Department of Geodesy and Surveying, Aristotle University of Thessaloniki University Box 440, Thessaloniki, GR-54124, Greece, Email: kotsaki@topo.auth.gr
Источник: Электронный архив "ISG Международная служба по геоида"
Оценка наименьших квадратов (LS) – стандартный инструмент для оптимальной обработки геодезических данных. В структуре из глобального моделирования области силы тяжести. Часто, в геодезических заявлениях дополнительные параметры неприятности должны быть включены в процедура регулирования наименьших квадратов, чтобы составлять внешние уклоны и беспорядки, которые затронули доступные измерения. Цель этой бумаги состоит в том, чтобы выставить компромисс, который существует в инверсии LS из линейных моделей, которые увеличены дополнительными параметрами в присутствии неизвестных систематических ошибок в входные данные. Определенно, показано это, если линейная модель полного разряда расширена скалярным параметром на объясняющий общий уклон в данных,тогда точность оценки LS всех других образцовых параметров автоматически ухудшается. Некоторые простые числовые примеры также даны, чтобы продемонстрировать значение этого деградация точности в геодезической практике.
Оценка наименьших квадратов (LS) – стандартный инструмент для оптимальной обработки геодезических данных. Его использование обычно связывается с линейной (-ized) моделью уравнений наблюдения
y = Ax + v (1)
E {v} = 0, E{v(v^T)}=C (2)
где y – вектор наблюдений, v – вектор нулевых средних случайных ошибок с ковариацией (Резюме) матрица C, A является матрицей известных коэффициентов, и x – вектор параметра, который должен быть оцененный от данных данных. Несмотря на его упрощенный линейный характер и его врожденное ограничение для совокупный шум, вышеупомянутая модель часто используется в каждой области геодезического исследования (например, Dermanis и Rummel 2000).
Проблемой, с которой часто сталкиваются в геодезическом анализе данных с вышеупомянутой общей моделью, является присутствие внешних беспорядков (уклоны) в доступных измерениях. В случаях, где эффект таких беспорядков может быть определен априорно с достаточно высокой точностью (т.е. с неуверенностью, которая значительно ниже, чем уровень шума данных), оригинальные измерения y должны быть заменены 'исправленным' набором, который совместим с теоретическим модель Eqs. (1) и (2). Если с другой стороны величина внешних уклонов абсолютно неизвестна (или, по крайней мере, малоизвестна), то модель Eq. (1) должен быть увеличен дополнительными параметрическими условиями, которые описывают систематические эффекты во входных данных. Интегрированная процедура оценки LS может тогда привести к оптимальным оценкам для оригинальных образцовых параметров x и дополнительных связанных с уклоном параметров, которые будут включены в процесс регулирования данных.
Моделирование уклона и устранение были темой непрерывного исследовательского интереса к геодезии, и теоретиками и практиками. Обширное обсуждение, связанное главным образом с математическими деталями лечения уклона в геодезическом анализе данных, дано в Kukuča (1987). Некоторые интересные аспекты из теории устранения параметра неприятности в моделях регулирования LS могут быть найдены в Schaffrin и Grafarend (1986). Сравнение разных подходов для контакта с систематическими эффектами, которые являются результатом интеграции разнородных геодезических наборов данных, дано в Schaffrin и Baki-Iz (2001). Проблему моделирования уклона и устранения также рассматривали в структуре различных особых областей геодезического исследования, включая гравиметрическую обработку данных (например, Kubáčková и 1993 Kubáček, Harnisch 1993), altimetric обработка данных (например, Чернинг и Кнудсен 1986, Гэспэр и др. 1994), обработка данных GPS (например, Satirapod и др. 2003, Цзя и др. 2000) и глобальная область силы тяжести, моделирующая (например, Lerch 1991).
Мотивированный фактом, что большинство геодезических наблюдений несут при сложных физических условиях, которые не соответствуют точно стандартным математическим моделям, которые мы часто используем для их анализа, цель этой бумаги состоит в том, чтобы выставить важный компромисс, который существует в инверсии LS линейных моделей, которые увеличены дополнительным (неприятность) параметры в присутствии неизвестных систематических ошибок во входных данных. В частности показано что, если линейная модель полного разряда расширена единственным скалярным параметром, чтобы составлять общий уклон в данных, то точность оценки LS всех других образцовых параметров автоматически ухудшается. Два различных случая рассматривают в этом исследовании, завися, или некоторые или все наблюдения затронуты общим неизвестным уклоном. Некоторые числовые примеры также даны, чтобы продемонстрировать значение этой деградации точности в геодезической практике.
В этой секции мы исследуем результаты, полученные из инверсии LS трех различных моделей для линейной (-ized) системы уравнений наблюдения. Определенно, мы изучаем случаи, где ни один, все или некоторые входные измерения затронуты общим неизвестным уклоном.
Это – архитипичный случай, формулировка которого и описание были уже даны в предыдущей секции; посмотрите Eqs. (1) и (2). Ради экономики в нашем обсуждении мы предположим, что у матрицы дизайна A есть полный разряд колонки и что матрица резюме C полностью известна. В таком случае, инверсии LS системы уравнений наблюдения в Eq. (1) приводит к известному оптимальному решению
x=(A^T*C^–1*A)^–1*A^T*C^–1*y (3)
Качество вышеупомянутой объективной оценки обычно описывается ее связанной матрицей резюме
Cx=A^T*C^–1*A^–1 (4)
чьи диагональные элементы дают меру статистической точности для предполагаемых образцовых параметров.
В присутствии общего неизвестного уклона в измерениях y, функциональной модели Eq. (1) должен быть изменен следующим образом
y=Ax+bs+v (5)
где скалярный параметр, который описывает систематическое погашение во входных данных, и s соответствует вектору со всеми своими ценностями, равными одной, s=[1..1]^T. Шум данных v следует за тем же самым стохастическим поведением как в случае простой модели с несмещенными данными.
Предполагая, что у разделенной матрицы [A s]есть полный разряд колонки, инверсия LS увеличенной системы в Eq. (5) приводит к следующим оптимальным оценкам для оригинальных образцовых параметров x и параметра уклона b
b=ks^T*C*–1(y–Ax^b) (6)
X=X^b–bq (7)
где вспомогательные количества x^b,q, и определены выражениями
x^b=(A^TC^–1A)^–1A^TC^–1y (8)
q=(A^TC^–1A)^–1A^TC^–1s (9)
Обратите внимание на то, что термин соответствует оценке LS, что мы получили бы, если бы мы проигнорировали присутствие уклона во входных данных.Применение (co-) закон о распространении различия беспристрастным оценщикам Eqs. (6) и (7), мы получаем матрицу резюме предполагаемого вектора параметра x
Cx=(A^TC^–1A)^–1+kqq^T (11)
Полезное обобщение результатов, данных в предыдущей секции, получено, если мы принимаем это только часть данных затронута общим неизвестным уклоном. В этом случае, стандартная модель Eq. (1) должен быть изменен следующим образом
Полный вектор данных y теперь разделен в два подмножества,y1 и y2, тогда как подматрицы A1 и A2 обеспечивают соответствующее разделение для матрицы А дизайна начальной модели в Eq. (1). Только первая группа измерений затронута общим неизвестным уклоном, который обозначен снова скалярным параметром b. Символ s обозначает вектор, тогда как 0 ноль вектор. Наконец, подвекторы v1 и v2 содержат случайные ошибки двух соответствующих данных подмножества, со следующими стохастическими особенностями
Для простоты мы принимаем нулевую поперечную корреляцию в шуме данных между двумя группами измерения. Предположение также, что увеличенная модель Eq. (13) имеет полный разряд, его инверсию LS приводит к следующему оптимальному решению
где вспомогательные количества p и λ определены уравнениями
Вспомогательный термин x^b был уже определен в Eq. (8). Применение (co-) распространение различия закон беспристрастным оценщикам Eqs. (16) и (17), мы получаем матрицу резюме для предполагаемого вектор параметра x^
и также различие предполагаемого параметра уклона β
Все предыдущие формулы могут легко быть проверены при помощи стандартных правил матричного исчисления. Резюме обсуждение работы оценки, которая достигнута, используя каждый из предыдущих трех модели следуют в следующей секции.
Сравнивая следствия Eqs. (4), (11), замечено, что точность предполагаемых параметров x становится хуже, когда сверхпараметризовавшая модель используется для регулирования LS входных данных. Действительно, в случаях, где предубежденные измерения обработаны с увеличенной линейной моделью, матрицей резюме “увеличений” суммой (или), относительно результата, полученного из регулирования LS с несмещенными данными. Так как скалярные количества kqq^T положительные, диагональные элементы в Eqs. (11) всегда будет больше, чем соответствующие элементы C в Eq. (4).
Можно таким образом прийти к заключению, что присутствие дополнительного параметра уклона в линейной модели вызывает полную деградацию в точности оценки LS для остальной части образцовых параметров. Обратите внимание на то, что уровень шума, как предполагается, является тем же самым в случаях непредубежденных и смещенных данных.
Кроме того, интересно указать, что степень сокращения точности абсолютно независима от величины уклона, который затронул входные данные. Это очевидно из факта, что условия k и не зависят от kqq^T. Следовательно, любой постоянный уклон данных (независимо от того, насколько маленький или большой его истинное значение действительно), который принят во внимание, добавив дополнительный параметр в пределах структуры регулирования LS, вызовет ту же самую деградацию на точности оценки для остальной части образцовых параметров.
Два простых примера даны в этой секции, чтобы продемонстрировать практическое значение теоретических результатов, которые были ранее обсуждены.
Первый пример относится к регулированию LS моделируемой сети силы тяжести, как показано в рисунке 1. observables состоят из восьми различий в силе тяжести, которые определены явно в Таблице 1, наряду с их соответствующей точностью. Обратите внимание на то, что все наблюдения считают некоррелироваными в этом примере.
Рисунок 1 – Моделируемая сеть силы тяжести.
Таблица 1. Моделируемые наблюдения, наряду с их соответствующей точностью, для сети силы тяжести рисунка 1.
Принятие известной силы тяжести оценивает за пункт 1, который считается фиксированным в целях определения данной величины, неизвестный вектор параметра x в сетевом регулировании включает абсолютные ценности силы тяжести gi для четырех других сетевых пунктов. Используя информацию, предоставленную в Таблице 1, матрица Cx^ обзора предполагаемых параметров, для случая несмещенных данных, может быть вычислена из Eq. (4). Результат
Если общий неизвестный уклон, как предполагается, существует во всех наблюдениях, то расширенная модель Eq. (5) должен использоваться для регулирования сети LS. В этом случае матрица Сх^ обзора для предполагаемых ценностей силы тяжести получена из Eq. (11), который приводит к результату
тогда как стандартное отклонение предполагаемого параметра уклона согласно Eq. (12)
Таблица 2. Стандартное отклонение для предполагаемой силы тяжести оценивает в сети рисунка 1.
Сравнивая диагональные элементы от матриц резюме в Eqs. (22) и (23), можно вывести, что среднее ухудшение приблизительно 4.2 μgal в точности предполагаемых ценностей силы тяжести происходит, когда увеличенная модель используется. Фактическое уменьшение в точности оценки для каждой отдельной стоимости силы тяжести аналитически показывают в Таблице 2.
Для нашего второго примера мы рассматриваем определение абсолютной силы тяжести посредством повторных наблюдений за свободно падающей массой m в определенный момент P (см. рисунок 2).
Рисунок 2. Эксперимент свободного падения для абсолютного определения силы тяжести.
Принимая гомогенную область силы тяжести в области эксперимента, у нас есть следующее известное уравнение
который описывает ньютоново движение испытательной массы. Количества x0 и u0 обозначают известное начальное положение и скорость, xi наблюдаемое вертикальное положение испытательной массы в это время момент, ti и g соответствует ускорению силы тяжести в наблюдательном посте.
Модель Eq. (25) обеспечивает основное уравнение наблюдения, которое мы можем использовать, чтобы решить, что сила тяжести оценивает g через регулирование LS многократных повторных измерений {xi} вертикального положения испытательной массы. Для простоты мы предполагаем, что (ti), временные стоимости t известны без любой ошибки, и (ii) начальные условия, таковы что x0=0 и u0=0.
Наш моделируемый эксперимент состоит из двадцати пяти различных снижений испытательной массы. Зарегистрированные времена ti показывают в Таблице 3, наряду с соответствующей точностью для каждого из наблюдаемых положений xi. Используя информацию из Таблицы 3, мы можем легко построить матрицу дизайна A и матрицу CV шума данных C для основной проблемы регулирования. Стандартное отклонение предполагаемой стоимости силы тяжести тогда вычислено общей формулой Eq. (4), который приводит к результату
Таблица 3. Точность моделируемых наблюдений и соответствующих временных интервалов для свободно падающего массового эксперимента.
В случае, где общий неизвестный уклон существует во всех доступных наблюдениях xi, следующая расширенная модель должна использоваться для оптимального определения ускорения силы тяжести g
где β соответствует общему уклону в измерениях. Стандартное отклонение LS оценило, что ускорение силы тяжести теперь вычислено из общей формулы Eq. (11), который дает результат
тогда как стандартное отклонение оценки уклона, согласно Eq. (12),
От числовых результатов, данных в Eqs. (26) и (28), очевидно, что стандартное отклонение предполагаемого ускорения силы тяжести g увеличивается на почти фактор 20, когда единственный параметр уклона включен в модель регулирования LS для повторных наблюдений {xi}!
Устранение общего неизвестного уклона от ряда геодезических измерений может быть достигнуто, расширив классическую линейную модель y=Ax+v дополнительным скалярным параметром, который описывает систематическое погашение в значениях данных. Таким образом оптимальные объективные оценки для образцовых параметров x могут быть получены, используя стандартный критерий оценки LS с набором смещенных данных.
Тем не менее, как это было объяснено в этой газете, статистическая точность предполагаемых образцовых параметров всегда будет хуже, когда дополнительный параметр уклона будет включен в процесс регулирования LS. Geodesists должен знать об этом важном компромиссе, с тех пор во многих заявлениях теоретические модели часто должны увеличиваться с дополнительными параметрами x неприятности, чтобы объяснить внешние беспорядки в наблюдениях.
1. Dermanis A, Rummel R (2000) Data analysis methods in geodesy. In A. Dermanis, A. Gruen and F. Sanso (eds) Geomatic Methods for the Analysis of Data in Earth Sciences. Lecture Notes in Earth Sciences Series, 95: 17–92, Springer Verlag, Berlin Heidelberg.
2.Gaspar P, Ogor F, Le Traon P–Y, Zanife O–Z (1994) Estimating the sea state bias of the TOPEX and POSEIDON altimeters from crossover differences. J Geoph Res, 99(C12): 24,981–24,994.
3.Harnisch G (1993) Systematic errors affecting the accuracy of high precision gravity measurements. IAG Symposia, vol. 112, Springer–Verlag, Berlin Heidelberg, pp. 200–204.
4.Jia M, Tsakiri M, Stewart M (2000) Mitigating multipath errors using semi–parametric models for high precision static positioning. IAG Symposia, vol. 121, Springer–Verlag, Berlin Heidelberg, pp. 393–398.
5.Kubáčková L, Kubáček L (1993) A group of gravimeters, stochastical problems and their solution. IAG Symposia, vol. 112, Springer–Verlag, Berlin Heidelberg, pp. 275–278.
6.Kukuča J (1987) Systematic influences and their elimination. In: Kubáčková L, Kubáček L and Kukuča J: Probability and statistics in geodesy and geophysics. Elsevier, Amsterdam, pp. 257–289.
7.Lerch FJ (1991) Optimum data weighting and error calibration for estimation of gravitational parameters. Bull Geod, 65: 44–52.
8.Satirapod C, Wang J, Rizos C (2003) Comparing different global positioning system data processing techniques for modeling residual systematic errors. J Surv Eng, 129(4): 129–135.