Разработка методами частотного анализа математической модели длинных аэродинамических каналов как объекта управления

Аннотация

Лапко, В.В. Чередникова, О.Ю. – Разработка методами частотного анализа математической модели длинных аэродинамических каналов как объекта управления

1. Априорная разработка математической модели коротких аэродинамических каналов

В произвольных переходных режимах состояние каналов как аэродинамического объекта описывается телеграфными уравнениями волновых движений в частных производных. Однако при относительно низком темпе переходных процессов и небольшой длине канала эти уравнения могут быть сведены к математической модели с сосредоточенными параметрами – к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Для количественной характеристики темпа переходных процессов используем соотношение длины канала l и минимальной длины бегущей волны сжатия воздуха λmin вдоль канала при действии гармонических составляющих возмущений.

В общем случае длина реального аэродинамического канала может быть как существенно меньше, так и больше длины бегущей волны сжатия воздуха вдоль канала при действии реальных производственных возмущений. Следовательно, каналы по отношению к длине волны возмущений могут считаться как короткими (l<<λmin), так и длинными (l≈λmin). При этом аэродинамическая модель канала должна воспроизводить тем более сложный характер бегущей волны сжатия воздуха при конкретных производственных возмущающих воздействиях, чем больше геометрическая длина канала по отношению к длине волны. В силу этого, для каналов различной протяженности целесообразно использовать различной сложности математические модели.

На практике считается, что канал можно считать коротким, если запаздывание сигнала на выходе на порядок меньше характерного времени нарастания (или спада) входных воздействий [3]. В этом случае входные и выходные сигналы являются практически синфазными. В качестве математической модели в этих условиях допустимо использовать и широко применяются обыкновенные дифференциальные уравнения. При известной границе существенных частот λmax выражение для критичной длины коротких каналов может быть записано в виде:

l_lim≤λ_min/7=2πα/7ω_max

где l_lim – минимальная длина канала, который может рассматриваться как объект с сосредоточенными параметрами;

α – скорость распространения ударной волны (звука).

Тогда, если, например, верхняя граница полосы существенных частот составляет ω_max≈0.5 рад/с, то в качестве предельной длины канала, в котором можно пренебречь распределенностью параметров, ориентировочно можно принимать канал длиною: l_lim≈2π340/(7*0,5)≈600 м.

В качестве математической модели такого короткого канала может быть выбран простой четырехполюсник, например, симметричный Т–четырехполюсник (или П четырехполюсник) с сосредоточенными акустическими и аэродинамическими параметрами.

2. Априорная разработка математической модели длинных каналов

В каналах, длина которых l>l_lim≅600м, при реальных принятых выше частотах производственных возмущений (ω_max≈0,5с-1), запаздывание входного сигнала на выходе играет уже более существенную роль и в моделях этих каналов необходимо учитывать распределенность аэродинамических процессов и волнообразный характер бегущей волны сжатия воздуха вдоль аэродинамического канала. Для анализа точностных характеристик приближенных моделей этих каналов воспользуемся цепочечными схемами из коротких ветвей, соответствующих указанным выше четырехполюсникам. В цепочечной модели каждая, например, Т–схема в этом случае будет отображать определенный достаточно короткий отрезок, запаздывание сигнала в котором пренебрежимо мало. Априорно при исследованиях количество звеньев длинного канала при таком подходе будет определяться из условия: n>l/l_lim

3. Оценка точности априорных моделей каналов методами частотного анализа

Для уточненной оценки погрешности предложенных приближенных моделей и с целью разработки максимально простых приближенных (и минимальных по сложности) схем замещения длинных и коротких каналов воспользуемся частотными методами. При этом в качестве оригинала (образца) частотной характеристики используем характеристику «идеальной» модели для канала без потерь, согласованного по входу и выходу активным сопротивлением, равным волновому сопротивлению канала без потерь ZB(R=0)=ρa/F (где ρ – плотность воздуха, F – сечение канала). Известно, что для такого канала частотная характеристика выработки эквивалентна амплитудно–частотной и фазо–частотной характеристике (АЧХ и ФЧХ) активного сопротивления, равного волновому сопротивлению ZB. Полоса пропускания по входу такого согласованного канала без потерь является неограниченной и сдвиг по фазе на входе ветви для всех частот входного сигнала равен нулю. Очевидно также, что при ограниченном количестве звеньев в приближенной цепочечной модели канала без потерь, АЧХ и ФЧХ модели будут воспроизводить теоретическую характеристику только в ограниченном диапазоне частот. Цепочечную модель с минимальным количеством звеньев модели длинного канала, воспроизводящую теоретическую характеристику в полосе частот реальных производственных возмущений (ω_max≥0.5рад/с), будем считать искомой моделью с распределенными параметрами, отражающей в полной мере динамические свойства канала.

Экспериментальные результаты машинного моделирования достаточно хорошо коррелируются с приведенными выше оценками динамически коротких и длинных каналов для принятых реальных производственных возмущений. Из этих машинных экспериментов следует, что одним четырехполюсником достаточно хорошо аппроксимируются частотные свойства каналов длиною до 600м. Погрешность модели при этом не превышает 6% и во всем диапазоне рабочих частот (от 0 до 0,08 Гц) АЧХ приближенной модели качественно не отличается от теоретической зависимости. Однако при аппроксимации длинных каналов короткими ветвями длиной 600м АЧХ цепочечной модели выработки в качественном отношении существенно отличаются от входной теоретической частотной характеристики Pi(ω)/P(ω)=0,5=const. В принятом при исследовании рабочем диапазоне частот в цепочечной модели возникают резонансные явления для канала длиной 1800м (из трех коротких ветвей длиною 600м) на частоте 0,06Гц, а для канала длиной 3600м (из шести коротких ветвей длиною 600м) на частоте 0,04Гц. Значительно лучшими характеристиками о бладают цепочечные модели из коротких ветвей длиною 300м. В этом случае в цепочечных моделях длинных каналов резонансные явления возникают на частоте, примерно равной 0,1Гц, т.е. за пределами принятой рабочей области частот. При аппроксимации длинных каналов короткими ветвями длиной 200м в рабочем диапазоне частот АЧХ модели практически точно воспроизводят теоретическую характеристику, а резонансные явления отодвигаются достаточно далеко от принятой граничной рабочей частоты 0,08Гц (до частоты равной примерно 0,12Гц).

Выводы

На основе методов частотного анализа для определенного спектра производственных возмущений разработаны приближенные аэродинамические модели длинных аэродинамических каналов. Показано, что длинные каналы с достаточной для практики точностью могут быть аппроксимированы цепочечной схемой из коротких ветвей с сосредоточенными параметрами. Установлена зависимость между числом коротких ветвей приближенной модели с сосредоточенными параметрами и геометрической протяженностью канала. Разработанные приближенные аэродинамические модели использованы для синтеза математической модели шахтной сети как объекта управления.

Список использованной литературы

1. Частотные свойства шахтной вентиляционной сети как объекта автоматического регулирования / П.Н. Ермолаев и др. – В кн.: Автоматическое управление в горном деле. – Новосибирск: Б. И., 1971, с.16 – 23.
2. Петров Н.Н., Ермолаев П.Н., Пономарев П.Т. Электронная модель системы автоматического управления проветривания шахт. В кн.: Автоматическое управление в горном деле. Новосибирск: Б.И.,1971, с.89 – 93.
3. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника. Санкт–Петербург, 2000. – 517с.