RUS | UKR | ENG || ДонНТУ > Портал магистров ДонНТУ
Магистр ДонНТУ Фирсова Алиса Александровна

Фирсова Алиса Александровна Реферат

Факультет вычислительной техники и информатики

Кафедра прикладной математики и информатики

Специальность: Экономическая кибернетика

 Тема выпускной работы:

Моделирование динамических систем в экономике

Научный руководитель: Дмитриева Ольга Анатольевна 

ДонНТУ > Портал магистров ДонНТУ > Автобиография | Библиотека | Ссылки | Отчет о поиске | Индивидуальное задание

Автореферат

Актуальность

     На протяжении последних лет политика государственного реформирования социально-экономических отношений в Украине ориентировалась на макроэкономическую стабилизацию. Значимость эффективного управления на микроуровне недооценивалась. Это во многом способствовало кризисным явлениям в социальной сфере страны, снижению уровня благосостояния населения. Возникла необходимость в пересмотре путей и методов преобразований на микроуровне уровне отдельных предприятий, формирующих основу современной экономики. Многие предприятия по-прежнему испытывают трудности, связанные с падением объемов производства и рентабельности продаж, потерей традиционных рынков сбыта продукции и затруднениями в поиске новых, слабой согласованностью в действиях высшего звена управления, отсутствием четко выраженных направлений развития, недостаточностью освоения новых видов продукции и новых технологий управления. Преодоление этих трудностей осуществляется в основном интуитивно, без опоры на научно обоснованные системы поддержки принятия решений, и носит формально-констатирующий, а не упреждающий характер.

     При таком подходе сложно не только объективно оценивать состояние управленческого процесса, но и определять тенденции его развития и вносить в него необходимые коррективы. Возникает противоречие между меняющимся содержанием хозяйственной деятельности и отстающим по темпам совершенствования управлением на предприятиях. [1]

     В ходе развития рыночных отношений объективно обозначилась потребность в формировании нового экономико-математического аппарата и нового инструментария, как для анализа экономической динамики, так и для разработки стратегий управления экономическими процессами. [2]

     Математическое моделирование играет огромную роль в задачах экономического планирования и прогнозирования. Это обуславливается, в первую очередь, принципиальной невозможностью экспериментов в экономике и важностью соответствующих задач. Существующие концепции зачастую весьма по-разному оценивают факты и при разной трактовке трудно решить, какой теоретический подход наиболееправильный. При этом, исходя из самого характера экономической науки, невозможно однозначно доказательно проверить эти теоретические изыскания. И хотя понятно, что реальная экономическая деятельность предприятия не может быть полностью описана никакой, даже самой предусмотрительной моделью, тем не менее, необходима правильная расстановка акцентов при формализации. Помимо этого многие экономические системы обладают долговременной памятью, т.е. поведение системы, при t>t0, определяется не только набором определяющих ее параметров в этот момент времени, но и динамикой их изменений в предыдущие. [3] В этой связи необходимо иметь количественные методы, позволяющие выявлять динамику процессов на рынке, факторы, оказывающие влияние на формирование показателей этого рынка, в том числе с учетом специфики экономики Украины. [4] Поэтому тема магистерской работы является актуальной и практически значимой.

Цели и задачи

Цель – разработать динамическую модель экономической системы, адекватно реагирующую на изменяющиеся условия в стране.

Задачи:

  • выявить факторы, влияющие на экономическое состояние страны;

  • изучить текущее состояние экономики;

  • рассмотреть методы, применяемые к данной системе и выявить наиболее практически ценные;

  • разработать динамическую систему, максимально отвечающую текущему состоянию экономики.

Обзор исследований и разработок по теме

    В ДонНТУ моделированием динамических систем в экономике занимаются Дмитриева О.А. и Смирнов А.В. Также этой проблемой занимаются журнал «Проблемы управления и информатики» при поддержке Национальной академии наук Украины, Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины,  Институт космических исследований НАН Украины и НКА Украины [5]. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Институт механики, Институт математики, Украинский национальный комитет по теоретической и прикладной механике [6]. Журнал «Современные наукоемкие технологии», Ставропольский технологический институт сервиса [7]. Петрозаводский государственный университет, кафедра математического моделирования систем управления [8]. Алтайский государственный университет [9] и др.

Научная новизна

     Научная новизна:

  • применены робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния нелинейных динамических систем в экономике;

  •  разработана математическая модель, реагирующая на изменения в экономике.

     Теоретические данные данной магистерской работы могут найти применение в любой сфере экономики и не только для оценивания состояния динамических систем и для оптимального управления ими, а также могут служить стратегией для управления экономикой.

 Основная идея работы

Постановка задачи. Пусть эволюция во времени дискретной динамической системы (ДС) и ее канала измерения описывается уравнениями

xk+1 = Akxk + fk(uk),      (1)

yk = hkTxk + ξk.               (2)

            Здесь k = 0, 1, …— дискретное время; xk — недоступный непосредственному изменению n-мерный вектор состояния, xk Î Rn; Rn — n-мерное вещественное еквилидово пространство; uk — известный вектор управления, ukÎ Rm, m ≤ n; yk — вектор наблюдаемых сигналов, представляющих собой результаты измерения выхода объекта hkTxk, зашумленного действием аддитивной помехи ξk, ykT = (y1k,…,ymk), ξkT =(ξ1k,…, ξmk); T — символ операции транспонирования;

Ak и hkT= — известные матрицы размерностей n´ n и m´ n соответственно, det Ak ¹ 0 "k = 0, 1,…, hik Î Rn; fk( uk ) — заданная n-мерная функция.

Предполагается, что помеха ξk удовлетворяет ограничениям по компонентам или по норме

ξik2 ≤ cip2, i = 1,…, m, k = 0, 1, …,     (3)

(ξik – ξi,k-1)2 ≤ cir2, i = 1,…, m, k = 1, 2, …,     (4)

ξkTξk ≤ cp2, k = 0, 1, …,     (5)

(ξk – ξk-1)T(ξk – ξk-1) ≤ cr2, k = 1, 2, …,     (6)

где cip ,ci, cir, cr — заданные константы.

            В предположении, что результаты текущих измерений yk, k = 0, 1, …, известны, ставится задача эллипсоидального оценивания неизвестного вектора состояния xk в виде

xk Î E[ , Hk] = Ek ,

где E[ , Hk] ={x: σ(x, , Hk) ≤ 1}, σ(x, , Hk) = (x - )THk-1(x - ), — центр эллипсоида, Hk = HkT > 0. Параметры априорного эллипсоида ,

Hk при k = 0 полагаются заданными.

            На ряду с дискретной ДС (1), (2) рассматривается задача эллипсоидального оценивания вектора состояния xk непрерывной ДС

,              (8)

yk = hkTxk + ξk                       (9)

по дискретным измерениям ее выхода yk = y(tk) в моменты времени t = tk, tk+1=tk+T, T — интервал дискретности измерения и изменения управления.

Здесь t — непрерывное время, t Î [0, ∞); xk = x(tk) и ξk = ξ (tk) — недоступный непосредственному измерению неизвестный вектор состояния и помеха измерения; hkT = hT(tk); C(t), D(t) — заданные для всех t ≥ 0 матрицы соответствующих размерностей с ограниченными непрерывными элементами. Остальные предположения соответствуют свойствам дискретной системы (1), (2).

            Оценивание состояния дискретных ДС. Из уравнений (1), (2) непосредственно получаем

ξk = yk - hkTxk  ,                (10)

ξk-1 = yk-1 - hk-1Txk-1 .         (11)

            Воспользовавшись уравнением (1), из (10) и (11) находим

ξk - ξk-1 = zk- rkTxk,           (12)

где  zk=(z1k,…,zmk)T= yk - yk-1 – hk-1TAk-1-1fk-1(uk-1), rkT= =hkT-hk-1TAk-1-1.

Введя обозначение ζk = ξk - ξk-1, соотношение (12) формально можно представить как дополнительный канал измерения системы (1)

zk=rkTxk+ ζk,             (13)

где помеха ζk = (ζ1k, …, ζmk)T удовлетворяет ограничениям по компонентам или по норме

ζik2 ≤ cir2, i = 1,…, m, k = 1, 2, …,     (14)

ζkTζk ≤ cr2, k = 0, 1, …,     (15)

Исследуем случай покомпонентного ограничения помех. Рассмотрим множества

Sip(xk) = {xk: (yik – hipTxk)2≤cip2, k = 0, 1,…, i =1, …m},     (16)

Sir(xk) = {xk: (zik – rikTxk)2≤cir2, k = 1, 2,…, i =1, …m},     (17)

            Соотношения (16), (17) определяют в фазовом пространстве системы (1), (2) множества Sip(xk) и Sir(xk) ее состояний, совместимые с результатами измерений. Эти множества представляют собой 2m гиперполос, каждая из которых ограничена двумя попарно параллельными гиперплоскостями yik-hikTxk=±cir, i =1, …m.

            Очевидно, что для неизвестного вектора состояния системы (1), (2) xk выполняется включение xk Î D(xk), где D(xk) – пересечение всех 2m гиперполос множеств (16), (17). При этом, согласно предположению, выполняется также включение (7). Поэтому выполняется и включение xk Î E[ ],

где E[ ] – эллипсоид вида (7) такой, что D(xk)∩E[ ]Ì E[ ]. Для построения эллипсоида E[ ] целесообразно воспользоваться робастным алгоритмом последовательного построения 2m эллипсоидов, содержащих пересечения эллипсоидов с гиперполосами Sip(xk), i = 1, …m и Sir(xk), i = m+1, …, 2m.

Эти эллипсоиды можно строить по критерию минимума определителя (многомерного объема эллипсоида) или следа соответствующих матриц , . Оценивающий эллипсоид , для которого гарантированно выполняется включение xk+1 Î , где xk+1 – неизвестный вектор состояния системы (1), (2), представляет собой образ эллипсоида E[ ] при его линейном отображении в силу уравнения (1). Центр и матрица эллипсоида  определяются соотношениями , .

Для случая (4) помеха ξk и скорость ее изменения по норме множества состояний системы (1), (2), совместимые с результатами измерений, ограничиваются соотношениями

Sp(xk)={xk:(yk – hkTxk)T(yk – hkTxk)≤cp2,   (18)

Sr(xk)={xk:(zk – rkTxk)T(zk – rkTxk)≤cr2,   (19)

Эти множества представляют собой цилиндры в фазовом пространстве Rn системы (1), (2). Для ее неизвестного вектора состояния выполняется включение xkÎD(xk), где D(xk)=Sp(xk)∩Sr(xk). Из предположения о выполнении условия (7) непосредственно следует включение xkÎD(xk)∩E[ ].

Поэтому оценивающий эллипсоид, гарантированно содержащий неизвестный вектор xk, может быть построен с помощью эллипсоидальной аппроксимации пересечения E[ ] с множеством Sp(xk) и затем аппроксимации пересечения полученного эллипсоида с множеством Sr(xk). При этом оценивание вектора состояния системы (1), (2) сводится к построению параметрических семейств эллипсоидов  и  вида (7), содержащих соответственно пересечение E[ ]∩Sp(xk) и ∩Sr(xk), где ν ≥ 0, τ ≥ 0 – ­параметры семейств. Центр и матрица Hk+1 оценивающего эллипсоида, для которого гарантированно выполняется включение xk+1Î , определяются соотношениями , . Робастный алгоритм построения семейства эллипсоидов  имеет вид

,                                 (20)

,     (21)

.                             (22)

Здесь ek=hkTHkhk, , , Im – ­единичная матрица размерности m´m, bkÎ(0,1) и ak >0 – параметры алгоритма.

Центр  и матрица  эллипсоида É ÉSr(xk) вычисляются по формулам (20) – (22) с заменой в их правых частях величин n, Hk, cp и  соответственно на величины τ, , , cr и .

Оценивание состояния непрерывных ДС. Для гарантированного эллипсоидального оценивания вектора состояния xk = x(tk) системы (8), (9) в дискретные моменты времени t = tk, соответствующие моменты измерения выхода yk = y(tk) и изменения вектора управления uk = u(tk), опишем эту систему разностными уравнениями вида (1), (2). Воспользовавшись формулами для решения систем линейных дифференциальных уравнений с переменной матрицей, получаем

Ak = K(tk+1,tk), fk( uk )=Bkuk,

Здесь K(t, tk) –­ переходная матрица (матрица Коши) системы (6) при  t≥tk. Матрица K(tk+1,tk)=X(t, tk) при t=tk+1, где X(t, tk) –­ решение дифференциального матричного уравнения с начальным условием X(tk, tk)=In. Для случая стационарной системы (8)

Ak≡A=exp{CT}, Bk≡B= . [10, 11]

 

Рисунок 1– Робастный алгоритм эллипсоидального оценивания состояния нелинейных динамических систем в экономике (Gif-анимация, 5 кадров, 5 повторений)

Результаты работы

     На данном этапе разработки магистерской работы был проведен анализ текущего состояния экономики, который подтвердил необходимость применения методов математического моделирования. При постоянно меняющейся экономической ситуации и продолжительных кризисах был выбран робастный метод эллипсоидального оценивания состояния динамических систем при ограничениях на помехи измерения выхода и скорость их изменения.

     Примечание: при написании данного автореферата магистерская работа еще не закончена. Окончательное завершение декабрь 2009г. Полный текст и материалы по теме могут быть получены у автора или научного руководителя.

 Литература

  1. Дудко В.А. Моделирование ситуационного управления промышленным предприятием http://www.nauka-shop.com/mod/shop/productID/15509/  

  2. Терлыга Н.Г. Динамическая реструктуризация инвестиционного портфеля на основе методов теории гарантированного управления http://www.nauka-shop.com/mod/shop/productID/15777/  

  3. Бутлова Л.В. Математическое моделирование многокритериальных задач экономики с гистерезисными нелинейностями http://www.mil.ru/files/autoreferatbutova.doc

  4. Зеленский В.В. Математическое моделирование информационных процессов в условиях трансформирующейся экономики http://bankrabot.com/work/work_30390.html  

  5. Научная переодика Украины, журнал Проблемы управления и информатики http://www.nbuv.gov.ua/portal/natural/PUI/index.html  

  6. Открытый каталог научных конференций, выставок и семинаров http://www.konferencii.ru/info/id/2656  

  7. Лебедева И.В. Моделирование нелинейных экономических систем с помощью динамических рядов. // Современные наукоемкие технологии, № 4, 2009 http://www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id=5312  

  8. Кафедра математического моделирования систем управления - ПетрГУ http://petrsu.karelia.ru/Chairs/mmsu.html  

  9. Программа учебного курса «Математические модели динамических процессов в экономике». Единое окно доступа к образовательным ресурсам http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=12903  

  10. Волосов В.В. Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем. // Проблемы управления и информатики, 2008, №1, с.36-42

  11. Волосов В.В. Шевченко В.Н. Робастные методы эллипсоидального оценивания состояния динамических систем при ограничениях не помехи измерения выхода и скорость их изменения. // Проблемы управления и информатики, 2008, №5, с.85-93