Источник: Мороз В.І. Застосування інтегралу згортки для синтезу цифрових систем// Вісник Хмельницького національного університету. Т. 2. Технічні науки. – 2007. – № 2. – С. 75-78.
Запропоновано спосіб синтезу цифрових систем керування електромеханічними системами шляхом дискретизації неперервних прототипів використанням їхнього розкладу на елементарні динамічні ланки і застосування до них відповідних моделюючих рівнянь. Спосіб ґрунтується на рекурентних формулах, які отримані за допомогою апроксимації інтегралу згортки з ненульовими початковими умовами.
Постановка проблеми. Існуючі методи синтезу цифрових систем керування електромеханічними системами ґрунтуються на математичних засадах, які мають принаймні 40-річну історію [1-5] і можуть бути поділені на декілька груп за способом дискретизації неперервної системи:
• використання операторних методів (z-перетворення і дискретне перетворення Лапласа) [1-4];
• використання числових інтеграторів (найчастіше це є формули інтегрування за прямокутниками і трапеціями [3, 4]);
• використання числових апроксимацій (прикладом є інженерні методики синтезу цифрових систем з використанням підстановки Тастіна і z-форм [3, 4]).
Використання операторних методів є аналітичним підходом і дозволяє отримати найточніші дискретні моделі неперервних систем, проте не позбавлений такого недоліку, як складність через необхідність значного обсягу саме аналітичних перетворень. Використання двох інших підходів, що базуються на числових методах і числових апроксимаціях (власне кажучи, вони є подібними між собою), призводить до появи числових похибок внаслідок процесів перетворення сигналу. Спільним недоліком у всіх цих способах є непристосованість до реалізації на малорозрядних контролерах і обчислювальних пристроях, що проявляється в ефекті впливу обмеженої розрядності задавання коефіцієнтів на обумовленість характеристичного рівняння A(z) дискретної передатної функції W(z)=B(z) / A(z). Як було показано в роботі [6], це може призвести до неправильного функціонування цифрової системи (як керуючої, так і комп'ютерної моделі).
Таким чином, постає задача розробки математичного підґрунтя для дискретизації неперервних систем, що було б позбавлене згаданих вище недоліків традиційних методів.
Аналіз останніх досліджень. Огляд існуючих літературних джерел [5, 7, 8] показує, що в галузі розробки математичних основ цифрових систем керування домінує класичний підхід, закладений ще його основоположниками [1, 2]. Нічого не змінилося і в розробці практичних цифрових систем, коли навіть дуже складні сучасні алгоритми керування базуються на числових методах і способах дискретизації неперервних систем, які мають щонайменше піввікову історію [9]. Саме відсутність відповідного математичного апарату є однією з основних проблем під час створення програмного забезпечення для паралельних обчислювальних систем [10].
Метою досліджень є розробка математичного підґрунтя для створення числово-аналітичних методів синтезу дискретних систем – як керуючих систем для електромеханічних об'єктів, так і комп'ютерних моделей.
Пропонований підхід ґрунтується на тому, що реакція y(t) електромеханічної системи з імпульсною перехідною характеристикою w(t) за дії зовнішнього сигналу або збурення x(t) для довільного моменту часу t визначається інтег-ралом згортки, який враховує вплив всієї передісторії зовнішніх дій x(t) на систему до заданого моменту t:
Для знаходження інтегралу згортки повинні бути відомі або задані обидві його складові:
• імпульсна функція системи w(t) – зазвичай є відомою або заданою;
• вхідний сигнал або збурення x(t), найчастіше є довільним, тобто, аналітично невизначеним, за винятком окремих випадків – знаходження перехідної характеристики (вхідним сигналом є одинична стрибкоподібна функція) чи реакції на інший тестовий сигнал, який можна описати аналітично.
Задача ускладнюється для цифрових систем, для яких додається необхідність оперувати з сигналами лише за їхніми відліками x(ti), при цьому втрачається інформація в проміжках між ними. У такому разі знаходження інтегралу згортки стає можливим шляхом відповідної апроксимації сигналу x(t).
Зрозуміло, що для реальних електромеханічних об'єктів інтегрування починаючи від –∞ не передбачає інформації про початкове значення вихідної координати y(t), тобто, приймається, що початкові умови є нульовими. У той же час актуальнішою для задач розрахунку перехідних процесів є проблема знаходження інтегралу згортки для системи, що перебуває в русі на даний момент часу, тобто, для ненульових початкових умов. Задачу ускладнює те, що інтеграл згортки не може бути розбитий на окремі проміжки інтегрування за часом, як звичайні означені інтеграли, тому необхідно знайти інший спосіб знаходження інтегралу згортки в потрібному проміжку інтегрування з урахуванням початкового значення вихідної координати.
Дана задача вирішується знаходженням відображення за Лапласом реакції системи Y(s) з передатною функцією W(s) = B(s) / A(s) за зовнішньої дії з відображенням X(s) для стану з ненульовими початковими умовами:
Y(s) = C0(s)/A(s) + [B(s)/A(s)]*X(s), де C0(s) – многочлен, який відображає початкові умови і знаходиться, як відомо, на основі рекурентної формули відображення похідної від деякої функції fi(t).У часовому ж вимірі вираз C0(s) / A(s) є відображенням загального розв'язку fi(t) для заданих початкових умов однорідного диференціального рівняння, яке пов'язане з характеристичним поліномом A(s):
Записати відповідне диференціальне рівняння можна з використанням прямого та оберненого перетворень Лапласа стосовно характеристичного полінома A(s) = ansn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0, якому і відповідає дане однорідне диференціальне рівняння any(n) + an-1y(n-1) + ... + a1y' + a0y = 0. У випадку ненульових початкових умов потрібно застосувати теорему диференціювання для оригіналу:
де y0, y'0, y''0,...,y(n-2)0, y(n-1)0 - відповідні ненульові початкові умови згаданого однорідного диференціального рівняння, розв'язком якого є функція φ(t);
Y0(s) – відображення розв'язку згаданого вище рівняння з ненульовими початковими мовами.
Отже, розв'язок однорідного диференціального рівняння матиме відображення 
Шуканий вираз для функції φ(t) достатньо просто знаходиться за допомогою оберненого перетворення Лапласа для конкретних випадків електромеханічних систем із заданими передатними функціям та заданими початковими умовами за допомогою комп'ютерних програм аналітичної математики (Derive, Maple, MathCAD тощо). Задача спрощується застосуванням до відображення Y0(s) теореми розкладу на елементарні дроби (теореми Хевісайда) і знаходження для кожного з них відповідної часової функції з наступним підсумовуванням.
Таким чином, загальний розв'язок інтегралу згортки за дії зовнішнього сигналу x(t) на об'єкт з передатною функцією W(s) для ненульових початкових умов y0, y'0, y''0,...,y(n-2)0, y(n-1)0 матиме вигляд:
Для реальних електромеханічних систем, які описуються правильними дробово-раціональними передатними функціями, тобто, порядок полінома чисельника не перевищує порядок полінома знаменника, процедура знаходження інтегралу згортки спрощується розкладом системи на елементарні динамічні ланки:
• A / s – відповідає інтегральній ланці або нульовому полюсу з передатною функцією 1 / (T*s) та імпульсною перехідною функцією w(t) = 1/T . Відповідно, реакція на ненульові початкові умови запишеться
• B / (s+a) – відповідає аперіодичній ланці першого порядку або дійсному полюсу з передатною функцією 1 / (T*s+1) та імпульсною перехідною функцією 
.
Відповідно, реакція на ненульові початкові умови запишеться як 
, звідки інтеграл згортки для аперіодичної ланки за початкової умови y0 матиме вигляд 
.
• 
– дозволяє врахувати в сумарній передатній функції пару комплексно-спряжених полюсів і може бути подано сумою передатних функцій двох стандартних ланок другого порядку:
- синусна складова з передатною функцією 
(де 
– власна частота коливної ланки,
– коефіцієнт демпфування (угамування) ланки) та імпульсною перехідною функцією
;
- косинусна складова з передатною функцією 
та імпульсною перехідною функцією
.
Характеристичний поліном в обох випадках є однаковим і реакція на ненульові початкові умови y0 та y'0 для обох складових також буде однаковою:
У цілому ж інтеграл згортки для кожної складової за початкових умов y0 та y'0 описуватиметься виразами:
синусна складова
,
косинусна складова 
.
Таким чином, елементарний дріб 
можна записати сумою відображень за Лапласом синусної та косинусної складових ys(t) та yc(t) з відповідними ваговими коефіцієнтами:
. Наступним кроком у побудові рекурентних формул для дискретизації неперервних прототипів елементарних динамічних ланок є застосування апроксимації поліномами відповідного порядку сигналу x(t) [6]. Це дає змогу знайти відповідні інтеграли згортки для довільного (що не має аналітичного опису) зовнішнього сигналу x(t), у тому числі визначеного своїми відліками xi в дискретні моменти часу ti = h*i (де i – номер поточного відліку; h – крок дискретизації за часом). Через обмежений обсяг статті приклад дискретизації неперервної системи обмежено найпростішою апроксимацією нульового порядку (прямокутниками) [6] – у цьому випадку сигнал визначається своїми відліками x(t) = xi на проміжку
. Застосовуючи апроксимацію до знайдених раніше виразів для інтегралу згортки з ненульовими початковими умовами y0 та y'0 для елементарних динамічних ланок матимемо для них дискретні відповідники у формі рекурентних рівнянь:
інтегральна ланка: 
;
аперіодична ланка першого порядку: 
;
коливна ланка другого порядку, відповідно, синусна і косинусна складові:
Запропонований підхід з використанням рекурентних обчислювальних схем на підставі апроксимацій інтегралу згортки з ненульовими початковими умовами дозволяє здійснити синтез цифрових систем з використанням процесів дискретизації неперервної системи і отримати при цьому низку переваг:
• отримані рекурентні формули є стійкими для будь-якого кроку;
• пропоновані рекурентні формули дозволяють забезпечити максимально можливий крок дискретизації з умови заданої похибки порівняно з іншими методами (крім операторних);
• пропонований підхід дозволяє спростити реалізацію паралельних обчислень.