ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ

Федяев Д.И.
Донецкий национальный технический университет

Понятие силы инерции

  В природе не бывает одностороннего действия сил. Если материальная точка массы “m” в результате взаимодей¬ствия с другими, окружающими ее телами, приобрела некоторое ускорение а, то к этим телам, согласно третьему основному закону механики, приложены со стороны точки силы противодействия. Геометрическая сумма этих сил, приложенных, вообще говоря, к различным телам, формально равна F= -mа, т. е. равна силе инерции точки. Только формально, так как сложение сил приложенных к различ¬ным телам физического смысла не имеет.

  Реально существуют лишь составляющие этой силы, приложенные к тем телам, которые являются источником активных сил, действующих на движущуюся с ускорением материальную точку, и к связям, наложенным на точку. О силе инерции F_и = -mа можно говорить как о реальной силе лишь в том случае, когда на точку действует только одно тело.

  Рассмотрим такой пример. Рабочий катит перед собой по рельсам вагонетку, сообщая ей ускорение “а”. Для простоты считаем, что вагонетка движется по горизонтальному прямолинейному пути и никаких сопротивлений своему движению не встречает. Следовательно, источником силы, сообщающей вагонетке ускорение “а” , является только рабочий. По основному закону динамики для сообщения вагонетке этого ускорения рабочий должен приложить к ней силу F = mа, где m — масса вагонетки. Всякое действие одного тела на другое всегда сопровождается равным и противоположно направленным действием второго тела на первое. Следовательно, рабочий будет встречать со стороны вагонетки силу противодействия F_и = —mа, равную по модулю силе "F" давления рабочего на вагонетку и направлен¬ную в противоположную сторону, т. е. в сторону, противоположную ускорению. Очевидно, что сила F_и вагонетки приложена не к ней самой, а к руке рабочего (рис. 1). Необходимо всегда иметь в виду, что, применяя метод кинетостатики, мы лишь условно прилагаем силу инерции материальной точки к самой точке. Мы знаем, что сохранение материальной точкой неиз¬менной скорости при отсутствии действия на нее со стороны других тел или при их равновесии называется инерцией точки. Отсюда сила F_и= — mа, возникающая при изменении ее движения, и получила название «силы инерции» — название достаточно установившееся, но не вполне удачное, приводящее иногда к смешению понятий инерции и силы инерции.Свойством инерции материальная точка обладает всегда, сила же инерции возникает только тогда, когда на нее действуют другие тела, вынуждающие точку изменить свое движение по инерции.

Рисунок 1 – Пример сил взаимодействия.

Силы инерции при криволинейном движении точки

Рисунок 2 – Действия сил на точку при ее движении по криволинейной поверхности

  В общем случае движения точки по криволинейной траектории ускорение точки “а”, как мы знаем, удобно разлагать на две составляющие: касательное ускорение а_t, направленное по касательной к траектории движения, и нормальное ускорение a_n, направленное по нормали к центру кривизны траектории. Положим, что к свободной материальной точке “М” массы “m”, движущейся со скоростью “V”, приложена сила “F”, направление которой образуете направлением скорости “V” некоторый угол (рис. 2). Точка в этом случае будет двигаться по криволинейному пути с ускорением а = F/m, направленным одинаково с силой F. Разложим его на составляющие ускорения: касательное, численно равное a_t=dV/dt — производной от модуля скорости точки по времени, и нормальное, равное по модулю а_n =V²/р, где р — радиус кривизны траектории в данном положении материальной точки.

  Очевидно, что при криволинейном движении точки приоженную к ней силу “F” можно разложить на две составляющие: касательную силу F_t = mа_t, изменяющую модуль скорости точки, и нормальную силу F_n = mа_n, изменяющую направление скорости точки. При криволинейном движении точки ее силу инерции также можно разложить на две составляющие: касательную силу инерции F_t^и = - ma_t, направленную противоположно касательному ускорению точки, и нормальную силу инерции F_n^и = - mа_n, направленную противоположно нормальному ускорению точки.

  Если точка "М" движется по криволинейной траектории равномерно, то V = const и а_t = dV/dt = 0. В этом случае касательная сила инерции обращается в нуль и полная сила инерции состоит лишь из одной нормальной составляющей, равной по модулю F^и = F_n^и = mV²/р. Если точка “М” принадлежит телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, то, как известно из кинематики, ее касательное и нормальное ускорения могут быть вычислены по формулам a_t = rе и a_n = rw², где w и е — угловая скорость и угловое ускорение вращения тела, а r — расстояние точки от оси вращения. Отсюда модули касательной и нормальной сил инерции могут быть вычислены по формулам: F_t^и = mrе и F_n^и = mrw². Если вращение тела равномерное, то е =0 и F^и = 0. В этом случае полная сила инерции численно равна F^и= F_n^и = mrw².

  При несвободном криволинейном движении точки действующей на нее нормальной силой будет реакция связи, заставляющая точку отклоняться от прямолинейного пути и, следовательно, сообщающая ей соответствующее нормальное ускорение. Силой же, действующей на связь, будет нормальная сила инерции данной точки. Положим, что в криволинейном желобе лежит шар (рис. 3). Если сообщить ему толчок в направлении оси желоба, то возникнут одновременно две силы: нормальная реакция стенок желоба на шар R_n и нормальная сила инерции F_n^и

Рисунок 3 – Движение шара по желобу

— давление шара на стенки желоба, направленная по той же нормали от центра. Если желоб взять резиновым, то действие нормальной силы инерции наглядно проявится выпучиванием при движении шара наружной поверхности желоба.

  Подвешенное к нити тело (рис. 4) натягивает ее при покое с силой, равной по модулю силе тяжести G тела. Будучи же приведено в колебание, тело натягивает нить в момент ее перехода через вертикальное положение с силой “Т”, равной по модулю T= G + Fи = G + Grw²/g.

Рисунок 4 – Вращение тела

  При быстром вращении центробежная сила инерции тела, приложенная к нити, осуществляющей связь, заставляющую тело совершать криволинейное движение, может настолько увеличить натяжение нити, что произойдет ее разрыв. В момент разрыва нити исчезнет реакция связи (сила Т), приложенная к телу, так как исчезает связь, делавшая его движение несвободным; в тот же самый момент исчезнет и нормальная сила инерции, и тело будет перемещаться по касательной к окружности в той ее точке, в которой оно находилось в момент разрыва нити. Аналогичным действием нормальной силы инерции объясняется и происходящий иногда разрыв маховиков при их очень быстром вращении. Если вся масса вращающегося тела распределена симметрично относительно его оси вращения, то нормальные силы инерции, развиваемые отдельными его частями, сказываются только в возникновении динамических напряжений (внутренних усилий) в материале тела. Эти динамические напряжения при больших скоростях могут достигать весьма больших значений, и с ними безусловно нужно считаться. Но если масса вращающегося тела распределена несимметрично относительно оси вращения, то нормальные силы инерции отдельных частиц тела оказывают также еще и добавочное давление на подшипники, увеличивая трение в подшипниках и их износ. Вследствие вращения тела равнодействующая неуравновешенных сил инерции все время изменяет свое направление, а это ведет к нежелательной вибрации тела. Вопрос об уравновешивании сил инерции имеет большое значение в современном машиностроении и рассматривается в теории механизмов и машин. При проектировании каждой новой машины необходимо учитывать силы инерции, которые могут возникнуть в ней при различных условиях работы.

Литература

1. Бондаренко А.Н. Курс лекций по теоретической механике. Динамика (I часть)