ТЕЗИСЫ К ДОКЛАДУ ПО МАТЕМАТИКЕ. ПАУТИНООБРАЗНЫЕ МОДЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РЫНОЧНЫХ ЦЕН

При рассмотрении паутинообразной модели для моделирования динамики рыночных цен важно ввести некоторые допущения. Для этой модели требуется построить функцию предложения, которая, если допустить, что имеется один продукт, может изменяться только его цена, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на данный товар остаются неизменными, зависимостью предложения Q от цены p. Особенностью данной функции предложения является то, что для многих видов товаров она монотонно возрастает (S’(p)>0). Рост предложения при увеличении цены можно объяснить тем, что увеличивается оптимальный объем выпуска товара предприятием при увеличении его цены, а так же тем, что для производства высокорентабельного товара в отрасль включаются новые предприятия. При этом на плоскости Q·p кривая предложения задается уравнением p=MC(Q) и представляет собой геометрическое место точек минимумов линий постоянной прибыли. Следующая используемая функция — это функция спроса. В случае, когда потребитель предъявляет спрос на определенный товар, исходя из своих предпочтений и бюджетных ограничений. Причем если может изменяться только цена товара, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на него, остаются неизменными. Характерная особенность этой функции — ее монотонное убывание для многих видов товаров, при этом ее график представляет собой геометрическое место точек на плоскости Q·p, в которых цена принимает максимально возможное значение на линиях постоянной полезности. Функции спроса и предложения являются основными составляющими модели рынка товаров, поскольку они — по предположению — представляют собой решения оптимизационных задач, которые возникают перед участниками («покупателями» и «товаропроизводителями»). Пересечение графиков спроса и предложения происходит в точке равновесия, а соответствующая этой точке цена p=pe называется равновесной. При установлении на рынке совершенной конкуренции равновесной цены объем товаров, предлагаемый товаропроизводителем и доставляющий ему максимум прибыли по данной цене, в точности равен спросу потребителя. Динамические неравновесные модели рынка используются для анализа изменения переменных (цена, спрос, предложение) во времени в случае, когда цена в начальный момент отличается от равновесной. При этом процесс установления равновесной цены может быть описан различными моделями при использовании одних и тех же функций спроса и предложения. Различают два подхода — непрерывный, в котором динамика цен описывается дифференциальным уравнением «dp/dt = a(D(P)-S(p)» и дискретный, когда переменные на промежутке времени [t,t+1) принимаются неизменными. В последнем случае последовательным интервалам времени [t,t+1) соответствуют значения цены p_t, спроса D_t и предложения S_t. В зависимости от используемых гипотез в дискретной модели динамики цен происходит либо запаздывание предложения — в этом случае приходим к процессу «S(P_t+1)=D(P_t)» либо запаздывание спроса — в этом случае получаем процесс «D(P_t+1)=S(P_t)» Здесь предполагается, что функции предложения и спроса удовлетворяют следующим условиям: «S’(P)>0, D’(P)<0.». В обоих случаях на плоскости Q·p соответствующий итерационный процесс изображается в виде паутины, которая «намотана» на кривые спроса и предложения. Это дало основание для общего названия дискретных динамических моделей.

Паутинообразная модель с запаздыванием спроса. Эта модель — одна из исторически первых динамических моделей рынка, отражающих поведение участников. Она служит хорошей иллюстрацией применения метода моделирования при анализе экономических процессов. Значение модели А определяется еще и тем, что многие современные модели динамики цен, а также динамические модели макроэкономики приводят к «паутинообразному» процессу. Рассмотрим гипотезы, которые лежат в основе этой модели. Принятое в модели А взаимодействие подсистем «потребитель», «товаропроизводитель» и «рынок». Использование монотонных функций спроса и предложения позволяет построить последовательность цен P_t, где t — номер шага во времени. Для ответа на вопрос, всегда ли в данной модели итерационный процесс (4) приводит к равновесию, рассмотрим случай, когда функции спроса и предложения линейно зависят от цены. «D(P)=Q_e-d(P-p_e), S(P)=Q_e+s(P-p_e)». Это значит, что числовая последовательность yt=P_t-p_e, которая определяет отклонение текущей цены от равновесной, представляет собой знакочередующуюся геометрическую прогрессию «y_t+1=qy_t» со знаменателем q = -s/d. Поэтому при s<d последовательность yt стремится к нулю, что означает достижение в конце концов равновесия на рынке. При s>d последовательность yt неограниченно возрастает и амплитуда колебаний цен увеличивается. При s=d последовательность yt последовательно принимает равные по абсолютной величине значения. Как видим, характер динамики цен зависит в данной модели от отношения угловых коэффициентов функций спроса и предложения. Поэтому теоретически равновесное положение паутинообразной модели может быть и неустойчивым.

Паутинообразная модель с запаздыванием предложения. Это – паутинообразная модель, в которой предполагается, что производитель, планируя объемы производства, ориентируется на цены предыдущего периода. В основе модели лежат следующие гипотезы (модель В):

Гипотеза 1. При определении объема предложения в каждый период времени товаропроизводитель ориентируется на спрос в предыдущий период. Эта гипотеза приводит к росту (снижению) предложения в случае, когда спрос больше (меньше) предложения.

Гипотеза 2. Цена предлагаемого товара устанавливается товаропроизводителем на уровне, определяемом в соответствии с функцией предложения. Здесь товаропроизводитель действует формально: он знает, что кривая предложения в некотором смысле оптимальна. Поэтому он полагает, что при определении уровня цен с помощью функции предложения предлагаемый объем товара будет оптимальным.

Гипотеза 3. Объем потребления не может превосходить ни объема предложения, ни объема спроса.

Эта гипотеза означает, что если предложение меньше спроса, то потребление равно предложению. Если же спрос меньше предложения (т.е. имеет место избыточное предложение товара), то потребление равно спросу, а непроданный товар приводит к затовариванию. Таким образом в данной модели связь между потреблением Ct, спросом Dt и предложением St в каждый период времени t можно представить в виде:

C_t = min(S_t,D_t)

Последнее равенство и дает основание называть данную паутинообразную модель «моделью с запаздыванием спроса». На графике спроса и предложения паутинообразная модель с запаздыванием предложения выглядит как спираль, закручивающаяся по часовой стрелке. Можно увидеть, что в паутинообразной модели размер цены совершает колебания вокруг равновесной цены. Колебания могут носить затухающий, равномерный или же нарастающий (взрывной) характер. В первом случае цена постепенно приближается к равновесному уровню, во втором – бесконечно повторяет одни и те же циклы, не приближаясь и не удаляясь от точки равновесия, в третьем – постепенно удаляется от равновесного уровня.

Подчеркнем, что гипотеза (1), выражающая реакцию производителя на несоответствие спроса D_t предложению S_t, и гипотеза (2) определяют модель предложения товаров. Рассуждая формально, приходим к следующему. При заданных S₁ и P₁, удовлетворяющих условию S₁=S(P₁), определяется спрос D₁, после чего для объема потребления получаем C₁=min(S₁,D₁). В случае дисбаланса между спросом S₁ и предложением D₁ товаропроизводитель предлагает в следующий момент времени товар в объеме S₂=D₁, который он рассчитывает продать по цене P₂, определяемой из условия S₂=S(P₂), Далее процесс повторяется; графически его удобно представить в виде динамической спирали Отметим, что в модели В, в отличие от модели А, динамическая спираль «наматывается» уже против часовой стрелки. Таким образом, изменение гипотез о поведении потребителя и товаропроизводителя привело к изменению направления движения по спирали на противоположное. Поэтому в модели В при линейных функциях спроса и предложения (5) колебания цен затухают и на рынке достигается равновесие при s>d. Если же s<d, то в этом случае колебания цен увеличиваются, а при s=d, как и в модели А, происходит колебание цен с постоянной амплитудой. Как видим, изменение гипотез модели А привело не только к смене направления «наматывая» спирали, но, следовательно, и к изменению условия сходимости итерационного процесса на противоположное. Итак, если итерационный процесс динамики цен в одной из рассмотренных моделей (А или В) сходится, то в другой — расходится.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении рассмотрим вопрос о соответствии моделей А и В реальному процессу потребления товаров. Сравнение основных допущений удобно провести, сведя их в табл.1

Таблица 1 - Сравнение основных допущений

Как видим, обе рассмотренные модели рынка одного товара уязвимы, поскольку они достаточно просты и не учитывают многих факторов, способствующих установлению равновесной цены.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов, м.: Изограф, 2000-216с.

2. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа. – М.: Финансы и статистика, 2002.-288с.

3. Рябушкин Б.Т. Основы экономико-математического моделирования, М.: Финстатинформ, 2004-321с.