Источник: Сдвижение горных пород и защита подрабатываемых сооружений. М.: Недра 1978 г. 494 с.
8.3. Методы расчета оседаний, основанные на применении функций распределения
Методы расчета оседаний с применением функций распределения представляют собой своего рода переходную ступень от эмпирических методов к методам, основанным на теоретических моделях массива. Все методы этой группы объединяет то, что в их основе лежат так называемые функции распределения или функции влияния, описывающие характер и степень влияния элементарных площадок, из которых слагается площадь очистной выработки, на земную поверхность. Так, например, изображенный на рис. 100 элемент dA1 очистной выработки вблизи площади полной подработки оказывает на точку Р земной поверхности меньшее влияние, чем находящийся в центре выработки элемент dA2,поскольку он лежит дальше от точки Р и линия, по которой проявляется его влияние, наклонена под меньшим углом к горизонту. Для практического расчета в большинстве методов этой группы бесконечно малые элементы площади палатки объединяются в кольцевые зоны, размеры которых выбираются таким образом, чтобы степень влияния каждой зоны на лежащую в центре палетки точку земной поверхности была приблизительно одинаковой (зоны равного влияния).
При помощи построенной таким способом палатки можно определить ожидаемые оседания в отдельных точках земной поверхности путем простой оценки относительных размеров площадей, покрываемых на плане очистной выработки отдельными зонами палатки, выраженных в долях всей площади каждой зоны. Первый метод расчета оседаний с применением интеграционной сетки был разработан Кейнгорстом еще в 1925 г. [170], но основанные на этом принципе методы расчета движений до сих пор являются в ФРГ наиболее распространенными.
8.3.1. Теоретические основы метода зон равного влияния
Метод интеграционных сеток основан на представлении о граничном угле и об определяемой этим углом площади полной подработки. Эта площадь, имеющая при горизонтальном залегании пласта форму круга, мысленно разбивается на бесконечно малые элементы dA, влияние которых на оседание точки Р земной поверхности, лежащей над центром площади полной подработки, зависит от положения этих элементов относительно упомянутого центра. Опыт показывает, что степень влияния, выражающаяся дифференциальной функцией de/dA = Kz, закономерно убывает с увеличением расстояния r элемента площади dA от центра Р' площади полной подработки. Это распределение влияний отдельных элементов площади полной подработки, характеризующееся свойством круговой симметрии, в различных методах расчета описывается той или функцией распределения Kz, (r), чаще всего в зависимости от величины отношения i = r/R (здесь R — радиус площади полной подработки) или от величины зонального угла в виде Kz (i) или Kz, (q), где tg q = r/Н.
Если на образующих площадь полной подработки элементарных площадках построить вертикальные столбики, высота которых в известном масштабе выражает значения функции распределения для этих площадок, то совокупность этих столбиков образует колоколообразное тело, совпадающее с телом, образуемым вращением кривой функции распределения. построенной для диаметрального сечения площади полной подработки, относительно оси, нормальной к этой площади и проходящей через ее центр [24].Аналогичным образом можно построить, с учетом масштабного коэффициента Vz «тело элементарных оседаний», состоящее из столбиков, высота которых соответствует оседаниям dVz в точке Р земной поверхности влиянием элементарных площадей dA в соответствии с соотношением KzVz= dVz/dA.
Таким образом, функция распределения Kz, описывает также бесконечно малые изменения dVz величины оседания вблизи точки Р земной поверхности (см. рис. 100), т. е. характеризует наклон dVz,/dx [см. формулы (149) и (262)], вызванный подвиганием на величину dx очистной выработки, имеющей очень малый размер в направлении оси х (dA = dx dy npu dy = 1). Наконец, интеграционная сетка представляет собой проекцию на горизонтальную плоскость областей влияния, выделенных вертикальными цилиндрическими и вертикальными диаметральными сечениями в зонах секторов равного объема (см. рис. 100).
Чтобы иметь возможность вычертить такую интеграционную сетку, нужно, вообще говоря, представить закономерность кольцеобразного прироста объема области влияния от центра к периферии в виде интегральной кривой, описываемой уравнением
в котором пределами интегрирования предусматривается возможность изменения зоны влияния от нуля до радиуса площади полной подработки. Математическое решение этой задачи для показательной функции распределения можно найти в соответствующей литературе [36, 75]. В то время как в одном из указанных решений объем пропорциональной части области влияния определяется суммированием колец бесконечно малой толщины (2пг dr), шириной dr и высотой Kz, при помощи выражения (151), в другом решении объем части области влияния, разбитой на элементарные цилиндрические объемы горизонтальными сечениями, вычисляется как сумма объемов цилиндрического цоколя (пг2 Kz) и насаженной на него колоколообразной части, состоящей из бесконечно тонких горизонтальных слоев, имеющих высоту dKz и площадь основания пг2. Было предложено еще одно решение [286], в котором площадь, ограниченная осью r и кривой rk2 (r), представляющей собой функцию влияния, умноженную на расстояние r (см. график в нижней части рис. 100), соответствующая объему части области влияния, графически разбивается на пять равновеликих частей.