Оцінка електромагнітної сумісності за несинусоїдальності напруги в електричних мережах з швидкозмінним навантаженням

А.П.Лютий, інженер (ВАТ «Дніпроспецсталь» Запоріжжя)

---

Источник: Праці Інституту електродинаміки Національної академії наук України. – 2002.– № 1 (1).– С. 109-115.

---

Розглянуто задачу оцінки допустимості несинусоїдальності напруги, яка змінюється випадково. Враховано інерційність об’єктів до впливу несинусоїдальності. Запропоновано моделі електромагнітної сумісності (ЕМС) двигунів щодо температури перегріву і строку служби. Знайдено розрахункові значення показників ЕМС.

Рассмотрена задача оценки допустимости несинусоидальности напряжения, изменяющейся случайным образом. Учтена инерционность объектов относительно воздействий несинусоидальности. Предложены модели электромагнитной совместимости (ЭМС) двигателей по температуре перегрева и сроку службы. Найдены расчетные значения показателей ЭМС.

Постановка задачі.Норми на несинусоїдальність напруги в країнах СНД [1] і за кордоном [2] відносяться до випадків, коли процес зміни миттєвих значень напруги є періодичним з частотою f = 50 Гц, а несинусоїдальна складова (завада) u(t) може бути представлена сумою гармонік з основною кутовою частотою ω_f = 100π с^–1. Для таких завад методи оцінки ЕМС добре розроблені (наприклад, в [3]).

Проте в електричних мережах зі швидкозмінним навантаженням (дугові сталеплавильні печі і т. і.) завади є випадковими процесами [4], для яких поняття гармоніки не існує, а тому методи розрахунку по гармонікам не можуть бути використані. Метою статті є знаходження показників ЕМС при випадкових завадах [1].У відповідності з методами статистичної динаміки [5,6] оцінку ЕМС будемо здійснювати за схемою «завада–динамічна модель об’єкту–показник ЕМС». Середні значення завад будемо вважати рівними нулю, що не порушує загальності висновків.

Вихідні дані. Для розрахунку показників ЕМС потрібно знати характеристики завад, які знаходяться експериментально. Оскільки апріорі вид завад не відомий, статистичну обробку потрібно виконувати по ансамблю реалізацій завади. Нестаціонарні завади мають характеристики, які залежать від часу. Це призводить до громіздких математичних побудов. Тому в практиці вісь часу розбивають на ділянки стаціонарності, в межах яких завади вважаються стаціонарними.

Мінімальна тривалість ділянки стаціонарності визначається за умовою вірогідного отримання кореляційної функції (КФ) завади на інтервалі значень її аргументу τ від 0 до тривалості t_f = 0,02 с циклу синусоїди. По можливості, тривалість ділянки доцільно приймати рівною 3 с, що відповідає величині Т_υS з [1]. Наступним по меншості є значення 0,32 с, яке дорівнює ширині прямокутного вікна при швидкому перетворенні Фур’є.

Стаціонарна завада характеризується КФ k(τ) , аргумент якої не залежить від часу. Оскільки завада може мати декілька майже періодичних складових, КФ доцільно апроксимувати сумою експоненціально-косинусоїдальних виразів зі стандартами σ _u і параметрами α, ω₀. Для оцінки ЕМС конденсаторних установок краще брати суму виразів

k(τ) = σ_u²e ^{– α|τ|}(cos(ω₀τ)+(α/ω₀)sin(ω₀τ)) (1)

які є диференційованими. В окремих випадках, коли ω₀ = 0, з (1) отримаємо

k(τ) = σ_u²e^{– α|τ|}(1 + α|τ|) (2)

Для стаціонарних завад спектральна щільність має фізичний зміст, тому замість кореляційного аналізу, або сумісно з ним, можна застосовувати спектральний аналіз.

Моделі ЕМС. Для оцінки ЕМС використовуються по можливості прості моделі електрообладнання, але вони повинні відображати основні властивості обладнання щодо впливу завад. Найчастіше завади створюють додатковий перегрів, який визначається квадратом несинусоїдальної складової i( t) струму. Тому основу модель складається з фільтра, квадратора і інерційної ланки. Фільтр моделює провідність об’єкта. Стала часу інерційної ланки співпадає зі сталою часу Т нагріву об’єкта. Якщо напруга і струм виражаються у процентах до відповідних номінальних значень, то енергетичний інерційний процес w_T(t) після інерційної ланки – у (%)². Інерційний процес співпадає з температурою θ додаткового перегріву, яка виражається у процентах до температури перегріву θ _ном від номінального струму частотою 50 Гц.

Замість інерційної ланки в нормуванні використовують осереднення на інтервалі θ. За даними літератури, при θ = 3Т кумулятивний процес w _θ( t) у (%)² після кумулятивної ланки (вікна Дирихле шириною θ) практично оцінює ЕМС так, як і інерційний процес. Далі прийнято інерційне перетворення, як фізично більш обґрунтоване, але усі висновки розповсюджуються і на кумулятивні процеси.

В [1] показники ЕМС нормуються з межовими імовірностями Е_х: нормально допустимі – з Е_х = 0,05 і гранично допустимі (індекс ~) – з Е_х = 0. Нульова імовірність відноситься до статистичних розподілів, а для теоретичних розподілів приймемо Е_х = 0,001 – відповідно до відомого правила трьох сигм. Для знаходження максимальних значень ω _{T max} і ώ _{T max} інерційного процесу модель повинна мати блок статистичної обробки, а для порівняння з нормами – і ланку здобуття квадратного кореня. Показниками ЕМС є величини

(3)

які виражаються у процентах.

Оцінка ЕМС може виконуватися з метою порівняння з нормами (у позначеннях – квадратні дужки) або для техніко-економічних розрахунків. У першому випадку потрібно моделювати «стандартне», а у другому – конкретне електрообладнання.

Розглянемо спочатку норми [1]. За змістом коефіцієнт K_U спотворення несиносоїдальності напруги оцінює ЕМС електрообладнання з активною провідністю. У цьому випадку фільтр в моделі стає зайвим. Оскільки в [1] коефіцієнти спотворення беруться з осередненням на інтервалі Т_{ν S} = 3 с, то для стандартного електроприймача при θ = Т_{ν S} приймемо Т = Т_{ν S}/3 = 1 с. Показником ЕМС є інерційний коефіцієнт K_{U Т} спотворення. У загальному випадку величина сталої часу може бути різною, тому потрібно розраховувати інерційні коефіцієнти від 0 до нескінченності [6] . З врахуванням (3), умови ЕМС запишемо у вигляді

(4)

Окрім коефіцієнту спотворення в [ 1 ] нормуються коефіцієнти n-их гармонічних складових, але вони для випадкових завад дорівнюють нулю. Тому використання такого показника має рацію лише для об’єктів, ЕМС яких залежить від потужностей завад у діапазонах частот, які примикають до частот п w _f. У цих випадках потрібно визначити параметри відповідних фільтрів моделей.

Перейдемо до ЕМС конденсаторних установок, які найбільш чутливі до несинусоїдальності напруги. Їх провідність моделюється фільтром у вигляді послідовно з’єднаних форсуючої і коливальної ланок [7] . Згідно з [8] за наявністю завад установки повинні мати релейний захист з витримкою часу і уставкою 1,3 від номінального струму. В ГОСТ 1282-88 таке навантаження допускається у продовж θ = 3 хв, що відповідає сталої часу 1 хв. Показником ЕМС є динамічний коефіцієнт несинусоїдальності k_Ci (термін з [ 7 ]). Уставці 1,3 відповідає норма [k_Ci ] = 83 %.

Для цілей нормування потрібно визначити стандартні конденсаторні установки на різні номінальні напруги. В [9] наведені параметри трифазного конденсатору КМ2-0,38-26, який і приймемо як стандартну установку на напрузі 380 В. З урахуванням формули (18) з [7] , для завади і струму у процентах передавальну функцію стандартної установки представимо у вигляді

(5)

де k_C = 3,576 × 10^–8, Т_{С 1} = 4,018 × 10^–6 с, Т_{С 2} = 1,253 ×10^–5 с, Т_{С 3} = 1,571 ×10^–5 с.

Перейдемо до оцінки ЕМС двигунів. Несинусоїдальність створює додаткові втрати ΔР потужності, перегрів і старіння ізоляції. Відповідні моделі ЕМС при випадкових завадах відсутні. В якості експертної оцінки тут пропонується прийняти фільтри моделей у вигляді інерційних ланок з параметрами, які визначені в Додатку.

В літературі допустимі значення показників ЕМС двигунів не вказуються. Приймемо їх з наступних розумінь. Формули в [3 ] мають суми показників несиметрії і несинусоїдальності. За відсутності несинусоїдальності можна встановити дві норми показників несиметрії: максимальних температур [θ_max ] = 8 °С додаткового перегріву і відносного скорочення строку служби [Δz ] = 22 %. Ці значення приймемо і для несинусоїдальності, коли відсутня несиметрія. Коли є несиметрія і несинусоїдальність, їх спільна дія не повинна приводити до перевищення цих норм.

Стаціонарні завади. Першим етапом розрахунку показників ЕМС є визначення КФ k_y(τ) реакції y (t ) фільтра на заваду. У моделях, які розглядаються, реакцією фільтра є струм. За формулою (ІІ.34) з [6]

(6)

де ξ і η – змінні інтегрування, g(t) –вагова функція фільтра. Фільтри моделей ЕМС мають прості структури, тому інтегрування не викликає труднощів. В силу лінійності фільтрів імовірнісний розподіл ординат реакції є нормальним.

Другим етапом є розрахунок показників ЕМС по характеристикам реакцій. Процес y² (t ) після квадратора має КФ

k_y2(τ) = 2k²_y2(τ)(7)

що дозволяє знайти КФ процесу w_T( t) після інерційної ланки зі сталою часу Т і коефіцієнтом передачі а при γ = 1/Т:

(8)

Середнє значення реакції, як і завади, дорівнює нулю. Процес після квадратора має середнє значення k_y(0) = σ², а після інерційної ланки – w _c = aσ², де σ _у – стандарт реакції. Дисперсія інерційного процесу Dw_T = k_wT(0). Завада з нормальним розподілом змінюється в нескінченних межах, а процес після квадратора – від 0 до нескінченності. В [10 ] для випадкових величин, обмежених з однієї сторони, рекомендується застосовувати гама-розподіл. Дослідження підтвердили коректність цієї гіпотези у задачі, яка розглядається. Параметри гама-розподілу знайдемо підстановкою w _c і Dw_T в формули (1.11) і (1.12) з [10 ] :

ρ = σ² _у/ Dw_T,ν = σ⁴ _у/ Dw_T (9)

Це дозволяє визначити функцію розподілу

(10)

де Г(ν) – гама-функція.

Розрахункові значення ординат інерційного процесу знайдемо по межовим імовірностям із рівнянь:

(11)

чим згідно (3) визначаються розрахункові значення показників ЕМС.

Якщо завада змінюється у обмеженому діапазоні, замість гама-розподілу потрібно приймати бета-розподіл.

Застосування загальних формул (6) – (11) залежить від структури моделі ЕМС і сталої часу Т. При розрахунку інерційних коефіцієнтів спотворення в (3) під ψ потрібно розуміти величини K_UT i Ќ_UT, а замість k_y (τ) брати k(τ), тому що вагова функція дорівнює одиниці. Оскільки значення Т = 1 с, яке відповідає θ = 3 с з [1], значно перевищує тривалість 0,02 с, то енергетичний процес вироджується в горизонталь w_T = σ²_U = k(0). У цьому випадку перша умова (4) приймає вигляд: σ_U £ [K_U] . Друга умова лише підсилює першу, а тому стає зайвою.

При малих сталих часу коефіцієнти спотворення знаходити за формулами (5) – (8). Для експоненціально-косинусоїдальної КФ при τ = 0 формула (8) дає дисперсію

Dw_T = σ²_wT =σ⁴_wT,(12)

де позначено

(13)

Параметри гама-розподілу

(14)

Для КФ виду (1) отримаємо

(15)

Параметри гама-розподілу визначаються підстановкою (15) в (12) і (14).

Рівняння (11) розв’язуються числовим методом. Найбільші значення інерційних коефіцієнтів спотворення досягаються при Т = 0, коли х(Т) = 2, ρ = 1/(2σ²_U), υ = 1/2, Г(1/2) = π, а тому гама-розподіл співпадає з розподі­лом квадратів нормальної випадкової величини.

Щодо ЕМС конденсаторних установок, то тут стала часу 1 хв значно більша за 0,02 с, тому динамічний коефіцієнт несинусоїдальності практично співпадає з дисперсією σ²_Ci реакції. Цю дисперсію простіше за все розраховувати методом парціальних реакцій за формулами (7), (9), (13), (19) і (20) з [11], де у формулі (20) допущено описку: немає множника а_іа _r. При кспоненціально-косинусоїдальній КФ завади і КФ виду (1) необхідні для розрахунку чотири корені мають вигляд:

де

Для прийнятої стандартної установки α _С = 12788 с^–1 і λ _С = 78777 с^–1. Умова ЕМС: σ_Сі £[k_Ci] .

При використанні диференційованих КФ можна знайти максимальне можливе значення σ_{Сі max}, яке відповідає моделі конденсаторної установки у вигляді ідеальної ємності С, тобто ідеальної ланки, що диференціює. У цьому випадку в процентах

(16)

Для КФ виду (1)

(17)

Якщо s _Сіmax £ [k_Ci ] , то і фактичне значення стандарту буде ще менше за норму.

Сталі часу двигунів також значно перевищують 0,02 с, тому для стаціонарних завад достатньо знайти середні значення показників ЕМС, які пропорційні дисперсіям процесів після інерційних ланок моделей ЕМС (див. Додаток). Для експоненціально-косинусоїдальної КФ завади дисперсія температури

(18)

а для КФ виду (1)

(19)

де Т_ф– стала часу інерційної ланки.

Для переходу від відносних одиниць до °С стандарт σ_θ = √D_θ потрібно помножити на номінальну температуру перегріву. Умова ЕМС: добуток σ_θθ_ном не повинен перевищувати норму [θ_max] .

Дисперсія Dz у формулі (Д.5) додатку розраховується за формулою (18) або (19), якщо замінити в них а _θ на а_z. З врахуванням (Д.5) і (Д.6) умова ЕМС щодо скорочення строку служби має вигляд

(20)

Стандарт s _е процесу після інерційної ланки моделі ЕМС відносно додаткових втрат активної потужності також розраховується згідно (18) або (19) з заміною а_θ на а_{Δ P}. Цей стандарт співпадає з середнім значенням втрат потужності.

Нестаціонарні завади. Якщо тривалість ділянок стаціонарності менша за 3 с, то знайдені для кожної ділянки показники ЕМС потрібно квадратично усереднити на інтервалі 3 с. Кількість N доданків при усередненні дорівнює частці від ділення 3 с на тривалість ділянки. Наприклад, взявши N залежностей інерційних коефіцієнтів від сталих часу, знайдемо одну залежність

Сукупність усереднених показників ЕМС дозволяє знайти функції їх розподілів, а отже згідно (11) і розрахункові значення.

Якщо тривалість ділянки стаціонарності дорівнює 3 с, то усереднення не потрібне. Коли тривалість перевищує 3 с, то потрібно вибирати її кратною 3 с, а в сукупності показників ЕМС враховувати однакові показники, кількість яких дорівнює частці від ділення тривалості ділянки на 3 с.

Та обставина, що ділянка стаціонарності має невелику тривалість, не є перешкодою для розрахунків інерційних показників при сталих часу, які її перевищують, тому що характеристики стаціонарної завади відносяться до реалізацій випадкового процесу нескінченної тривалості.

Висновки. 1. Спотворення несинусоїдальності напруги доцільно розглядати як випадковий процес, у загальному випадку – нестаціонарний. Для практичних цілей завади можна вважати стаціонарними на ділянках стаціонарності, мінімальна тривалість яких визначається за умовою вірогідної оцінки КФ завади.

2. Оцінку ЕМС об’єктів з активною і ємнісною провідностями потрібно виконувати з використанням відомих моделей: по інерційному коефіцієнту спотворення і динамічному коефіцієнту несинусоїдальності. Імовірнісні розподіли ординат процесів після квадратора і інерційної ланки моделей рекомендується приймати у вигляді гама-розподілів.

3. Запропоновані моделі ЕМС двигунів щодо несинусоїдальності у вигляді інерційних ланок дозволяють оцінювати додаткову температуру перегріву і відносне скорочення строку служби при випадкових завадах.

Додаток.Оцінка ЕМС двигунів звичайно виконувалась лише для періодичних симетричних завад у вигляді канонічних гармонік. В формули (1), (4) і (7) звходять доданки √n±1, які враховують залежність виду симетричних послідовностей від номера п гармоніки. При випадкових завадах величину n потрібно розглядати як безперервну в межах від 0 до нескінченності. Кутова частота ω = 100πn також є безперервною величиною. Очевидно, у цьому випадку неможливо вказати до якого значення n відноситься 1 або –1 під коренем, тому замість √n±1 логічно прийняти √n. З врахуванням цього формула (1) з для відносних втрат потужності від несинусоїдальності приймає вигляд

(Д.1)

U _(n) – діюче значення гармоніки,k^'_а.д.–коефіцієнт, який залежить від параметрів асинхронних двигунів. У середньому цей коефіцієнт дорівнює 1,75, тому множник с_ΔР = 3,5.

Структура доданків в (Д.1) показує, що завада до квадратора проходить через гіпотетичний фільтр, АЧФ якого пропорційна функції

(Д.2)

Для випадкових завад цю функцію не можна прямо екстраполювати на гармоніки порядку n3, тому що, наприклад, при n = 0 вона дає нескінченність. Оскільки інформація щодо структури фільтру відсутня, згідно з рекомендаціями у першому наближенні приймемо фільтр перед квадратором у вигляді інерційної ланки з коефіцієнтом передачі

(Д.3)

який для асинхронних двигунів дорівнює 1,87.

Для пошуку сталої часу Т_ф ланки коефіцієнт передачі не має значення, тому цей параметр знайдемо з порівняння функції (Д.2) з функцією

φ₂(n) =[ 1 + (100πnТ_д)²] ^‐1/2,(Д.4)

яка пропорційна АЧФ інерційної ланки. За методом найменших квадратів мінімізація суми квадратів різниці цих функцій у межах 3 £ n£ 40 дає Т_ф = 0,0019 с.

За змістом сума в (Д.1) дає дисперсію Dν_ΔP інерційного процесу ν_ΔP ( t) після фільтра, тому для випадкових завад

(Д.5)

На відміну від (3) квадратора тут не потрібна ще одна інерційна ланка, оскільки для техніко-економічних розрахунків достатньо знайти середнє значення втрат, яке дається формулою (Д.5).

Для синхронних двигунів сума в (Д.1) береться від n = 5, а с_{Δ Р} = 0,05 /√2, тобто а_{Δ Р} = 0,188. Порівняння функцій (Д.2) і (Д.5) дає Т_ф = 0,0018 с.

АЧФ інерційної ланки

(Д.6)

для асинхронного двигуна показано на рис. 1 кривою 1, що порівнюється з функцією, яка дорівнює добутку а_Р на (Д.2) і показана пунктирною лінією. Криві перетинаються при n = 7. Найбільша різниця між ними досягає 0,09 при n = 3, що становить усього 4,8 % від найбільшої ординати АЧФ (Д.6) при n = 0. Крива 2 для синхронних двигунів проходить нижче за криву 1, тому що несинусоїдальність відбивається на них значно менше. Слід відзначити, що при n = 1 формула (Д.6) не повинна давати одиницю, оскільки мова іде не про корисне навантаження, а про заваду, яка створює дода-ткові втрати потужності.

Рис. 1

Аналогічно знайдемо параметри інерційних ланок при моделюванні температури θ додаткового перегріву в °С і показника степеню в формулі для відносного скорочення строку служби в"z" разів. Для асинхронних двигунів формули (4) і (7) з [3] дають

де k^''_а.д.–коефіцієнт, який залежить від параметрів двигуна. Для синхронних двигунів a_z = √0.05*499/°2 = 4.2. Сталі часу інерційних ланок для температури співпадають зі сталими часу для втрат потужності.

Скорочення строку служби розраховується по середньому значенню температури, яке пропорційне дисперсії D_Z процесу ν_z (t) після інерційної ланки. Тоді при с _z = a_z² отримаємо

z = e^c_zDz (Д.7)

Відносне скорочення строку служби зручно виражати в процентах:

Dz = 100(z – 1).(Д.8)

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. ГОСТ 13109-97. Межгосударственный стандарт. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. – Введ. в Украине с 01.01.2000.
2. Кузнецов В.Г., Олянишин В.О. Нормирование несимметрии и несинусоидальности напряжений в электрических сетях // Препринт АН Украины, Ин-т электродинамики. – №732. – Киев,1993. –32 с.
3. Кузнецов В.Г., Николаенко В.Г. Оценка экономического ущерба от несимметрии и несинусоидальности напряжений в промышленных системах электроснабжения // Техн. электродинамика. – 1980. – № 1. – С. 33–37.
4. Электротехнологические режимы энергоемких потребителей резкопеременных нагрузок и их влияние на электрооборудование систем электроснабжения // Технічна електродинаміка, 2000, ч. 5. – С.64–67.
5. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1986. – 463 с.
6. Шидловский А.К.,Куренный Э.Г. Введение в статистическую динамику систем электроснабжения. – Киев: Наукова думка, 1984. – 271 с.
7. конденсаторных установок // Шидловский А.К. и др. – Киев: Препринт АН УССР. Ин-т электродинамики, 1990, № 687. – 30 с.
8. Правила устройства электроустановок. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 640 с.
9. Комлев В.П., Малафеев С.И. Динамическая модель силового конденсатора и ее применение для расчета потерь при искажениях напряжения. – Деп. в «Информэнерго», 1982, № 1196эн-Д 82. – 12 с.
10. Теоретические основы организации и анализа выборочных данных в эксперименте. – Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1979. – 232 с.
11. Курінний Е.Г., Чернікова Л.В., Петросов В.А. Уніфікований метод розрахунку випадкових процесів у лінійних фільтрах моделей електромагнітної сумісності // Технічна електродинаміка. – 2000, ч. 2. – С. 20–23.
12. Статистические методы при автоматизации производства. – М.: Энергия, 1964. – 192 с.