, яка фігурує у формулі уточненого значення, може використовуватись для оцінки похибки на виконаному кроці розрахунку в результаті введення у модель відповідного фіксатора.Источник: Мороз В.І. Оцінка точності моделей, отриманих за допомогою Z-перетворення// Збірник наукових праць “Проблеми автоматизованого електроприводу. Теорія і практика”. – Харків: НТУ „ХПІ”, 2003, № 10. – Т. 2. – с. 392-393.
Постановка проблеми. З появою достатньо великої кількості сучасних числових методів для розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і математичних пакетів, у яких вони реалізовані, впав інтерес до Z-перетворення, хоча цей підхід у моделюванні має ряд переваг [3, 4]:
• стійкий розв’язок для будь-якого кроку;
• у лінійних системах, а також для широкого класу нелінійних систем для відомого вхідного сигналу отримуємо аналітично точний розв’язок, а для довільного вхідного сигналу (який не описано аналітично) точність розв’язку визначається точністю апроксимації вхідного сигналу [4].
До недоліків підходу з використанням Z-перетворення належить відсутність явної процедури оцінки похибки, що вводиться в систему фіксатором нульового чи першого порядку [3, 4].
Аналіз останніх досліджень. Традиційно похибку отриманої за допомогою Z-перетворення моделі оцінюють порівняно з аналітичним розв’язком або з отриманим за допомогою класичного числового методу [3]. Лише в роботі [4] запропоновано використовувати екстраполяцію за Річардсоном для підвищення точності різницевих рівнянь, що отримані на основі Z-форм.
Задачею досліджень є знаходження відносно нескладних процедур, що дозволяють оцінити похибки, які вносяться у дискретну систему фіксаторами довільного порядку, і підвищити точність отриманих за допомогою Z-перетворення рекурентних формул.
Для оцінки похибки від введення фіксатора відповідного порядку в модель і використання Z-перетворення пропонується застосування екстраполяції за Річардсоном [1, 2], яка для i-ої точки розв’язку з постійним кроком матиме вигляд (у позначеннях використано верхні індекси (h) – для одиничного кроку, (2h) – для подвійного кроку):
1) знаходяться значення змінної для двох послідовних кроків розміром h – yi(h) ;
2) знаходиться значення змінної для одного подвійного кроку розміром 2h – yi(2h) ;
3) розраховується уточнене значення змінної за формулою
, де p – порядок числового методу інтегрування, що відповідає використаному фіксатору. Так, фіксатор нульового порядку відповідає інтегратору першого порядку (p = 1 – явний метод прямокутників або Ейлера), а фіксатор першого порядку – інтегратору другого порядку (p = 2 – неявний метод трапецій).
Величина , яка фігурує у формулі уточненого значення, може використовуватись для оцінки похибки на виконаному кроці розрахунку в результаті введення у модель відповідного фіксатора.
Уточнення за допомогою екстраполяції за Річардсоном дає підвищення порядку точності розрахованої змінної: у випадку фіксатора нульового порядку – другий порядок точності (тобто, якщо зменшити крок вдвічі, то похибка зменшується в чотири рази), у випадку фіксатора першого порядку – четвертий порядок точності (тобто, зменшення кроку вдвічі зменшує похибку в шістнадцять разів).
Нижче показано приклад використання даного підходу з використанням Z-перетворення та екстраполяції за Річардсоном для виведення рекурентних рівнянь для моделювання аперіодичної ланки першого порядку (аналог звичайного диференціального рівняння першого порядку) за допомогою апроксимації вхідного сигналу фіксатором нульового порядку.
За відповідними таблицями (наприклад, [3]) виконаємо Z-перетворення для фіксатора нульового порядку і аперіодичної ланки:
,
звідки за дискретною передавальною функцією отримуємо рекурентне рівняння для моделювання:
.
(1)
Отримане рівняння (1) є базовим для уточнення за допомогою екстраполяції за Річардсоном. Реалізація процедури уточнення для i+1-ої точки виглядатиме таким чином.
1) Знаходиться i+1-е значення змінної для одиничного кроку h:
.
2) Знаходиться i+1-е значення змінної для подвійного кроку 2h:
.
3) Обчислюється уточнене значення змінної:
. Після спрощень отримуємо:
.
(2)
Ефект від використання екстраполяції за Річардсоном можна показати на прикладі дослідження реакції аперіодичної ланки зі сталою часу T = 1 с і одиничним коефіцієнтом посилення (K = 1) на одиничний синусоїдний вхідний сигнал з частотою π с-1 (на такому сигналі найкраще видно похибки від дії фіксатора нульового порядку). Результати моделювання з кроком h = 0,2 с для двох типів моделюючих рекурентних формул показані на рис. 1(а), а на рис. 1(б) показано графіки похибок стосовно аналітичного розв’язку для моделюючого виразу (1) і для моделюючого виразу (2).
• Використання Z-перетворення дозволяє отримати прості моделюючі рекурентні рівняння, що легко реалізуються у всіх середовищах програмування та математичних пакетах і є стійкими для будь-якого кроку розв’язування.
• Використання екстраполяції за Річардсоном дозволяє отримати моделюючі рекурентні рівняння, що за точністю відповідають, як показали експерименти, традиційним числовим методам розв’язування звичайних диференціальних рівнянь не нижче третього порядку точності, але забезпечують вищу швидкість розв’язування.