Динамические системы являются математическими объектами, используемыми для моделирования физических явлений, состояние которых (или мгновенное описание) меняется с течением времени. Эти модели используются в финансово-экономическом прогнозировании, моделировании окружающей среды, в медицинской диагностике, диагностике промышленного оборудования, а также множестве других приложений.
По большей части, приложения делятся на три основные категории: предсказания, целью которых является прогнозирование будущих состояний системы по наблюдениям прошлого и настоящего состояния системы, диагностики, цель которых заключается в возможности сделать вывод, что в прошлом состоянии системы, возможно, привело к настоящему состоянию системы, и, наконец, приложения, в которых целью не является ни предсказать, ни объяснить будущее и прошлое, а скорее, для построения теории физических явлений. Эти три категории соответствуют приблизительно необходимости предсказать, объяснить и понять физические явления.
В качестве примера последнего, ученый может предложить теории для конкретной химической реакции с точки зрения системы дифференциальных уравнений с температурой, давлением и количеством реагентов. Теории ученого могут быть использованы для предсказания результатов эксперимента или для объяснения результатов реакции, а с точки зрения ученого система уравнений является предметом основного интереса, поскольку она представляет собой особого рода понимание физических явлений.
Предсказательные и диагностические рассуждения часто описывается в терминах причин и следствий. Предсказание - это рассуждения вперед во времени от причин к последствиям. Диагностические рассуждения – назад от следствий к причинам. В случае с медицинским диагнозом, и следствиям соответствуют наблюдаемые симптомы, а причины соответствуют заболеваниям.
Не все физические явления можно легко предсказать или диагностировать. Некоторые явления могут быть детерминированными, но уравнения, определяющие их поведение, настолько сложны и так сильно зависят от точности наблюдений за состоянием, что получение точных данных многолетних наблюдений практически невозможно. Прежде чем определить динамические системы точнее, мы рассмотрим некоторые частные случаи предвидения. Рассмотрим задачу о прогнозировании поведения финансовых инструментов.
«Деньги – просто тип информации, образ, который после оцифровки станет предметом стойких программных взломов со стороны квалифицированных математиков. Поскольку информация о деньгах проходит через всю планету, она оставляет после себя историю своего движения, и если этот сложный поток можно будет предсказать, то хакер, который взломает образ, станет богатым хакера».
Упомянутая выше цитата появилась в статье журнала о Дайан Фармер, Норме Пакард, а также Пргнозирующей компании. История номинально о финансовых прогнозах, но персонажи очень интересные сами по себе.
Что представляет собой динамическая система?
Ответ на поставленный выше вопрос требует, чтобы мы были точны в понятиях «состояние системы» и «эволюции состояния системы во времени». Состояние системы в момент времени Т – это мгновенное описание системы, которое достаточно для прогнозирования будущего состояния системы, не прибегая к состояним до Т. Пространство возможных состояний системы, называется пространства состояний динамической системы.
Мы отмечаем, что в формулировке Кальмана динамической системы не делается никаких предположений относительно характеристик (например, дискретных и непрерывных, стохастических и детерминированных) физических процессов, лежащих в основе. Всем должно быть ясно, что динамическая система является абстрактным математическим объектом, что позволяет нам говорить о физических процессах.
Что такое модель динамической системы?
Всякий раз, когда вы читаете слово «модели», убедитесь, что вы понимаете контекст. В нашей обучающей системе мы будем считать некоторые модели для динамической системы, эти модели неизвестны обучающей системе. Мы предполагаем, что эта модель точно описывает поведение физического процесса, которым мы интересуемся. В самом деле, эта модель может быть неполной в нескольких важных сферах. Во многих практических ситуациях, лучшей моделью может быть сам физический процесса, то есть доступные данные, соответствующие описанию процесса. Примеры включают модели систем дифференциальных и разностных уравнений, конечные автоматы и их стохастических коллег, и наборы аксиом временной логики. Конечные последовательности вещественных чисел или последовательности векторов с вещественными целочисленными компонентами также являются моделями, хотя и относительно простыми.
Системы обучения пытаются вывести модель динамической системы. Таким образом, в обучении находятся модели физических явлений или цели, а затем модели выводятся системой обучения. В терминологии вычислительной теории обучения модель цели называется концепцией и модель, получаемая системой обучения, называется гипотезой.
Каковы характеристики динамических систем?
Этот вопрос отличается от вопроса «каковы особенности физических процессов?». Наше понимание физических процессов ограничивается нашей способностью моделировать их математически, и следовательно, насколько нам известно, характеристиками динамических систем являются характеристики математических моделей, например, линейные, нелинейные, детерминированные, стохастические, дискретные, непрерывные. Одной из важнейших характеристик динамических касается систем понятие наблюдаемости.
В некоторых задачах управления дана модель динамической системы, так что мы можем предсказать будущее системы, если имеем возможность наблюдать текущее состояние или точно оценить текущее состояние по последовательности наблюдений.
I Во многих практических задач обучения, в которых мы пытаемся вывести модель динамической системы, мы не можем непосредственно наблюдать состояние системы, а лишь аспекты состояния, возможно, извращенные (наблюдения) шумами. Например, в финансовом прогнозировании, наблюдения могут быть связаны со стоимостью ценных бумаг, и шум может быть связан с небольшой ошибки в записи времени операции с ценными бумагами. Предположительно, есть и другие факторы, кроме мгновенной стоимости акций, которые играют важную роль в прогнозировании поведения фондового рынка, например, новость об изменении процентной ставки.