УДК 621.313

УпрощЕНИЕ расчёта оптимального по энергии закона управления электоприводом тележки мостового крана с учётом гашения колебаний груза

Зайцев Е.В., магистрант; Бажутин Д.В., аспирант; Толочко О.И., проф., д.т.н.

(Государственное ВУЗ "Донецкий национальный технический университет", г. Донецк, Украина)

В работе описана упрощенная процедура расчёта оптимального по энергии алгоритма управления электроприводом тележки мостового крана с учётом гашения колебаний груза. Упрощение достигается путём представления коэффициентов закона управления в виде аппроксимированных функций длины каната. Приведены графики переходных процессов, отображающие эффективность данного подхода.

Цель работы. Получить математические зависимости коэффициентов оптимального по энергии закона управления в качестве степенных полиномиальных функций длины каната.

Производственный процесс в настоящее время складывается, как правило, из нескольких технологических операций, предназначенных для обработки изделия или отдельных его частей и требующих, зачастую, отдельного пространства для выполнения. Поэтому в производственный процесс вводится фаза транспортировки материалов, деталей или готовых изделий, осуществляемая в пределах цеха при помощи мостовых кранов, которые могут иметь различные конструктивные особенности.

Однако для всех крановых установок, и для мостовых в том числе, характерной проблемой при перемещении является возникновение колебаний подвешенного груза. Такие колебания приводят к ухудшению энергетических показателей использования системы электропривода, увеличению нагрузки на механическую часть установки. Поэтому целесообразно разработать и внедрить средства и способы, устраняющие колебания груза. Предлагаемый вариант решения данного вопроса – оптимизация закона управления крановой установкой. Оптимизация проводится при условии, что угол отклонения груза от вертикали и первая производная этого угла, т.е. его угловая скорость, к концу перемещения тележки должны быть равны 0. Разные варианты решения этой задачи приведены в [1, 2].

Процесс поступательного перемещения тележки массой М с подвешенным к ней на абсолютно жестком канате длиной L грузом, масса которого m, под действием приложенной к тележке силы F описывается следующими нелинейными дифференциальными уравнениями:

где g – ускорение сил гравитации; s – линейное перемещение тележки; φ – угол отклонения каната от вертикали.

С целью улучшения наглядности формул вводятся следующие обозначения для переменных состояния:

Уравнения (1) переписываются с учетом принятых обозначений:

Эту модель легко линеаризовать, если принять допущения о том, что угол отклонения груза и скорость его изменения могут принимать только небольшие значения.

При таких допущениях справедливы приближенные соотношения:

подстановка которых в (3) приводит к упрощению математического описания рассматриваемого объекта:

При наличии регулятора скорости в системе электропривода тележки влиянием колебаний груза на неё можно пренебречь [1, 2]. Поэтому для синтеза управляющего воздействия из уравнений (5) исключаются компоненты, отражающие это влияние:

На основании уравнений (6) используя принцип максимума Понтрягина выводятся оптимальные законы управления, обеспечивающие гашение колебаний груза. Для мощных крановых электроприводов целесообразно минимизировать потребляемую энергию, т.е. синтезировать оптимальный по энергии закон управления. В [1] приведен вывод такого закона управления в форме:

коэффициенты которого находятся путём решения системы уравнений:

где T – полное время разгона.

Для упрощения процедуры решения имеющейся системы трёх уравнений с четырьмя неизвестными вводятся граничные условия:

Полученная система уравнений не имеет аналитического решения, поэтому решается численными методами, что затрудняет работу в режиме реального времени.

Далее проводится исследование зависимости коэффициентов закона управления λ и времени разгона T от длины каната при заданных значениях скорости и ускорения. Результаты приведены на рис. 1.

Полученные зависимости аппроксимированы с помощью степенных полиномов и показаны на рис. 1 сплошными линиями. Графики функций имеют гладкую форму, что свидетельствует о достаточной точности передачи данной аппроксимацией решения системы уравнений (8).

Зададим промежуточное значение длины каната – 8 м. Значения коэффициентов закона управления вычисляются с помощью полученных степенных полиномов. Полученный закон управления подаётся на тележку с грузом. Результаты моделирования приведены на рис. 2.

Рисунок 1 – Зависимости коэффициентов закона управления λ

и общего времени разгона T от длины каната L

Рисунок 2 – Переходные процессы в моделируемой системе

Таким образом, колебания груза полностью гасятся по окончанию разгона, что свидетельствует об эффективности предложенной методики. Недостатком такого подхода является необходимость наличия точной информации о желаемых значениях скорости и ускорения. Это ограничивает применение данной методики. Целью будущих исследований является вывод аппроксимирующей функции трёх переменных, которая этого недостатка лишена.

Перечень ссылок

1. A. Buch. Optimale Bewegungssteuerung von schwingungsfähigen mechatronischen Systemen mit zwei Freiheitsgraden am Beispiel eines Krans mit Pendelnder Last und elastischer Mechanik – Magdeburg, 1999. – 213 S.

2. Толочко О.И., Бажутин Д.В. Сравнительный анализ методов гашения колебаний груза, подвешенного к механизму поступательного движения мостового крана // Міжвідомчий науково-технічний журнал «Електромашинобудування та електрообладнання» No75 – Київ: «Техніка», 2010. – С.22-28.