У цій роботі розглядається рішення завдання, пов'язаної з тепло- та масообміном, плином рідини, тобто процесами, що відбуваються в елементах технологічного встаткування. Важливість цих процесів очевидна для багатьох практичних завдань. Майже всі способи виробництва енергії як істотні складові включають процеси гідродинаміки й теплообміну. Ці ж процеси є визначальними при обігріві й кондиціюванні будинків. В основні установки металургійної й хімічної промисловості входять теплообмінники, у яких мають місце плину рідин і газів і теплообмін.

За допомогою розрахунку ми маємо можливість вибрати більше безпечні й ефективні режими роботи існуючого устаткування. Розрахунок поводження системи в даній фізичній ситуації складається у визначенні значень відповідних змінних, що описують процеси, що нас цікавлять.

Характеристики процесів теплообміну й плину рідини можна визначити експериментально й теоретично.

Часто найбільш надійну інформацію про фізичний процес можна одержати шляхом безпосередніх вимірів. За допомогою експериментального дослідження на повномасштабній установці можна визначити поводження об'єкта в натурних умовах. У більшості випадків такі повномасштабні досвіди надмірно дорогі й часто неможливі. Альтернативою є проведення експериментів на невеликих за розміром моделях. Однак отриману інформацію необхідно екстраполювати на натурний об'єкт, а загальні правила для цього часто відсутні. Крім того, на невеликих моделях не завжди можна відтворити всі властивості повномасштабного об'єкта. Це також знижує цінність отриманих результатів. Нарешті, треба пам'ятати, що в багатьох випадках виміри утруднені й вимірювальне устаткування може давати погрішності.

При теоретичному дослідженні визначаються, скоріше, результати рішення завдання відповідно до використовуваної математичної моделі, а не характеристики дійсного фізичного процесу. Для фізичних процесів, що цікавлять нас, математична модель складається, головним чином, із системи диференціальних рівнянь. Якби для рішення цих рівнянь використовувалися тільки методи класичної математики, то навряд чи вдалося б розрахувати багато явищ, що мають практичний інтерес. На підставі класичних робіт з теплообміну або гідромеханіки можна дійти висновку, що в аналітичному виді можна одержати рішення тільки невеликої частини завдань, що мають практичний інтерес. Крім того, ці рішення часто містять нескінченні ряди, спеціальні функції, трансцендентні рівняння для власних значень і т.д. , і їхня числова оцінка може представляти досить важке завдання.

Але рівень розвитку чисельних методів і наявність більших ЕОМ дозволяють думати, що майже для будь-якого практичного завдання можна скласти математичну модель і провести її чисельне дослідження.

Переваги чисельного рішення:

1. Низька вартість. У більшості випадків вартість витраченого машинного часу на багато порядків нижче вартості відповідного експериментального дослідження.

2. Швидкість. Чисельне дослідження можна провести дуже швидко.

3. Повнота інформації. Чисельне рішення завдання дає докладну й повну інформацію. З його допомогою можна знайти значення всіх наявних змінних (таких, як швидкість, тиск, температура, концентрація, інтенсивність турбулентності) у всій області рішення.

4. Можливість математичного моделювання реальних умов.

5. Можливість моделювання ідеальних умов.

Оптимальне дослідження повинне розумно сполучити розрахунок і експеримент.

Залежні змінні, що нас цікавлять, підкоряються узагальненому закону збереження. Якщо позначити залежну змінну ?, то узагальнене диференціальне рівняння прийме вид

,

де ? – коефіцієнт дифузії; S – джерельний член.

В узагальнене диференціальне рівняння входять чотири члени: нестаціонарний, конвективний, дифузійний і джерельний. Залежна змінна Ф позначає різні величини, такі, як масова концентрація хімічного компонента, ентальпія або температура, що становить швидкості, кінетична енергія турбулентності або масштаб турбулентності. При цьому коефіцієнту дифузії Г и джерельному члену S варто додати відповідний кожної із цих змінних зміст.

Вхідна в рівняння щільність може бути пов'язана з такими змінними, як масова концентрація й температура, через рівняння стану. Ці змінні й складові швидкості також підкоряються узагальненому диференціальному рівнянню. Крім того, поле швидкості повинне задовольняти додатковому обмеженню, а саме закону збереження маси або рівнянню нерозривності, що має вид

.