CУЧАСНИЙ СТАН ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ У ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧАХ
Автор: Ренкевич О.В.
Автор: Ренкевич О.В.
Сучасний стан опрацювання результатів геодезичних вимірювань характеризується переходом до використання строгих математичних методів та моделей, застосуванням автоматизованих систем на всіх стадіях збирання, обробки та розповсюдження геопросторових даних в польових та камеральних умовах. Спектр задач математичної обробки результатів геодезичних вимірювань включає обробку вимірів однієї величини, вирівнювання геодезичних мереж, опрацювання даних топографічних знімань, побудову цифрових моделей місцевості, включаючи цифрові моделі рельєфу, інтерполяцію та апроксимацію одержаних значень функцій, числового інтегрування та інтерпретацію результатів вимірювань та їх функцій. Для розв’язування цих задач застосовуються різні числові методи: ймовірнісно-статистичний аналіз результатів вимірювань та їх похибок, метод найменших квадратів, прямі та ітераційні методи лінійної алгебри, методи лінійної, гармонічної, середньоквадратичної, чебишевської, сплайнової та інших методів інтерполяції та апроксимації та ін.
Враховуючи різноманітність задач математичної обробки результатів геодезичних вимірювань, нагальною є проблема розробки уніфікованих високоточних математичних методів та моделей, здатних на підставі єдиного методологічного підходу об’єднати рішення широкого спектра задач в єдине обчислювальне середовище. Особливої актуальності та важливості ця проблема набуває у зв’язку зі створенням в Україні нової національної геодезичної системи відліку, пов'язаної з європейськими та світовими системами координат, забезпеченням функціонування та розвитком державної геодезичної мережі та мережі постійно діючих станцій для супутникових радіонавігаційних спостережень.
Одним із засобів вирішення науково-прикладних проблем є порівняння, залучення та використання значних науково-технічних досягнень з інших областей знань. Для вирішення проблеми удосконалення математичної обробки результатів геодезичних вимірювань доцільно досліджувати не тільки сучасні числові методи прикладної математики, а й інші пов’язані з використанням цих методів області інженерних знань. Сучасний стан вирішення проблеми створення уніфікованих високоточних математичних методів та моделей обробки результатів геодезичних вимірювань на основі використання сучасного числового методу скінченних елементів є головним напрямом досліджень цієї статті.
Такий інтерес до методів рішення задач будівельної механіки не є випадковим. Геодезисти багато разів відмічали схожість між методами будівельної механіки та методами обробки геодезичних мереж. Так ще у 50-ті роки у дослідженнях М.І. Товстолеса встановлювалися аналогії між методом сил будівельної механіки та методом умов щодо обробки геодезичних вимірів, що втілилося у його докторській дисертації на тему "Методи будівельної механіки стосовно рішення задач геодезії та маркшейдерії". Інтенсивний розвиток засобів обчислювальної техніки для розрахунку будівельних конструкцій обумовив перехід до використання методу переміщень та виникнення методу скінченних елементів (МСЕ), який сьогодні став фундаментальним методом механіки твердого тіла. Аналогічно, розвиток методів вирівнювання геодезичних мереж пов’язан з ефективним застосуванням параметричного методу, який відповідає методу переміщень будівельної механіки. Слід зазначити, що метод найменших квадратів, який традиційно використовується в геодезичних задачах, по суті є модифікацією методу скінченних елементів [14].
Метод скінченних елементів привернув увагу геодезистів при розв’язанні варіаційних задач фізичної геодезії. Так, Ю.М. Нейман та С.В. Лебєдєв [12,13] при розв’язанні традиційних задач фізичної геодезії визначення в заданій точці земної поверхні висоти квазігеоїду або компонент відхилення прямовисної лінії вказали на можливість використання методу скінченних елементів..
Вперше процедуру розрахунку за методом скінченних елементів для вирівнювання геодезичних мереж трилатерації застосував N.F. Danial у [15, с.73 -93] та [16, с.11 -27] . Характерно, що в своїх дослідженнях Danial обмежився розглядом тільки мереж трилатерації, встановивши аналогію між виміряною лінією та стрижнем з шарнірними вузлами, в яких можливі тільки лінійні переміщення. Характерно, що і при використанні методу сил та [10] та методу переміщень далі аналогії "виміряна лінія – стержень" та, відповідно, "ферма – мережа трилатерації" розвинутися не вдалося.
Подальший розвиток використання методу скінченних елементів для вирівнювання лінійно-кутових геодезичних мереж на площині набуло у працях автора, що втілилося в його кандидатській дисертації. Разом з тим треба зазначити, що у проведених роботах не використовувався притаманний методу скінченних елементів варіаційний підхід, а сама предметна область виконаних досліджень обмежувалась тільки кутовими та лінійними вимірами в прямокутних координатах. Такі обмеження не дозволяли створити єдині теоретичні основи використання методу скінченних елементів для розв’язання задач вирівнювання геодезичних вимірів, інтерполяції та апроксимації одержаних значень функцій, числового інтегрування, інтерпретації результатів вимірювань та їх функцій.
Традиційно спектр задач математичної обробки результатів геодезичних вимірювань включає обробку вимірів однієї величини, вирівнювання геодезичних мереж, опрацювання даних топографічних знімань, побудову цифрових моделей місцевості, включаючи цифрові моделі рельєфу, інтерполяцію та апроксимацію одержаних значень функцій, числового інтегрування та інтерпретацію результатів вимірювань та їх функцій. Для рішення цих задач застосовуються різні числові методи: ймовірнісно-статистичний аналіз результатів вимірювань та їх похибок, метод найменших квадратів, прямі та ітераційні методи лінійної алгебри, методи лінійної, гармонічної, середньоквадратичної, чебишевської, сплайнової та інших методів інтерполяції та апроксимації та ін.
Теоретичним підґрунтям застосування в геодезичних задачах варіаційних методів взагалі, а методу скінченних елементів зокрема є дослідження А.І. Мазмішвілі, який запропонував розглядати геодезичні виміри та функції від них як одно- та багатовимірні поля. Причому утворені поля [11] , виражаються:
Так, наприклад, рельєф топографічної поверхні досліджується як числове поле. Горизонталі розглядаються як неперервні лінії рівневих поверхонь. За фізичним змістом, горизонталі це лінії однакових потенціалів або лінії еквіпотенціальних поверхонь.
Для рішення наведених задач ефективним є застосування методу скінченних елементів.
Історія методу скінченних елементів налічує кілька десятиліть. Як ефективний інструментарій його спочатку застосовували для розв’язання класичних задач будівельної механіки, а тому він використовувався переважно в цій галузі. У будівельній механіці цим методом мінімізується потенційна енергія, що дозволяє звести задачу розрахунку міцності будівельних конструкцій до розв’язання системи лінійних рівнянь рівноваги. Зв’язок методу скінченних елементів з процесом мінімізації деякого функціонала спричинив широке використання його при вирішенні інших наукових та інженерних задач. Його застосовують і до розв’язання задач теорій пружності та розповсюдження тепла в гідромеханіці. Треба зазначити постійне зростання кількості досліджень та сфери застосування методу скінченних елементів. Причому спостерігається тенденція до уніфікації розв’язання різноманітних задач.
Особливо треба відзначити розвинену наукову та програмно-методичну інфраструктуру використання методу скінченних елементів у задачах будівельної механіки взагалі в світі та в Україні зокрема.
Разом з тим треба зазначити, що до 2000 р. метод скінченних елементів дуже обмежено використовувся у геодезичних задачах. В епізодичних роботах не використовувався притаманний методу скінченних елементів варіаційний підхід, а сама предметна область виконаних досліджень обмежувалась тільки задачами фізичної геодезії та кутовими й лінійними вимірами в прямокутних координатах. Такі обмеження не дозволяли створити єдині теоретичні основи використання методу скінченних елементів для розв’язання задач вирівнювання геодезичних вимірів, інтерполяції та апроксимації одержаних значень функцій, числового інтегрування, інтерпретації результатів вимірювань та їх функцій.
Починаючи з 90-х рр. минулого сторіччя Ю.О. Карпінський почав свою роботу над проблемою використання методу скінченних елементів в геодезичних задачах. Саме ним було сформульовано основний варіаційний принцип методу скінченних елементів в геодезичних задачах [3] . Розроблено загальну схему вирівнювання геодезичних мереж, інтерполяції та апроксимації значень функцій геодезичних вимірів методом скінченних елементів. Визначено спектр геодезичних задач для використання одно-, дво- та тривимірних скінченноелементних моделей. Обґрунтована методика встановлення аналогії скінченноелементних моделей геодезичних вимірів та елементів будівельної конструкції.
На основі варіаційного підходу набуло розвитку та вдосконалено дискретні одновимірні моделі скінченних елементів лінійних та кутових вимірів геодезичних мереж у прямокутних площинних та прямокутних просторових координатах, включаючи прості моноскінченні елементи виміряних віддалей, напрямів дирекційних кутів, астрономічних азимутів та базисних векторів GPS-вимірів [4, 8, 9] .
Ю.О. Карпінським було вперше розроблено дискретні одновимірні моделі простих моно- та узагальнених поліскінченних елементів лінійних, кутових, астрономічних та базисних векторів GPS-вимірів в геодезичних координатах на еліпсоїді, що забезпечує можливість вирівнювання Державної геодезичної мережі України [5, 6] . Також було розроблено методику афінного трансформування координат методом скінченних елементів з використанням трикутного скінченного елемента для площинних геополів і тетраедрального скінченного елемента для просторових геополів [2, 7] .
Запропоновані Ю.О. Карпінським скінченноелементні моделі геодезичних вимірів доведені до практичної реалізації в програмних комплексах, а саме:
У створених програмних комплексах використовується уніфікований програмний процесор відомого програмно-методичного комплексу "ЛИРА", який реалізує метод скінченних елементів для числового аналізу будівельних конструкцій [1] .
Аналіз публікацій використання методу скінченних елементів в геодезичних задачах свідчить про зростаючий інтерес до застосування високоточних математичних методів на основі комп’ютерних технологій. Особливої уваги заслуговує можливість використання методу скінченних елементів для вирішення завдань трансформації координат з однієї системи до іншої. Це обумовлено переходом у всіх розвинених країнах на нові референцні системи координат, побудовані на основі супутникових технологій. Крім того, нагальною проблемою є використання GPS-нівелювання в топографічному виробництві, як альтернативу традиційному геометричному нівелюванню, в тому числі, і в складних умовах рельєфу. У зв’язку з цим доцільним може стати використання методу скінченних елементів при побудові регіональної моделі квазігеоїда, яка забезпечить з необхідною точністю перехід від геодезичної системи висот до нормальної. У таких усовах ознайомлення геодезичної громадськості з повними строгими метаматичними методами, зокрема методом скінченних елементів, є важливою просвітницькою задачею.
1. Городецкий А.С. Метод конечных элементов теория и численная реализация. Программный комплекс “ЛИРА-Windows” / А.С. Городецкий, И.Д. Евзеров, Е.Б. Стрелец-Стрелецкий, В.Е. Боговис, Ю.В. Гензерский, Д.А. Городецький.– К.: ФАКТ, 1997.– 138 с.
2. Карпінський Ю.О. Афінне трансформування координат методом скінченних елементів / Ю.О. Карпінський. // Вісник геодезії та картографії. – К.: – 2002. – №4(27). – С. 23-27.
3. Карпинский Ю.А. Вариационный принцип построения конечных элементов сетей трилатерации / Ю.О. Карпінський //Инженерная геодезия. – К., 1992. – Вып.35. – С. 48-50.
4. Карпінський Ю.О. Скінченний елемент астрономічного азимуту в проекції Гаусса – Крюгера / Ю.О. Карпінський // Інженерна геодезія. – К., 2000. – Вип. 43. – С. 76-79.
5. Карпінський Ю.О. Скінченні елементи виміряних напрямів та ліній в геодезичних координатах на еліпсоїді / Ю.О. Карпінський // Інженерна геодезія. – К., 2002. – Вип. 48. – С. 99-105.
6. Карпінський Ю.О. Скінченний елемент геодезичного азимуту в геодезичних координатах / Ю.О. Карпінський // Інженерна геодезія. – К., 2001. – Вип. 47. – С. 51-54.
7. Карпінський Ю.О. Скінченні елементи двовимірних геополів / Ю.О. Карпінський. // Інженерна геодезія. – К., 2001. – Вип. 45. – С. 86-90.
8. Карпінський Ю.О. Скінченний елемент дирекційного кута при вирівнюванні геодезичних мереж в проекції Гаусса-Крюгера / Ю.О. Карпінський // Інженерна геодезія. – К., 2000. – Вип. 42. – С. 61-65.
9. Карпінський Ю.О. Скінченноелементні моделі GPS – вимірів / Ю.О. Карпінський //Інженерна геодезія. – К., 2004. – Вип. 50. – С. 76-81.
10. Красюк Т.А. О возможности использования методов статики инженерных сооружений для уравнивания геодезических сетей / Т.А. Красюк //Изв. вузов «Геодезия и аэрофотосъемка”, 1985. – №5. – С. 45-55.
11. Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадратов / А.И. Мазмишвили. – М.: Недра, 1968. – 436 с.
12. Нейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии / Ю.М. Нейман. – М.: Недра, – 204 с.
13. Нейман Ю.М. Приближенное решение задач коллокации методом конечных элементов / Ю.М. Нейман, С.В. Лебедев // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1986. – Вып. 1,2. – С. 14-19.
14. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: пер. с англ / Л. Сегерлинд. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
15. Danial N.F. Adjustment of Space Trilateration by STRUDL. Surveying and Mapping. Journal of the surveying and mapping Division. – 1987, – № 113, 1. – Р. 11-27.
16. Danial N.F., Krauthammer T. Trilateration adjustment by Finite elements. Surveying and Mapping. Journal of the surveying and mapping Division.– 1980. – № 166, 1, – Р. 73-93.