Приближенный метод расчета модели
межотраслевой баланса Леонтьева

В модели межотраслевого баланса Леонтьева значения каждой из отраслей, связаных с характерным конечным спросом, как правило вычисляются с помощью обратной матрицы. Получение обратной матрицы достаточно трудоемкая работа. В данной статье рассматриваются простые способы вычисления приближенных значений модели межотраслевого баланса.

Пусть Y_i — объем конечного продукта i-ой отрасли, X_i – общий объем продукции i-ой отрасли, связанный с конечным спросом Y_i и a_ij — технологический коэффициент. Тогда система линейных уравнений Леонтьева записывается следующим образом:

Эти линейные уравнения можно записать в виде:

где b_ii=1-a_ii

Величина конечного спроса и объема продукции используются при расчете технологических коэффициентов a_ij, представленными Y_i^' и X_i^', которые должны удовлетворять следующим уравнениям:

Подставим X_i⁽¹⁾

который рассматривается в качестве приближения для X_i. Эти значения могут быть легко вычислены для известных Y_i^' и X_i^' и исходного Y_i.

Для получения лучшего результата оценим погрешность этого приближения. Из (3) и (4), получаем

Относительная погрешность приближения X_i

Так как

Из уравнений (6) и (7), имеем

Вычитая (3) из (2), получаем

Из (9) и (8) следует, что

Так как X_i неизвестны, заменим Y_i и X_i на Y_i^' и X_i^', пренебрегаем вторым слагаемым в фигурных скобках в уравнении (10), то есть

Где a_ijX_j^' затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы стоимости j-ой отрасли и положительно коррелирует с X_i^' при постоянном i. Заменим a_ijX_j^' на X_j^', получим

Используя эти значения, получаем лучшее приближение для X_i

Для уравнения (13) в для больших X_i^' используем вместо

Из уравнений (2) и (3), имеем

Вычитая (15) из (14), и пренебрегая третий выражением, получим

Второе выражении правой части (16) можно оценить аналогично тому, как и для (12), т. е.

Тогда подставляя (17) в (16), мы получим приближение X_i⁽³⁾ для X_i

Относительная погрешность для X_i⁽¹⁾, имеет почти такое же как и при X_i⁽¹⁾. В краткосрочный период аппроксимация удовлетворительна.

Для долгосрочного прогнозирования лучше воспользоваться приближением X_i⁽²⁾ или X_i⁽³⁾. Для двух аппроксимация вторые множители из X_i⁽¹⁾ в X_i⁽²⁾ и из X_i^' в X_i⁽³⁾ одинаковы. Ошибки могут возникать при введении нами замены, хотя они достаточно малы, но должны быть приняты во внимание.

Для оценки этой ошибки, необходимо оценить разница между весом d_ij за счет разницы между и для данного j .

Видно, что может дать приблизительную оценку ошибки.

Далее оцениваем отброшенные компоненты по формуле:

В случае, если относительная погрешность является отрицательной, мы используем X_i⁽²⁾. Когда она будет положительной, мы используем X_i⁽³⁾.

Когда некоторые технологические коэффициенты изменяются в зависимости от полученных результатов, с учетом технологических изменений, используем значения конечного спроса, учитывая изменения технологических коэффициентов и результатов обследования. Значения конечного спроса могут быть легко вычислены.

Для получения лучшего результата используем метод последовательных приближений, при котором X_i⁽²⁾ или X_i⁽³⁾ берем для первого приближения. В этом случае стратификации X_i^', используем X_i^' для каждого коэффициента, где X_i^' ошибочное. Таким образом, расчет производится гораздо проще.

Дана таблица технологических коэффициентов экономики Японии 1951 года, представленая Japan Economic Council Board. Значения Y_i даны, X_i для 1952 прогнозируются.

Отрасли:

1. Сельское, лесное и рыбное хозяйства
2. Горная промышленность
3. Строительство
4. Обрабатывающая промышленность
5. Оптовая и розничная торговля
6. Транспорт и связь
7. Коммунальные предприятия
8. Сфера услуг
9. и др.

	Xi'	Yi'	1/bii	Yi'/bii	Xi'-Yi'/bii	(Xi'-Yi'/bii)/Xi'	Yi
1	17.386	9.228	1.147667	10.591	6.795	0.39	9.926
2	3.002	200	1.019701	204	2.798	0.93	259
3	5.465	4.704	1.005150	4.728	737	0.16	5.119
4	53.883	24.322	1.704620	41.460	12.423	0.23	24.351
5	8.591	4.997	1.006090	5.027	3.564	0.41	5.349
6	7.395	2.075	1.039061	2.502	4.893	0.66	2.408
7	1.754	432	1.012702	437	1.317	0.75	467
8	10.714	6.205	1.098984	6.819	3.895	0.36	7.955
9	4.185	1.147	1.0	1.147	3.038	0.72	657
Всего	112.375			702.915	39.460

	Yi-Yi'	(Yi-Yi')/bii	∑(Yi-Yi')/bii))/∑Xj'
1	698	801	0.028	0.012
2	59	60	0.031	0.029
3	415	417	0.031	0.005
4	29	49	0.059	0.016
5	352	354	0.031	0.017
6	333	346	0.031	0.020
7	35	35	0.031	0.023
8	1750	1923	0.17	0.006
9	- 490	- 490	0.031	0.022

	Xi1	Вероятность ошибки	Xi2	Вероятность ошибки	(Xi'-Yi'/bii)*∑(Yi-Yi')/bii))/∑Xj'
1	18.187	0.8%	18.405	-0.4%	190
2	3.062	2.7	3.151	-0.1	88
3	5.882	0.8	5.911	0.3	23
4	53.932	1.5	54.795	-0.1	733
5	8.945	1.3	9.061	0.03	110
6	7.741	1.7	7.896	-0.3	152
7	1.789	2.1	1.830	-0.1	41
8	12.637	0.2	2.713	-0.4	66
9	3.695	2.9	3.776	0.8	94

	Xi3	Вероятность ошибки	Xi для обратной матрицы
1	18.377	-0.3%	18.328
2	3.150	-0.1	3.148
3	5.905	0.4	5.927
4	54.665	0.1	54.734
5	9.055	0.1	9.064
6	7.893	-0.3	7.873
7	1.830	-0.1	1.828
8	12.703	-0.3	12.660
9	3.789	0.4	3.805

B начало