Источник: Изв. Вузов. Электромеханика, 1964, № 10 – 1130-1135 с.
Последовательности одиночных прямоугольных импульсов являются наглядной математической моделью широкого круга физических процессов в радиотехнике, телеметрии и других областях. В частности, при решении ряда технико-экономических проблем проектирования возникает необходимость в экспериментальных исследованиях влияния электрической нагрузки на соответствующие элементы сети. Существующие методы расчета пиков и выбросов электрической нагрузки[1,2] позволяют получить лишь вероятностные характеристики суммарного графика группы электроприёмников, но не его реализации.
Известно[3], что при установившемся режиме работы промышленного предприятия групповые графики нагрузки представляют стационарные случайные процессы, методы моделирования которых достаточно разработаны[4,5]. Однако применение этих методов требует, по существу, задания индивидуальных графиков нагрузки, в то время как для электроприёмников массового типа (аппараты дуговой и контактной электросварки, печи, прессы, краны и другие) обычно известны лишь некоторые показатели их индивидуальных графиков. В настоящей работе для подобных приемников разработан общий метод моделирования групповых графиков нагрузки, применение которого иллюстрируется практическим примером.
Автор считает своим долгом поблагодарить профессора, доктора техн. наук Г.М. Каялова за ценные замечания при подготовке настоящей работы.
В дальнейшем для определенности рассматриваются групповые графики P(t) активной мощности, но все выводы, полученные в работе, справедливы для графиков реактивной мощности, а также – приближенно – и для графиков тока. Индивидуальные графики нагрузки электроприемников предполагаются состоящими из последовательностей прямоугольных пиков и пауз, причем для каждого r-го приемника с номинальной мощностью pнr известны следующие характеристики его графика: коэффициент включений kвr и загрузки kзr , количество пиков в единицу времени λr и, в общем случае, вероятностные распределения αr(t) и βr(t) длительностей пиков и пауз.
Сущность предлагаемого в настоящей работе моделирующего алгоритма заключается в следующем. Некоторому случайным образом заданному начальному значению количества m одновременно включенных приемников ставится в соответствие случайное значение Pm пика нагрузки, которое формируется специальным оператором, согласно вероятностному закону f(Pm) распределения величины пиков. Это значение пика нагрузки сохраняется в течение случайного времени tm длительности пика, которое формируется как случайная величина с заданным законом распределения f(tm) длительностей пиков. По истечении этого времени нагрузка переводится либо в состояние (m+1) с вероятностью появления Eвm включения любого приемника, либо в состояние (m-1) – с вероятностью Eom отключения любого приемника. Далее реализация алгоритма осуществляется по уже описанной схеме.
Таким образом, для моделирования группового графика нагрузки массовых приемников необходимо знать условные вероятности включения или отключения приемников, а также вероятностные распределения длительностей и величин пиков нагрузки, отвечающих заданному количеству m уже совместившихся пиков.
Прежде всего, приведем используемые в дальнейшем формулы для характеристик суммарного графика группы n приемников, полученные автором на основе метода, введенного А.Я. Хинчиным в математическую теорию массового обслуживания[6].
1. Средняя длительность пика из m приемников равна:
2. Вероятность пиков определяется по формуле:
3.Вероятности выбросов Eym и Eynm провалов за уровень m< my < m+1
составят:
4.Число выбросов Nym уровень my за время Tц комплексного технологического цикла (смену) составит:
Формулы эти позволяют определить условную вероятность включения любого приемника, при наличии m уже включенных приемников, следующей формулой:
условная вероятность отключения любого из m включенных приемников равна:
Закон распределения длительностей пиков в общем виде может быть найден согласно формулам, предложенным в [7]. К сожалению, практическое применение этих формул затруднено ввиду их сложности. Между тем экспериментальные исследования, выполненные автором в действующих электрических сетях, позволяют считать закон распределения длительностей пиков экспоненциальным:
который определяется единственным параметром – средней длительностью пика. На рисунке приведены некоторые результаты опытной проверки гипотезы об экспоненциальном законе распределения длительностей пиков; во всех случаях указанная гипотеза удовлетворила критериям согласия Колмогорова и Пирсона.
Нетрудно убедиться, что распределение получается из общих формул работы [7] в том случае, когда длительности пиков и пауз индивидуальных графиков также подчинены экспоненциальным законам распределения:
Одинаковым для всех приемников.
Это означает, что при большом числе приемников групповой график нагрузки можно рассматривать как сумму n одинаковых в статическом отношении индивидуальных графиков с законами распределения (8).следует отметить, что сходимость распределения f(tm) к экспоненциальному закону при произвольных законах распределения α(t) и β(t) математически строго доказана [7] лишь для случая m=n, однако практическая применимость гипотезы об экспоненциальном распределении длительностей пиков при любых m не вызывает сомнений.
Из сказанного следует важный вывод о том, что для моделирования графиков m(t) одновременно включенных приемников практически достаточно знать лишь средние значения kвс и λс . Кроме того, вероятности появления величин [1]:
пиков от m включенных приемников можно считать одинаковыми, в Cn раз меньшими величины:
чем решается задача отыскания закона распределения f(Pm).
Наконец, такой подход к физической величине формирования группового графика приводит к марковской модели суммарного графика, принятой в [3]. Существенно то, что при этом постоянная Тк затухания корреляционных связей марковского случайного процесса определяется по простой формуле:
Реализация групповых графиков, получаемые по изложенному здесь методу, тождествен реальным графикам по следующим характеристикам: вероятностям, среднему значению и дисперсии пиков, средним длительностям, частотам, а также распределениям длительностей пиков, выбросов и провалов нагрузки. Более того, поскольку указанные выше характеристики выбросов и провалов нагрузки определяются изменением корреляционной функции K(τ) группового графика в окрестностях нулевого значения ее аргумента τ[2], следует ожидать графика с экспериментальными данными, по крайней мере для небольших значений, что практически наиболее важно.
В заключение отметим, что предложенный здесь алгоритм моделирования можно распространить и на непрерывные групповые графики, приближенно заменяя их дискретными со ступенчатым изменением ординат.