представить результат.
Простейшая схема вейвлет-преобразования состоит в следующем: исходный сигнал делится на две равные субполосы. В результате рекурсивного повторения этого процесса для обеих субполос получается древовидное разбиение спектра, из которого возможно полное восстановление сигнала.
Вейвлет-преобразование сигнально-независимо. Октаво-полосное разбиение спектра, производимое им, подходит для многих, но не для всех реальных сигналов. Поэтому требуется преобразование, адаптирующееся к сигналу, но имеющее быстрый алгоритм вычисления. Было разработано несколько методов решения этой проблемы, основанных на пакетах вейвлетов (алгоритмы одиночного, двойного, частотно-временного деревьев и дерева гибкой временной сегментации). В этой области можно отметить работы Р. Койфмана и М. Викерхаузера.
В последнее время развиваются вейвлеты второго поколения, основанные на конструировании во временной области, то есть вне зависимости от преобразования Фурье. К ним относится лифтинг-схема. В этом случае вейвлет-преобразование включает в себя несколько этапов, на каждом из которых выполняются три шага (разбиение, предсказание и обновление), в результате которых сигнал sj длиной 2j точек разбивается на два набора точек sj-1 и dj-1.
На шаге разбиения из отсчетов сигнала формируют два новых непересекающихся набора. Выбор способа разделения набора на два зависит от типа вейвлета. В частности, так называемый «ленивый» вейвлет (lazy wavelet) просто выделяет четные evenj-1 и нечетные oddj-1 отсчеты. Обозначив это действие оператором S, можно выразить через формулу, указанную на рисунке 1.
Рисунок 1 – Этап разбиения
В том случае, если исходные данные были коррелированны, полученные на предыдущем этапе наборы также не будут независимыми. Это означает, что можно попытаться предсказать значения. В примере с разделением на четные и нечетные отсчеты предсказание может быть реализовано простейшим образом: предсказанные элементы просто совпадают с ближайшим слева отсчетом. Вычисляя разность между истинным и предсказанным значениями, формируют коэффициенты dj-1 (см. рис. 2), где через P обозначен предсказывающий оператор.
Рисунок 2 – Этап предсказания
Чтобы сохранить среднее значение при переходе к следующему этапу преобразования, на этом шаге производят модификацию значений, вычисляя с помощью оператора обновления U коэффициенты sj-1 (см. рис. 3).
Рисунок 3 – Этап обновления
Неоспоримое преимущество подхода, используемого лифтинг-схемой, состоит в том, что, во-первых, процесс преобразования происходит очень быстро, во-вторых, набор вейвлет-коэффициентов занимает объем, совпадающий с размером исходных данных, и, в-третьих, обратное преобразование восстанавливает сигнал абсолютно точно, что практически недостижимо при использовании гауссовых вейвлетов.
Однако лифтинг-схема имеет ряд ограничений, наиболее существенные из которых связаны с выбором масштабов преобразования. Масштаб, на котором проводится анализ сигнала, может быть выбран только из фиксированного ряда значений.
Область использования вейвлет не ограничивается анализом свойств сигналов и полей различной природы, полученных численно или экспериментально. Они также применяются для прямого численного моделирования – как иерархический базис, хорошо адаптированный для описания динамики сложных нелинейных процессов.