Синтез дискретных устройств управления непрерывными системами выполняют одним из следующих способов:
• на основе непрерывного объекта регулирования синтезируют непрерывные устройства управления, а потом преобразуют их в дискретную форму (метод непрерывных моделей);
• строят дискретные модели объекта регулирования и на их основе синтезируют дискретные устройства управления.
Следовательно, в обоих случаях нужно уметь находить дискретные аппроксимации аналоговых передаточных функций. Поставленную задачу можно выполнить такими способами:
- с помощью Z-преобразования;
- заменой оператора аналогового интегрирования 1/s одним из операторов цифрового интегрирования;
- заменой нулей и полюсов на s-плоскости соответствующими нулями и полюсами на Z-плоскости.
Допустим, что мы имеем непрерывную динамическую систему с входным сигналом u(t) и выходным сигналом y(t), который описывается в области переменной Лапласа передаточной функцией (ПФ)
(1.1)В этой ПФ характеристический полином (ХП) Gn(s) является нормированным по коэффициенту при старшей степени оператора Лапласа.
Используя разложение полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции (1.1) на множители, получаем
(1.2)где
Z=[z1 z2 ....zm] - вектор нулей;
P=[p1 p2 ....pn] - вектор полюсов;
K=Bm.
В пространстве состояния такой объект описывается матричными уравнениями
x'(t) = Ax(t)+Bu(t), (1.3)
y(t) = Cx(t)+Du(t), (1.4)
где
x = [x1 x2 ....xn]T - вектор переменных состояния;
A – матрица состояния размером n•n;
B – матрица входа размером n•1;
C – матрица выхода размером 1•n;
D – коэффициент прямой связи входа с выходом.
Задача состоит в определении при заданном периоде квантования эквивалентной дискретной передаточной функции (ДПФ)
(1.5)или эквивалентных разностных уравнений
x[k+1] = Adx[k]+Bdu[k], (1.6)
y[k] = Cdx[k]+Ddu[k], (1.7)
то есть в построении дискретной модели непрерывного объекта. Под эквивалентностью в данном случае понимают совпадение реакций непрерывной системы и её дискретной модели на любое входное воздействие. Чаще всего под совпадением реакций понимают, что y[k] = y(tk) при u[k] = u(tk) , где tk = kT , k – номер шага квантования.
Связь между уравнениями в пространстве состояния и передаточными функциями определяется выражениями:
(1.8)
(1.9)где
I – единичная диагональная матрица размером n•n;
Adj(X) – союзная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы-аргумента);
det(X) – определитель матрицы.
В общем случае поставленная задача не имеет точного решения. Это связано с тем, что при дискретизации входного сигнала теряется информация о его значении между узлами квантования. Следовательно, виход дискретной модели от этих значений зависить не может, в то время как реакция непрерывной системы зависит от всех значений входного сигнала.
Но всё таки возможны ситуации, в которых дискретная модель может быть точной в понимании, изложенном выше. Для этого необходимо, чтобы значения процесса u(t) при t k - 1 ≤ t < t k однозначно определялись последовательностью [u(t0), u(t1), ...u(tk-1),] .Это характерно для импульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией первого рода и для цифровых систем управления, если входной процесс, формируется с помощью ЭВМ.
В последнем случае дискретный входной процесс преобразуется в непрерывный с помощью экстраполятора [8, 9].
Чаще всего используют экстраполятор нулевого порядка (ZOH – Zero Order Hold), который преобразует решётчатую функцию времени в ступенчатую, то есть
u(t) = u(tk) при t k - 1 ≤ t < t k (1.10)
и имеет передаточную функцию
(1.11)
В классической теории управления приводится решение задачи дискретизации непрерывного объекта с экстраполятором нулевого порядка на входе с помощью Z-преобразования, которое называют ступенчато-инвариантным [1-3]:
(1.12)
Соответственное решение в пространстве состояния имеет вид [4]:
Ad = eAT, Bd = A-1(Ad-I)B Cd = C, Dd = D. (1.13)
Для определения дискретных передаточных функций (ДПФ) с помощью Z-преобразования для сравнительно простых непрерывных систем можно пользоваться таблицами Z-преобразований [1, 5-7], а для более сложных – нужно сначала разложить ПФ на сумму простых дробей. Если
(1.14)
то неизвестные коэффициенты определяют по формулам
(1.15)
(1.16)
Для расчётов на ЭВМ следует считать более перспективным направлением использование формул (1.13), (1.9). Именно так выполняется Z-преобразование в приложении Control Toolbox пакета MATLAB (функция c2d) [4, 10-11].
При использовании вместо ZOH экстраполятора первого порядка (FOH – First Order Hold), который образует кусочно-линейную аппроксимацию дискретного сигнала
после Z-преобразования
получают дискретную систему, в которой значения сигналов в переходных процессах равны полусумме значений соответствующих аналоговых сигналов на концах периода квантования:
(1.17)
Для подтверждения основных теоретических положений рассмотрим пример, в котором непрерывный объект имеет передаточную функцию
(1.18)
с тремя полюсами
p = [-0.1075+0.4417i, -0.1075-0.4417i, -0.2016], |p| = [0.4546, 0.4546, 0.2016]
и двумя нулями
z = [0, -0.5].
Дискретные передаточные функции, полученные из ПФ (1.18) методом рассмотренных Z-преобразований при T = 2, имеют вид:
(1.19)
(1.20)
Переходные функции исходной непрерывной системы с ПФ (1.18) ha(t) и дискретных систем с ДПФ (1.19) hz(t) и (1.20) hF(t) изображены на рис. 1.1. На этом рисунке и далее частота дискретизации (1/T=0.5) для наглядности выбрана близкой к частоте полюсов непрерывной системы, что в принципе не рекомендуется.
На рис. 1.2 показаны реакции непрерывной системы и её дискретных моделей на сигнал, который линейно возрастает от 0 до 1, а потом фиксируется на достигнутом уровне:
u(t) = t/20 при t < 20; 1 при t ≥ 20. (1.21)
На рис. 1.3 показаны реакции рассматриваемых систем на синусоидальное воздействие. Поскольку синусоидальный входной сигнал между узлами квантования значительно ближе к сигналу, который описывается степенным полиномом первого порядка, чем к сигналу, который описывается степенным полиномом нулевого порядка, то естественно, что ошибка дискретизации при использовании дискретной модели с экстраполяцией первого порядка значительно меньше, чем при использовании дискретной модели с экстраполяцией нулевого порядка.
Из анализа приведенных графиков видно, что вариант Z-преобразования нужно выбирать в зависимости от вида входного сигнала, который прикладывается к непрерывному объекту, подлежащему дискретизации.
Приближённые преобразования в большей или меньшей степени приближаются к рассмотренным Z-преобразованиям, однако рассчитываются значительно проще. Ещё одним преимуществом использования приближённых методов дискретизации непрерывных динамических объектов есть то, что, в отличии от точных Z-преобразований, общая ДПФ последовательно соединённых непрерывных объектов равна произведению дискретных передаточных функций, найденных для каждой из непрерывных ПФ отдельно.
При приближённом определении дискретных передаточных функций (ДПФ) этим методом, можно использовать следующие подстановки:
s = (z-1) / T (2.1)
s = (z-1) / Tz (2.2)
s = 2(z-1) / T(z+1) (2.3)
Формулы (2.1)-(2.3) связаны с разными алгоритмами численного интегрирования, а именно: Forward Euler, Backward Euler та Trapezoidal. Подстановку (2.1) называют методом Эйлера, подстановку (2.2) – модифицированным методом Эйлера , а подстановку (2.3) – билинейным преобразованием или методом Тастина (Tustin) [10].
Для демонстрации подстановочных методов дискретизации на рис. 2.1 показаны переходные функции непрерывного интегрирующего звена W(s) = 1/s (верхний ряд), непрерывного апериодического звена с ПФ W(s) = 1/(4s+1) (нижний ряд) и их дискретных аппроксимаций, найденных методами подстановок.
При дискретизации апериодического звена получают следующие ДПФ:
Для сравнения приведём ДПФ этого же звена, полученные методом Z-преобразований:
Что касается использования этого метода, то необходимо отметить, что в большинстве источников приводятся рекомендации только для расчёта дискретных полюсов и формирования характеристического полинома ДПФ (1.5). Методику определения нулей и коэффициента Kd передаточной функции (1.5) нам в литературе найти не удалось. Пришлось разработать её самим с использованием известных положений теории управления.
Согласно этой методике дискретизацию непрерывного динамического объекта следует выполнять в такой последовательности:
1) найти полюси pi ( i = 1, 2,....,n ) непрерывной системы решив характеристическое уравнение
Gn(s) = sn + αn-1sn-1 +....+ α1s + α0 = 0 (2.4)
или через поиск собственных чисел матрицы состояния
P = eig(sI - A); (2.5)
2) найти нули zi ( i = 1, 2,...,m ) непрерывной системы решив уравнение
Hm(s) = βmsm + βm-1sm-1 +....+ β1s + β0 = 0 (2.6)
3) рассчитать соответствующие дискретные полюсы и дискретные системные нули, то есть
pdi = exp(Tpi), i = 1, 2,....,n , (2.7)
zdsi = exp(Tzi), i = 1, 2,....,m ; (2.8)
4) если m < n - 1, дополнить ДПФ нулями квантования
zdkj = -1, j = m + 1, m + 2, ....., n-1; (2.9)
5) выделить из векторов аналоговых нулей или полюсов нейтральные (то есть те, которые для непрерывной системы равны 0, а для дискретной – 1) и подсчитать их количество ( μ и ν соответственно):
6) рассчитать коэффициент передачи в установившемся режиме непрерывной системы по формуле
(2.10)
где K = βm ,
m1 = m - μ , n1 = n - ν - количество ненулевых аналоговых нулей и полюсов соответственно;
7) рассчитать коэффициент Kd дискретного объекта (см. ДПФ (1.5)) по формуле
(2.11)
де pd1i , zd1j неединичные дискретные нули и полюсы соответственно.
ДПФ, полученная при дискретизации непрерывного объекта с ПФ (1.18) по изложенной выше методике имеет вид:
(2.12)
Анализ ДПФ Wm0 (z) (2.12) показывает, что её полюсы совпадают с полюсами, ДПФ Wz (z) (1.19) і WF (z) (1.20), полученными методами Z-преобразований, а соответствующие системные нули незначительно отличаются друг от друга. Кроме этого, ДПФ Wm0 (z) отличается от WF (z) количеством нулей дискретизации. Следовательно, возникает идея дополнить передаточную функцию (2.12) ещё одним нулём дискретизации, для того, чтобы приблизить её к ДПФ (1.20). При этом в методике дискретизации изменится только пункт 4, который будет иметь следующий вид:
4) якщо m < n , дополнить ДПФ нулями квантования
zdkj = -1, j = m + 1, m + 2, ..., n. (2.13)
В качестве примера, приведём дискретную аппроксимацию ПФ (1.18), найденную по такой методике:
(2.14)