Моделирование одного класса сложных систем с нечетким управлением

Аннотация

Шевченко А.И., Миненко А.С., Сыпко И.А. Моделирование одного класса сложных систем с нечетким управлением. Исследуется одна задача Стефана с учетом конвекции в жидкой фазе. Построено приближенное решение этой задачи с использованием малого параметра. Управление этим процессом осуществляется с применением нечеткой логики.

Постановка задачи

Рассмотрим следующий вариант кристаллизации металла. Пусть полубесконечный круговой цилиндр Ω = {(x₁, x₂, x₃): x₁² + x₂² < R², x₃ < 0} заполнен веществом, которое находится в двух фазовых состояниях: твердом и жидком. В рассматриваемой модели теплофизические параметры (свои в каждой фазе) считается постоянными величинами. Пусть, далее Г_t – достаточно гладкая поверхность, граничные точки которой S лежат на Г – боковой поверхности цилиндра Ω, т.е. S ∈ Г, и пусть Г_t отделяет твердую фазу от жидкой. Область, заполненную жидким веществом обозначим через Ω_t⁺. Через Ω_t^– обозначим область занятую твердым веществом. Боковые границы этих областей обозначим соответственно через Г^– и Г⁺. Верхний участок границы цилиндра Ω обозначим через H. Рассмотрим случай, когда каждая фаза Ω_t^± представляет собой односвязную область и для каждого момента времени t > 0 не является пустым множеством. Двухфазная задача Стефана, при наличии конвективных движений в жидкой фазе, состоит в определении скорости жидкости , распределения температур u⁺(x, t) и u^–(x, t) соответственно в жидкой и твердой фазах, свободной поверхности Г_t и давления p(x, t) по следующим условиям:

где D_T^±(x, t): x ∈ Ω_t^±, t ∈ (0, T), x = (x₁, x₂, x₃), ω₀^±, Re, k, k_–, k₊ – заданные положительные константы, q(х) – известная положительная, достаточно гладкая функция, ∇ = (∂/∂x₁, ∂/∂x₂, ∂/∂x₃). Здесь также a₊² = λ₊/Re_–ρ₊, a_–² = λ_–/Re_–ρ_–, а λ_±, c_±, ρ_±  – известные теплофизические параметры. Предполагается, что , , , q(x) ∈ H^2+α, где Ω₀^± – области со свободной границей Г₀, которые возникают при рассмотрении стационарной задачи без конвекции с теми же условиями из (1) при Rе = 0.

Задача (1) моделирует процесс кристаллизации металла при электрошлаковом переплаве с учетом конвективного переноса тепла, реально присутствующем в жидкой фазе. Наконец, разрешимость класса задач типа (1) в пространстве изложена в [1].

Приближенные решения задачи (1). Введем криволинейные координаты ω = (ω₁, ω₂) для точек поверхности Г₀ и будем искать поверхность Г_t в следующем виде: , где ρ(ω, t) – функция класса – нормаль к Г₀, направленная внутрь Ω₀⁺, x(ω) ∈ Г₀ [2, 3].

Предположим, что решения задачи (1) можно разложить в ряд по степеням Re: , .
Справедливы утверждения.

Лемма. Пусть выполнены условия: ∇²A^±(x) = 0, x ∈  Ω₀^±, , и k_–|∇A^–(x)| = k₊|∇A⁺(x)| на Г₀. Тогда в качестве нулевого приближения u₀^±(x) можно взять функции A^±(x), а свободная поверхность Г₀ принадлежит классу C^∞ каждой точке, лежащей внутри цилиндра Ω.

Теорема. Пусть выполнены условия леммы и пусть справедливы соотношения: ∇p₀(x) = 0, ∇p₁(x, 0) = 0, x ∈ Г₀ и c(k₊ + k_–)T/k < 1 где с – некоторая постоянная [4, с.364], тогда существуют первые приближения u₁^±(x, t), , p₁(ω, t) и u₂^±(x, t),, p₂(ω, t) задачи (1), причем функции u₁^±(x, t) и u₁^±(x, t) принадлежат классу , а ρ₁(ω, t) и ρ₂(ω, t) – . И кроме того при малых числах Rе и достаточно малых значениях t справедлива формула Г_t:

Нечеткое управление процессом кристаллизации. Пусть u* – температура, которую должна достичь поверхность ∂Ω = Г∪H. Данная задача возникает в спецметаллургии при отделении выплавленного слитка от стенок кристаллизатора [5]. Эта температура достигается за счет воздействия тепловых потоков мощности w₁, w₂, w₃, причем поток w₃ равномерно распределен в центре H, а два других потока w₁, w₂ сконцентрированы по краям Г∪H. Далее предлагается метод нечеткого управления в данном классе задач.

Пусть X₁, X₂, ...X_n – факторы, влияющие на процесс кристаллизации, а Y₁, Y₂, ...Y_n – условия, при которых происходит появление нового слитка. Тогда нечеткое управление в нашей задаче представляется в виде функционального отображения: X = {X₁, X₂, ...X_n} → Y = {Y₁, Y₂, ...Y_n}.

Ради простоты, в качестве терм-множества лингвистических переменных x₁, x₂, x₃, где x₁ = {"температура"}, x₂ = {"способ нагрева"}, x₃ = {"слиток металла"} будем использовать множества: T = {"минимальная", "средняя", "максимальная"}, W = {"минимальный", "средний", "максимальный"}, L = {"минимальный", "средний", "максимальный"}.

Таким образом, имеем: x = {x₁, x₂, x₃}→y ∈[α,β], где α и β – некоторые числа (они выбираются таким образом, чтобы произошло отделение слитка от стенок кристаллизатора [5]), а для выходной лингвистической переменной У (температура поверхности слитка) будет использоваться терм-множество Q = {"минимальная", "средняя", "максимальная"}. Для численной реализации задачи использовались следующие значения параметров [5]): 400мм ≤ L ≤ 6000мм, 2500МБт/м2 ≤ W ≤ 5000МВт/м2. Численный расчет, позволяющий построить графически нечеткое управление, был осуществлен с помощью стандартного алгоритма Мамдани.

Замечания. Приближенное решения класса задач типа (1) изложено в [6] и [7].

Литература

1. Шевченко А.И., Миненко А.С. Методы исследования нелинейных моделей, – Киев: Наук.думка, 2012. – 132 с.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей / Миненко А.С. – Киев : Наукова думка, 2005. – 341 с.
3. Шевченко А.И., Миненко А.С. Задача Стефана при наличии конвекции // Доп. НАН України. – 2012. – № 1. – С. 25–29.
4. Ладыженская О.А., Салонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – Москва: Наука, 1967 – 756 с.
5. Патон Б.Е. Избранные труды. – Киев: Институт электросварки им.Е.О.Патона НАН Украины, 2008. – 893 с.
6. Шевченко А.И., Миненко А.С. Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана// Доп. НАН України. – 2010. – № 5. – С. 36–40.
7. Шевченко А.И., Миненко А.С., Золотухина О.А. Численный анализ одной нелинейной математической модели // Доп. НАН України. – 2012. – № 9. – С. 44–47.