Источник: Изв. Вузов. Техническая электродинамика, 1986, № 6 – с. 55-60.
Электрические нагрузки сетей электроснабжения обычно представляют собой случайные процессы. Статистическое моделирование (имитация) реализаций таких процессов является эффективным средством исследования задач, не имеющих аналитического решения. Существует много различных методов моделирования (например [1,6]) в электроснабжении промпредприятий из развитие идет по пути приближения к сущности механизма возникновения случайных процессов [3,7].
В статье рассматривается метод моделирования, основанный на том, что наблюдаемые на практике стационарные случайные процессы есть результат линейного преобразования белого шума, часто совершенно скрытого от глаз исследователя [4]. Для определенности применение метода иллюстрируется на примере графиков (реализаций) электрических нагрузок дуговых сталеплавильных печей.
Будем считать, что искомые реализации случайного процесса x(t) получаются преобразованием линейной системой реализаций некоторого входного случайного процесса ξ(t). Задача заключается в том, чтобы подобрать параметры системы, которые обеспечили бы заданные характеристики процесса x(t). В общем случае решение такой задачи затруднено. Конечный результат можно получить, если задана спектральная плотность S(w) или связанная с ней корреляционная функция (КФ) процесса на выходе системы. Здесь требуется найти амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) А(w) системы.
Поскольку спектральные плотности процессов на выходе и входе системы связаны соотношением:
то формально можно было бы использовать любой входной процесс, определяя АЧХ по формуле:
Однако при таком подходе не только потребовались бы сложные динамические системы, но и само преобразование не имело бы глубокого физического смысла. В связи с этим в качестве вхолного процесса целесообразно принимать белый шум с постоянной спектральной плотностью Sξ(w)=c. В этом случае искомая АЧХ:
Синтез системы по АЧХ не может быть осуществлен однозначно. Если фозочастотная характеристика не задана, следует подбирать систему из простых динамических звеньев.
Отметим, что непосредственное использование КФ k(τ) приводит к необходимости решения интегрального уравнения:
относительно импульсной переходной характеристики g(τ) системы, где u – переменная интегрирования. Очевидно, такой путь намного сложнее, поэтому при заданной КФ целесообразно вычислить по ней спектральную плотность и воспользоваться вышеуказанной формулой.
Задача воспроизведения заданного вероятностного распределения ординат решается, когда имеется аналитическое выражение связи между распределениями входного и выходного процессов. Например, линейные системы сохраняют свойство нормальности, поэтому для моделирования нормальных процессов достаточно обеспечить нормальное распределение ординат белого шума. Для других распределений такой возможности нет, но именно в этих случаях и возникает необходимость в статическом моделировании.
Рассмотрим способы имитации белого шума. Этот процесс, имеющий бесконечную дисперсию, является теоретической идеализацией. В связи с этим далее используется «реальный шум» ξ(t) с конечной дисперсией Dξ, которой можно считать близким к ξ(t) , если его постоянная корреляции τk ξ намного меньше постоянной инерции Tн системы [5,7]. В этом случае:
где Sτ(w) – спектральная плотность процесса ξ(t).
Имитация реального шума может быть осуществлена по-разному. Покажем, что случайная последовательность примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов малой длительности Δ с зависимыми величинами ξ импульсов удовлетворяет поставленной задаче.
Для этого воспользуемся формулой (4.4.9) из [2]. Тогда:
Здесь ξэ - эффективное значение реального шума и учтено, что спектральная плотность в работе [2] отличается от принятой множителем π.
При моделировании всегда можно обеспечить нулевое среднее значение дисперсией, так что окончательно можно записать:
Полученному выражению τ < Δ при соответствует КФ:
а при τ > Δ КФ обращается в нуль. Постоянная корреляции:
Поэтому уменьшением Δ всегда можно добиться выполнения условия τkξ << Tu , что и требовалось доказать.
Для определенности будем считать время корреляции несоизмеримо малым по отношению к постоянной инерции системы, если эти величины отличаются, по меньшей мере, на порядок, т.е. при τkξ << 0,1Tu . Тогда с учетом (4) получим условие:
применимости формулы (2).
С уменьшением Δ график спектральной плотности (3) все больше приближается к горизонтали, но при заданной длительности моделируемой реализации увеличиваются количество ординат и трудоемкость моделирования. Поэтому выбор длительности ступеньки целесообразно производить из условия постоянства спектральной плотности белого шума в диапазоне частот, в котором находится график искомой спектральной плотности (заштрихованная область на рисунке для электрической нагрузки дуговой печи).
Отсюда следует, что наибольшую длительность ступеньки можно вычислить и по некоторой частоте wн, когда S(wн)=0 . Тогда, задавшись коэффициентом допустимого уменьшения спектральной плотности (3) по сравнению с ее значением в нуле, получим :
На практике следует стремиться, чтобы величина совпадала с шагом квантования по времени, принятым при вычислении эмпирической КФ по записанным в действующих электрических сетях графикам электрических нагрузок.
Так как в пределах длительности одной ступени ординаты одинаковы, то моделирование реального шума сводится к получению независимых случайных чисел: например, для этой цели можно использовать таблицы нормального или равномерного распределения чисел, считая каждое значение из таблицы начальной ординатой ступеньки. Нормальный шум хорошо имитируется описанным в работе [7] методом квантования времени. Это же и любые другие распределения могут быть получены преобразованием случайных чисел [6].