Источник: Изв. АНСССР, Энергетика и транспорт, 1974, № 8 – с. 205 – 208.
При проектировании систем электроснабжения возникает необходимость в оценке влияния резкопеременных «ударных» нагрузок, создаваемых мощными электроприемниками (прокатные станы, дуговые печи и другие). Существующие аналитические методы определения пиков и колебаний электрических нагрузок [1,2] позволяют получить данные, достаточные для расчета сетей по нагреву, потере и колебаниям напряжения. Применение же их для анализа режимов работы систем электроснабжения встречает затруднения из-за сложности дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в двигателях и генераторах. Подобные исследования обычно выполняют методами моделирования, для чего необходимо иметь реализации групповых графиков электрической нагрузки, а не только их характеристики.
Эти реализации могут быть получены методом Монте-Карло, когда известные расчетные индивидуальные графики нагрузки многократно воспроизводятся во времени со случайными сдвигами между ними. Такое моделирование было выполнено автором (совместно с к.т.н. Л.В. Брусенцовым) в ГПИ «Тяжпромэлектропроект» для конкретного случая практики. Изложение этого метода выходит за рамки настоящей статьи; здесь уместно отметить, что он мало приспособлен для реализации на ЭЦВМ, так как запись исходных индивидуальных графиков требует большого количества ячеек памяти.
Известно [3], что групповые графики электрической нагрузки представляют стационарные случайные процессы, математические методы моделирования которых достаточно разработаны [4,5]. Однако эти методы оказываются эффективными в тех практически редких случаях, когда корреляционные функции групповых графиков аппроксимируются простыми аналитическими выражениями.
В настоящей работе разработан общий метод моделирования графиков электрической нагрузки (активной или реактивной), основанный на дискретном представлении их оси времени; применение этого метода иллюстрируется практическим примером. Кроме того, в приложении дано краткое описание других возможных методов моделирования, требующих более обширной априорной информации о групповых графиках.
Представим реализацию группового графика в виде дискретной последовательности:
его значений, отделенных друг от друга одинаковыми интервалами длительностью , т.е. осуществим «квантование времени».
В общем случае для группового графика будем считать заданную функцию вероятностного распределения F(δPΔ) случайных значений алгебраической разности:
нагрузок на концах интервала Δ, среднее значение Pc и корреляционную функцию . Тогда моделирующий алгоритм для построения графика:
отличающегося от искомого на величину средней нагрузки, будет следующим.
Взяв в качестве начальной ординаты PΔ графика (3) случайное значение (2), вырабатываемое специальным оператором согласно распределению F(δPΔ), прибавим к ней последующее значение δP(Δ) , получим величину P(2Δ) и т.д. При этом последовательность значений δP(Δ) не может быть произвольной, поскольку необходимо учитывать корреляционную связь между значениями нагрузки (корреляционные функции графиком P(jΔ) и P0(jΔ) однаковы).
В самом деле, известно[6], что вероятностное распределение и корреляционная функция случайного процесса являются независимыми детерминированными его характеристиками. Поэтому заданная совокупность значений нагрузки может быть реализована на одном и том же интервале времени бесчисленным количеством способов: от неслучайного графика, в котором все ординаты либо возрастают, либо убывают (упорядоченные диаграммы [3]) до абсолютного разрывного случайного процесса с недифференцируемой корреляционной функцией.
Строго говоря, наличие корреляционных связей требует создание такого генератора случайных значений (2), который изменял бы нагрузку за время Δ с учетом предшествующих и последующих значений нагрузок, что практически трудно осуществить. Однако оказывается, что для большинства практически важных случаев, когда групповой график имеет нормальное расределение [2,3], достаточно учитывать корреляционную связь лишь между значениями нагрузки на концах интервала Δ .
Этот далеко не очевидный вывод следует из того, что используемые в расчетах характеристики выбросов и колебаний нагрузок для нормальных графиков, помимо их среднего значения Pc и стандарта σ , определяется лиш значеним корреляционной функции для τ=Δ и скоростью изменения загрузки [1,2].
Скорость изменения нагрузки полностью учитывается описанным алгоритмом, так как она отличается от значений (2) лишь постоянным множителем 1/Δ и не зависит от нагрузки. Учет же ограничений, накладываемых корреляционными связями, может быть сведен к контролю знака ординат графика P(jΔ) . Действительно, вероятность перемены знака этого графика на интервале Δ нормального процесса однозначно связана со значением K(Δ) формулой [6]:
где через R(Δ) обозначено значение нормированной корреляционной функции:
для аргумента τ=Δ .
Это означает, что корреляционная связь в пределах интервала проявляется в том, что по истечении некоторого кратного интервала, длительность которого формируется как случайная величина с вероятностью e , ордината графика P0(jΔ) должна изменять знак, независимо от «очередного» значения δPΔ . Иными словами, в этом случае из генерируемой последовательности случайных значений (2) надлежит выбирать в порядке поступления лишь те значения, которые обеспечивают перемену знака, а «неподходящие» значения δPΔ должны запомниться и вновь использоваться на последующих тактах моделирования.
В практических расчетах значения графика P(t) ограничены некоторыми пределами Pм и PМ , равными сумме наименьших и наибольших ординат графиков отдельных приемников (обычно Pм=0 ), что налагает дополнительные ограничения, легко учитываемые при моделировании.
Реализация описанного выше моделирующего алгоритма на ЭЦВМ не встречает принципиальных затруднений и поэтому здесь не рассматривается. Достоинствами этого алгоритма является его простот и незначительный объём начальной информации (Pc, σ, K(Δ)), поэтому с точки зрения экономии машинной памяти может оказаться целесообразным моделировать групповой график согласно предложенному здесь методу даже при наличии графиков, записанных в действующих электроустановках.
Следует отметить, что методом квантования времени можно моделировать групповые графики приемников массового типа (аппараты дуговой и контактной электросварки, прессы и др.). Для таких электроприемников в [7] уже разработан метод моделирования, однако его применение весьма эффективно при относительно небольшом количестве приемников. Напротив, рассматриваемый здесь метод применим к таким приемникам как раз при большом их количестве, когда вероятностное распределение групповой нагрузки можно считать нормальным.
Необходимые для моделирования данные определяются для группы независимо работающих приемников суммированием соответствующих характеристик(pc, σp, k(Δ)) из индивидуальных графиков:
известных из опытных исследований либо из технологических расчетов [2].
Для массовых электроприемников задаются лишь средние характеристики их индивидуальных графиков, а не сами эти графики. В этом случае исходные данные для моделирования определяются с учетом [7], по формулам:
где kис, kdc – средние коэффициенты использования и включения индивидуальных графиков для всей группы приемников;
Pн – суммарная установленная мощность;
nэ – эффективное число приемников [3];
λэ – средняя частота включений приемников.
Для нормального случайного процессаP(t) распределение значений δPΔ тоже является нормальным с нулевым математическим ожиданием и дисперсией [1]:
Выбор длительности интервала зависит от конкретных условий задачи: величина не должна быть слишком большой с тем, чтобы достаточно точно учитывать форму моделируемого графика, в то же время она не может быть слишком малой, чтобы чрезмерно не увеличивать количество тактов моделирования.
Реализация, получаемая путем моделирования, должна быть достаточно продолжительной, чтобы исключит значительные случайные отклонения характеристик модели от заданных характеристик. Существуют точные математические методы оценки необходимой длительности реализаций, требующи задания всех точек корреляционной функции группового графика [6]. Практически же эта длительность должна выбираться такой, чтобы объем статистичекого материал для оценки интнресующей нас характеристики группового графика был достаточным (несколько сот точек [8]).
Отсюда, например, следует, что для оценки характеристик колебательности графика [1] требуется большая длительность реакции, чем для построения функции распределения, а следовательно, и упорядоченной диаграммы группового графика.