Источник: Мороз В.І. Моделювання електроприводів із застосуванням модифікованого Z-перетворення// Вісник Національного технічного університету "Харківський політехнічний інститут". Тематичний випуск "Проблеми автоматизованого електроприводу. Теорія і практика". – Харків: НТУ "ХПІ", 2005, № 45. – с. 155-156.
Постановка проблеми. Об'єктно-орієнтоване комп'ютерне моделювання базується на принципі декомпозиції – повна модель може бути створена з простіших підмоделей і т. д., аж до найпростіших елементарних блоків. Подібний підхід застосований у відомих середовищах моделювання таких, як Simulink пакету MATLAB (MathWorks, Inc.), проте, з використанням числових методів принаймні 30-річної давності [1, 2]. Це створює низку проблем під час моделювання імпульсних та дискретних систем, оскільки застосовані традиційні числові методи для розв'язування звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) апроксимують функцію розв'язку обмеженим розкладом у ряд Тейлора і тому придатні лише для "гладких" розв'язків.
Сучасні електроприводи звичайно конструюються з силовою частиною за принципом широтно-імпульсної модуляції (ШІМ) і використовують напівпровідникові силові ключі (наприклад, IGBT-транзистори). Їх моделі непридатні для розв'язування класичними числовими методами для ЗДР через розриви функції розв'язку в моменти комутації силових вентилів. Це ж саме стосується систем керування з релейними регуляторами.
Іншим шляхом є використання "напіваналітичних" методів, що дозволяють скласти нескладні, але ефективні моделювальні рівняння, наприклад, за допомогою z-перетворення [3]. Цей підхід тепер дещо забутий, бо вимагає певної аналітичної підготовки перед комп'ютерним моделюванням, а зростаюча потужність комп'ютерів та легкі в користуванні сучасні середовища для моделювання також не сприяють його популярності.
Аналіз останніх досліджень. Приклади застосування z-перетворення і використання фіксатора нульового порядку для високошвидкісного моделювання динамічних систем наведено в роботі [3].
Ефективність у моделюванні широкого класу електромеханічних систем, зокрема, імпульсних, з використанням фіксаторів нульового і першого порядків показано в роботах проф. В. П. Шипілло [4]. Проте використання фіксатора нульового порядку та спрощеного підходу за допомогою z-форм [3, 4] не дозволило повною мірою виявити переваги такого підходу.
Задачею досліджень є знаходження на основі модифікованого z-перетворення рекурентних рівнянь для моделювання елементарних динамічних ланок.
Процес отримання рекурентних моделювальних рівнянь ґрунтується на тому, що аналітична функція відгуку виходу y(t) елементарного динамічного блоку визначається зазвичай невідомим аналітичним описом вхідного сигналу x(t). Використання фіксаторів (відомих з теорії дискретних систем) дозволяє вирішити цю проблему апроксимацією довільного вхідного сигналу x(t) частинками поліномів невисокого порядку [3, 4]. Проведені дослідження [5] показали, що використання з цією метою модифікованого z-перетворення для компенсації півперіодного запізнення фіксатора нульового порядку дає простіші рекурентні моделювальні рівняння з такою ж точністю, як і фіксатор першого порядку. Даний підхід ґрунтується на відомих таблицях модифікованого z-перетворення і дає досить прості моделювальні рівняння.
У всіх реальних системах, що описуються передатними функціями, порядок полінома знаменника не перевищує порядок полінома чисельника, що дозволяє розкласти таку систему на елементарні складові:
• нульові полюси (інтегральні складові);
• прості дійсні полюси (аперіодичні ланки першого порядку);
• пари комплексно-спряжених полюсів (коливні ланки другого порядку).
Інтегратор є найпростішою динамічною ланкою. Використовуючи випередження на один період множенням на оператор z1, модифіковане z-перетворення зі зсувом m = 0.5 і позначивши h – період часової дискретизації можна записати:
Отримана цифрова модель інтегратора аналогічна знайденій з використанням фіксатора першого порядку [3, 4].
Ланка першого порядку також широко вживана в комп'ютерному моделюванні, бо є аналогом ЗДР першого порядку. Використовуючи описаний підхід отримуємо її цифрову модель [5]:
Використання пропонованого підходу безпосередньо до ланки 2-го порядку призводить до непридатних для практичного застосування складних виразів. Найкращим виходом є перетворення диференціального рівняння другого порядку до системи двох ЗДР першого порядку і застосування до них описаних перетворень:
Таке перетворення дещо знижує точність (у середньому, в 3-4 рази), зате спрощує отримані рекурентні рівняння. За потреби точність можна підняти незначним скороченням кроку: як показали експерименти, для компенсації зростання похибок внаслідок такого спрощення достатньо зменшити крок у півтора рази.
З використанням пропонованого підходу у середовищі MATLAB проведено моделювання режимів пуску і навантаження простого нереверсивного імпульсного електроприводу з гістерезисним регулятором струму (ще відомий як "струмовий коридор") (рис. 1, 2). Для порівняння використано стандартні функції MATLAB для розв'язування систем ЗДР. Час моделювання для пропонованого підходу з фіксованим кроком h = 10-5 с (не найкращий варіант вибору кроку) був принаймні на порядок менший, ніж для стандартної функції MATLAB для ЗДР з автоматичним вибором кроку розв'язування.
Використання модифікованого z-перетворення для комп'ютерного моделювання забезпечує вищу швидкодію порівняно з класичними числовими методами за такої ж точності. При цьому підході моделювальні рівняння є простими для використання та розуміння і придатні для моделювання імпульсних і цифрових систем без обмежень, які властиві класичним числовим методам для ЗДР.