Ганьшин В.Н. - Псевдообращение матрицы нормальных уравнений свободной геодезической сети

В статье предлагается псевдообращение матрицы нормальной системы уравнений свободной сети, имеющей дефект, равный размерности l (практически с помощью стандартных матриц (прием этот предложен в книге [1]). Используя полученный результат, вычисление матрицы можно свести к суммированию четырех матриц.

Пусть - неособенная матрица размерами , получаемая из матрицы В вычеркиванием в ней l строчек и l столбцов, относящихся к некоторому произвольному пункту сети. Для определенности и удобства записи будем считать, что таким пунктом является последний , где ; ранг матрицы В обозначим , т.е. .

Известно [2;3;1], что матрица , псевдообратная по отношению к матрице В, представляется произведением

Где - матрица обратная по отношению к матрице .

В работе [1] дано правило написания матрицы для любого и . Обобщая это правило на случай произвольного значения l, в блочной записи получаем для следующее значение:

Где - единичная матрица размером ;

Т.е. блочная матрица содержит единичных блоков размерами ;

Так, применительно к случаю получим

Подчеркнем, что матрица находится на месте вычеркнутых l строчек (в данном случае, принадлежащих данному пункту).

Произведение, стоящее в правой части выражения (1), может быть представлено в виде алгебраической суммы четырех матриц

Где три последних матрицы являются производными от первой.

Матрица получается из матрицы добавлением в ней l строчек и l столбцов (на места, соответствующие строкам и столбцам вычеркнутым в матрице В), все элементы которых нули. В нашем примере были вычеркнуты строки и столбцы, соответствующие последнему пункту, поэтому матрицу для перехода к матрице надлежит окаймить l строками и l столбцами с нулевыми элементами.

Матрицу разобьем на блоки размерами , которые будт содержать элементы, находящиеся на пересечении строчек и (соответствующие и ) и столбцами и (соответствующие и ), где .

Так в случае , образованный нами блок будет иметь вид

Где - соответствующие элементы матрицы (в нашем примере последние блоки будут нулевыми).

Аналогичным образом на блоки разбиваются и матрицы . Эти блоки соответственно будут:

Где

И т.д. (для c и d).

Переход от элементов матрицы к элементам матрицы сводится к последовательному «осереднению» элементов блоков матрицы сначала по строкам, затем – по столбцам и, наконец, по совокупности всех одноименных элементов в блоках матрицы .

В заключении подчеркнем, что обосновать верность формулы (5) можно непосредственно, исходя из условий, связывающих матрицы В и , - правая часть выражения (5) удовлетворяет всем этим условиям.

Список использованной литературы

1. Ганьшин В.Н., Стороженко А.Ф., Ильин А.Г., Буденков Н.А., Цюнько В.И. Измерение вертикальных смещений сооружений и анализ устойчивости реперов. М.: Недра, 1981, 216с.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 576с.
3. Альберт А. Регрессия, псевдообращение и рекуррентное оценивание. М:. Наука, 1977, 223 с.

ПСЕВДООБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Список использованной литературы