Фізико-металургійний факультет
Кафедра промислової теплоенергетики
Спеціальність: теплові електричні станції
У роботі буде зроблений огляд літератури з різницевих схем, розглянуті методи підвищення їх стійкості і швидкості збіжності. Також будуть розглянуті завдання з нелінійними по межах умов. У результаті роботи буде представлений найбільш ефективний з методів рішень нелінійних задач теплообміну.
Процеси тепломасообміну є домінуючими у всіх способах отримання енергії, створення мікроклімату усередині житлових і промислових будівель (кондиціонування, вентиляція, опалення - взимку і охолоджування - влітку). Ці процеси розвиваються як усередині приміщень, так і в огороджувальних конструкціях. Стіни житлових і громадських будівель, теплоенергетичних агрегатів, котлів, методичних і нагрівальних печей, колодязів і т.д. піддаються впливу навколишнього середовища і втрачають у ній теплову енергію.
При проектуванні різних теплоенергетичних агрегатів: котлів, нагрівальних та плавильних печей, теплових двигунів, компресорів, холодильних машин, технологічного обладнання металургійної, хімічної та харчової промисловості слід враховувати процеси переносу теплоти, так як вони стають визначальними при виборі конструкції. Працездатними і економічними будуть конструкції, в яких здійснюється оптимальний тепловий режим. Прогнозувати такі режими на натурному об'єкті не завжди зручно і економічно вигідно, тому на допомогу дуже часто приходить теорія подібності і подальший чисельний експеримент.
Багато задач тепломасообміну, з якими доводиться стикатися інженеру, не піддаються аналітичному розв'язанню, і єдина можливість їх теоретичного аналізу - отримання чисельного рішення.
Аналітичними методами можна вирішити лише певний клас диференціальних рівнянь у приватних похідних при постійних коефіцієнтах переносу. Отримання рішення нелінійних рівнянь в аналітичній формі при залежності коефіцієнтів переносу від шуканої функції можливе лише у виняткових випадках.
Особливу складність викликає так звана зовнішня нелінійність, зумовлена, наприклад, наявністю випромінювання енергії на поверхнях досліджуваної області. Універсальними методами знаходження наближеного розв'язку диференціальних рівнянь, застосовуваними для широкого кола завдань математичної фізики, є методи скінченних різниць.
Область безперервної зміни аргументів замінюється кінцевим, дискретною безліччю точок (вузлів), званих сіткою. Замість шуканої функції безперервних аргументів ведеться пошук функції дискретних аргументів, яка визначається у вузлах сітки - сіткової функції. Похідні, що входять до диференціальне рівняння, замінюються (апроксимуються) відповідними різницевими співвідношеннями, тобто лінійної комбінацією значень сіткової функції в декількох вузлах сітки. Таким чином, диференціальне рівняння замінюється системою алгебраїчних рівнянь. Крайові (початкове і граничні) умови також замінюються відповідними різницевими умовами для сіткової функції.
Сукупність правил написання різницевих рівнянь і крайових умов, виражених в різницевої формі, можна назвати різницевої схемою, а вузли, задіяні в ній - шаблоном. Набір вузлів, відповідних фіксованому моменту часу, називають тимчасовим шаром.
Одержуване рішення різницевої задачі буде наближеним рішенням вихідної задачі. Очевидно, що перехід до дискретних аргументів на увазі прагнення різницевої задачі до вихідної при подрібненні сітки. У цьому випадку схема повинна гарантувати і збіжність одержуваного рішення.
Заміна диференціальної задачі різницевої заздалегідь передбачає введення помилки, тобто - похибки апроксимації. Вона характеризується величиною нев'язки, одержуваної при підстановці точного рішення вихідної задачі в різницеву. Таку перевірку здійснюють, наприклад, на основі розкладання точного розв'язку в ряд Тейлора у вузлах сітки. Невязку оцінюють величиною показника ступеня кроків сітки в відкидаємо членах ряду. Якщо при цьому крайові умови або джерельної член вихідного рівняння апроксимується з іншою похибкою, то її враховують у загальній оцінці точності.
До цих пір використовувалося припущення, що арифметичні обчислення в різницевої задачі виробляються точно, тобто рішення виходить з будь-якою кількістю значущих цифр. Практично ж вони ведуться з кінцевим числом знаків. На кожному етапі обчислень допускаються помилки округлення, які можна розглядати як збурення початкових даних для подальшого етапу обчислень.
Якщо малі помилки округлення на проміжних етапах обчислень при подрібненні сітки приводять до спотворення рішення, до «розбіжності», то таку схему називають нестійкою. Тому схема повинна гарантувати слабку залежність одержуваного рішення різницевої задачі від малої зміни вхідних даних. Якщо ця вимога виконується, то схему називають стійкою.