Математическая модель горного массива, учитывающая влияние массовых сил на тектоническое поведение земной поверхности на примере Донецкого бассейна

Автор:Резниченко А.С., Приходько С.Ю.
Источник: XII Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Саров, Госкорпорация по атомной энергии «РОСАТОМ», 2010, стр. 11-12.

Аннотация

Для описания качественного поведения и реконструкции амплитуд инверсионных движений в Донецком бассейне используется модель колебаний упругой тонкой пластины под действием конкурирующих внешних сил. Вертикальная компонента сдвига описывается дифференциальными уравнениями с частными производными гиперболического типа. Сравнение полученных результатов с известными реконструкциями интенсивности денудации в Донбассе показывает, что соответствующий численный результат моделирования удовлетворительно описывает плановое распределение ассиметрического подъема в границах тектонического блока между поперечными Донецко-Кадиевским и Еланчик-Ровеньковским глубинными разломами.

Для описания качественного поведения вертикального смещения локальной области земной поверхности применяется модель колебания упругой тонкой пластины под действием внешних массовых сил. Учитывая относительную локальность области, в которой рассматривается модель, можно пренебречь вращением Земли. Тогда, согласно [1], для вертикальной компоненты вектора смещения получаем уравнение в частных производных (гиперболического типа) следующего вида:

(1)

где h = h(t, Х, у) - вертикальное смещение, зависящее от времени t и декартовых плановых координат х, у; f = f ( h) =( vе ) + vi - сумма соответствующих внешних ( ve) и внутренних сил( vi ), действующих на земную поверхность; µ - параметр Ламе; Дельта = д² / дх² + д² / ду² - оператор Лапласа.

В качестве внешних сил можно рассматривать воздействие на земную поверхность комплекса экзогенных процессов и эрозионных волн [2], влияние долговременных тенденций изменения атмосферного давления, результаты гравитационного взаимодействия Земли с другими космическими телами (например, Солнцем, Луной) и т.п. В качестве внутренних сил "Vz учитывается влияние вертикальных тектонических движений, возникающих как вследствие движения тектонических плит, так и в результате процессов физико-химической дифференциации вещества в недрах Земли.

В работе [3] приведена эмпирическая связь между вертикальным смещением - h, потенциалом силы тяжести - g и внешним потенциалом:

(2)

Принимая во внимание тот факт, что потенциал силы тяжести в большей мере зависит от изменений внешнего потенциала, нежели от других факторов, (т.е. g является функций от ve ), примем следующую связь между ними:

(3)

Данное предположение свидетельствует о том, что с увеличением воздействия внешнего потенциала сила тяжести также растет, а скорость роста зависит от выбора параметра а > О, который, вообще говоря, может зависеть от многих факторов. Таким образом, из соотношения (2) и предположения (3) находим зависимость: (V )l-a ~ V ~ hl/(l-a) , из которой нетрудно увидеть, что параметр а должен быть меньше 1, т.е. О < а < 1. В случае а ~ 1 с увеличением ~ вертикальное смещение невозрастало бы, что противоречит эмпирическим данным по измерению вариации силы тяжести [4].

Предположим, что действие соответствующего внутреннего потенциала соответствует действию потенциала силы тяжести:

т.е. рост силы тяжести вызывает возрастание внутреннего потенциала. Таким образом, в силу наших предположений на поведение массовых сил уравнение (1) приводится к нелинейному уравнению колебаний пластины вида

(4)

Данное модельное уравнение учитывает зависимость вертикального смещения, а, следовательно напряжений на земной поверхности, от взаимодействия внешнего и внутреннего суммарных потенциалов. Будем считать, что основной вклад в формирование и развитие земной поверхности привносит именно "конкуренция" между этими потенциалами.

В данной работе изучается поведение вертикального смещения земной поверхности, описываемого уравнением вида (4), на примере Донецкого бассейна. В качестве основы для математического моделирования использовалась схема глубинных тектонических разломов фундамента Донбасса [5]. В момент времени, выбранный за начальный, мы предполагаем, что массив находится в состоянии покоя. Западная и восточная и границы бассейна, соответственно в зонах Мариупольско-Курского и Липецко-Константиновского линеаментов, зажаты ( h = О), а северная (Северо-Донбасский краевой разлом) и южная (Южно-Донбасский краевой разлом) - свободны ( V h = О). Внутри массива, в зависимости от типов разрывных нарушений, задаются три вида разрывов:

где п - вектор нормали к линии разрыва.

Получающаяся при этом начально-краевая задача решается методом численного моделирования в наиболее простой ситуации, когда в уравнении (4) младшие слагаемые ведут себя линейным образом. Соответствующий численный результат, представляющий собой картограмму изолиний амплитуд инверсионного подъема на территории Донецкого бассейна в условных единицах (у.е.) показан на рис. 1.

Рисунок 1 - Модельная реконструкция амплитуд инверсионного подъема (hмод),предшествовавшего складкообразованию в уральскую фазу складчатости герцинского орогенического цикла, на территории Донецкого бассейна.

Сопоставление полученных результатов с известными реконструкциями интенсивности денудации в Донбассе [6,7] показывает, что соответствующий численный результат моделирования (hмод), удовлетворительно описывает плановое распределение асимметричного инверсионного подъема (hфакт) в пределах тектонического блока между поперечными ДонецкоКадиевским и Еланчик-Ровенецким глубинными разломами, которое предшествовало складкообразованию в уральскую фазу складчатости герцинского орогенического цикла. Между фактическими [ 6] и модельными данными уставлена значимая корреляционная зависимость hфакт = 0,933 ехр(О,195hмод), коэффициент корреляции r = 0,76.

Для того чтобы аналитически прокомментировать получающийся результат рассмотрим соответствующее (4) одномерное уравнение

(5)

Для функции f получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

2 µf" + С1 - C2f = О . р

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Из вида решения следует, что оно представляет собой семейство волн движущихся на поверхности упругой пластины со скоростью ~ µ/ р. Для нелинейного уравнения (5) (при /З =1) решение имеет вид

Будем искать решение в виде бегущей волны, а именно:

где функция p- l (.) - обратная к функции

В этих рассуждениях не учитывались разрывы. Учет разрывов приводит, естественно, не к таким простым ответам, но для понимания качественной картины достаточно наблюдать за поведением решений типа бегущей волны.

Результаты численного решения начально-граничных задач для уравнения (4) позволяют определять вариации вертикальных морфотектонических смещений в ходе геологической истории развития трансформированных инверсией осадочных бассейнов.

Применительно к Донецкому бассейну, этот подход позволит в дальнейшем рассчитать пространственно-временные вариации напряженного состояния горного массива в момент инверсии и на последующих этапах тектонической эволюции бассейна. Поскольку инверсионный режим вызывает подъем отложений, активизирует эрозионные процессы, нарушает системы первичного кливажа и приводит к перераспределению сформировавшихся на доинверсионной стадии углеводородных газов, полученные результаты могут быть использованы при геодинамическом районировании горного массива Донбасса. Прогнозирование развития опасных геологических процессов определит безопасное строительство и эксплуатацию промышленных и гражданских сооружений городов и мегаполисов.

Библиографический список:

Морис Г., Мюллер А. Вращение Земли: Теория и наблюдения. -К.: Наук. думка, 1992. - 512 с.

Whipple К Х., Tucker G.E. Dynamics of the stream-power river incision model: implications for height limits of mountain ranges, landscape response timescales, and research needs // J. Geophys. Res. - 1999. - Vol. 104. - Р. 17661-17674.

Мельхиор П. Земные приливы. - М.: Мир, 1988. - 246 с.

Теркот Д.Л., Шуберт Дж. Геодинамика: Геологические приложения физики сплошных сред.Ч. 1: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 376 с.

Привалов В.А., Панова Е.А., Азаров Н.Я. Тектонические фазы в Донецком бассейне: пространственно-временная локализация и характер проявления // Геологiя i геохiмiя горючих копалин. - 1998. -№ 4. -С. 11-18.

Нагорный Ю.Н., Нагорный В.Н. Особенности геологического развития Донецкого бассейна 11 Геотектоника. - 1976. - № 1. -С. 74-86.

Привалов В.А., Саксенхофер Р., Жикаляк Н.В., Писковой М.А., Панова Е.А. Тепловые потоки в геологической истории Донбасса: результаты моделирования // Наук. працi ДонНТУ., сер. гiрн.-геолог. - 2001. - Вип. 32. - С. 14-21.