Автор: Складчиков В.О., Дмитрієва О.А.
Источник: Автоматизація та комп’ютерно–інтегровані технології – 2014 // Матеріали I міжнародної науково–практичної конференції молодих учених, аспірантів і студентів – Київ, КПІ – 2014, с. 99–101.
Сучасний стан розробок і досліджень в області математичного моделювання відзначається широким застосуванням паралельних обчислювальних систем. Стрімкий розвиток паралельного моделювання стимулюється необхідністю розв’язання проблем моделювання складних динамічних об’єктів, описуваних системами звичайних диференційних рівнянь (СЗДР), що характеризуються високими розмірностями, жорсткістю, поганою обумовленістю, обліком великої кількості параметрів [1] .
Не зважаючи на те, що на сучасному стані розвитку технічного прогресу існує багато високопродуктивних обчислюваних систем, є багато задач, в яких гостро відчувається проблема нестачі обчислювальних ресурсів, при тому, що сучасні високопродуктивні кластери перебороли рубіж у петафлопс, а кількість ядер, що нараховують такі системи, десятків і сотень тисяч. Ефективність паралельних додатків на подібних системах за різними оцінками не перевищує 15%, а в деяких випадках або навіть 3–5% від пікової продуктивності [2].
Предметом дослідження є паралельні чисельні методи моделювання динамічних об'єктів великої розмірності із зосередженими параметрами, орієнтовані на розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь, які забезпечують підвищення ефективності функціонування паралельних обчислювальних систем. На протязі багатьох років чисельний розв‘язок задачі Коші був об‘єктом пильної уваги науковців, оскільки він широко застосовується в різних галузях науки і техніки. Тому і кількість розроблених для нього методів дуже велика. Одним із важливіших чисельних методів розв’язання задач Коши є екстраполяційні методи Річардсона, які призначені для отримання високоточного розв'язання задачі Коші і інтеграції систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР) із складними правими частинами. Практичне застосування екстраполяційних методів ускладнене у зв'язку з великою обчислювальною складністю їх послідовних реалізацій. Крім того, використання технології локальної екстраполяції на основі явних опорних схем обмежує використання методів областю нежорстких задач. Тому побудова ефективних паралельних блокових неявних методів локальної екстраполяції Річардсона – один з найбільш реальних способів скорочення часу інтеграції багатовимірних жорстких початкових задач.
Розв’язання задачі Коши для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
розглядається при переході з точки Xn в точку Xn = Xn+H, де H – базова довжина шагу. За рекурентними співвідношеннями визначають значення для довільних i, j за схемою локальної поліноміальної екстраполяції Эйткена–Невіла.
Існуює декілька варіантів обчислень елементів екстраполяційної таблиці Эйткена–Невіла. Перший полягає у обмеженні розмірності СЗДР, тобто кожен процесор групи передає відповідному процесору сусідньої групи усі компоненти свого вектору апроксимації розв’язання. Другий варіант полягає в наступному: в кожній групі процесорів рівно один процесор відповідатиме за передачу даних між групами.
З двох розглянутих варіантів отримання екстраполяційної таблиці, саме другої підходить для пропорційного розбиття процесорів, оскільки не вимагає додаткового сортування даних із–за нерівномірності їх розподілу. У загальному вигляді проблема розбиття процесорного поля на групи, що забезпечують оптимальне розв’язання задачі балансування завантаження багатопроцесорної системи сформульована в термінах комбінаторної оптимізації. Точне розв’язання задач цього класу за прийнятний час неможливе, оскільки задача являється NP–складною, тому пропонуються близькі до оптимального раціональні розв’язання наближеними евристичними методами.
Розглянуто підходи до паралельної реалізації методів розв’язання багатовимірних задач Коші, удосконалено паралельний екстраполяційний алгоритм, покращення якого полягає в розширенні можливостей розгалуження алгоритму, підвищення його показників прискорення та ефективності. Також біли проаналізовані результати, що були отримані під час проведення експерименті, на їх ґрунті визначено певні залежності, що можуть бути корисними для подальшого розвитку паралельних екстраполяційних методів розв’язання СЗДР.