Глава 4 – Рассеяние загрязнителей в атмосфере

4.3 Гауссово, или нормальное, распределение

В разделе 4.4 мы рассмотрим модель, позволяющую оценивать концентрацию газообразных загрязнителей на различных удалениях в направлении ветра от источника. Хотя существует несколько основных подходов к этой проблеме, обычно для получения поддающегося математической обработке решения в любом случае необходим ряд упрощающих предположений. В итоге все эти теории сводятся к одной и той же функции распределения концентрации загрязнителя – гауссова распределения. Чтобы оценить значение этого типа функции распределения применительно к загрязнению атмосферы, полезно рассмотреть некоторые общие характеристики гауссова, или нормального, распределения.

Говорят, что переменная x нормально распределена, если выполняется следующее соотношение для функции плотности f(x):

где μ – любое действительное число и σ – любое действительное число больше нуля. Величина σ называется стандартным отклонением. Природу этой функции легче всего усвоить, обратившись к рис. 4.1. Значения f(x) задают высоту распределения над горизонтальной осью. Значение μ определяет положение максимального значения f(x) на оси x; кривая распределения симметрична относительно величины μ. Когда μ = 0, кривая симметрична относительно оси x = 0. Следовательно, μ просто сдвигает положение всей кривой относительно x = 0, как это показано для μ = –2 на рис.4.1.

Уравнение (4.3) представляет функцию нормального, или гауссова, распределения в нормированном виде. Это означает, что площадь, ограниченная кривой, равна единице. Роль σ сводится к расширению или сжатию колоколообразной кривой, хотя площадь под ней остается равной единице. Значение стандартного отклонения σ

Рисунок 4.1 – Гауссово, или нормальное, распределение для различных значений σ и μ

указывает положения точек перегиба на боковых ветвях кривой. Когда σ возрастает, как показано на рис. 4.1 для случая σ₂ > σ₁ (кривые, симметричные относительно x = 0), максимальное значение f(x) уменьшается, но заметно отличающиеся от нуля ординаты f(x) распределяются в более широком диапазоне вдоль оси x. Такая форма кривых понятна, если вспомнить, что площади под обеими кривыми, симметричными относительно x = 0, должны быть одинаковы. В общем случае около 68% площади под кривой находится в интервале между +σ и –σ, а около 95% – между ±2σ. Этот рост ширины функции распределения с увеличением σ имеет важный физический смысл при изучении рассеяния загрязнителей в атмосфере.

При рассмотрении уравнений атмосферной диффузии в различных ситуациях важно помнить роль μ и σ как характеристик положения и формы кривой гауссова распределения. Вообще говоря, эти уравнения для рассеяния загрязнителей будут иметь вид двойного гауссова распределения. Двойное гауссово распределение относительно двух координат, таких, как y и z, определяется простым перемножением двух гауссовых распределений по каждой из координатных осей. Следовательно,

где σ_y, σ_z, μ_y и μ_z имеют, по существу, тот же смысл, что и для простого гауссова распределения. Это выражение нам понадобится в следующем разделе.

4.4 Гауссова модель рассеяния

Математическая модель рассеяния загрязнителя в атмосфере должна по возможности точно описывать общее поведение струй от наземных или приподнятых над землей источников. Для отдельных точечных источников, таких, как труба, общее поведение струи можно схематично описать так, как показано, на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 – Модель рассеяния с виртуальным источником на эффективной высоте трубы H

Хотя струя начинается на высоте трубы h, она поднимается дополнительно на высоту Δh под действием подъемной силы горячих газов и момента количества движения газов, выбрасываемых из трубы вертикально со скоростью V_s. Следовательно, для практических целей струю удобно описывать так, как будто она вытекает из точечного источника с эквивалентной высотой H = h + Δh. Этот точечный источник также немного сдвинут в сторону, противоположную направлению распространения, от точки x = 0.

Одна из возможных моделей для ситуации, представленной на рис. 4.2, рассмотрена в приложении к этой главе. Она основана на массовой диффузии загрязнителя в направлениях y и z как элемента текучей среды, переносимого в направлении ветра (по оси x) со скоростью ветра u. Необходимые предположения для этой модели перечислены в приложении к этой главе. Коротко говоря, они включают квазистационарность, несущественность массовой диффузии в направлении оси x, повсеместное постоянство скорости ветра u и постоянство коэффициентов массовой диффузии D_x, D_y, D_z по соответствующим осям координат. Общим допущением также является пренебрежение расстоянием от эквивалентного источника до реального положения трубы. Следовательно, принимают, что точечные источник расположен в точке x = 0 и имеет высоту H.

В приложении к этой главе показано, что одним из подходящих представлений профиля концентрации в направлении ветра от точечного источнка является выражение

где K – произвольная константа, значение которой определяется граничными условиями конкретной задачи.

4.4.А. Точечный источник на уровне земли

Для точечного источника на уровне земли K можно выразить в виде

где Q – мощность источника выброса, т.е. масса, выбрасываемая в единицу времени. При подстановке (4.6) в (4.5) оказывается, что концентрация загрязнителя, выбрасываемого точечным источником, расположенным на уровне земли, приближенно описывается выражением

Это выражение имеет форму двойного гауссова (нормального) распределения, как и в ранее записанном уравнении (4.4). Поскольку для наземного источника максимальные концентрации в направлениях y и z будут располагаться вдоль центральной линии на уровне земли, значения μ_y и μ_z в уравнении (4.4) равны нулю. Следовательно, уравнение (4.4) преобразуется к виду

Удобно преобразовать (4.7) к форме, подобной написанному выше уравнению. Чтобы это стало возможным сделать, должны выполняться следующие тождества:

Подстановка (4.8) в (4.7) приводит к следующему выражению для концентрации в направлении ветра от точечного наземного источника:

Если уравнение (4.9) преобразовать так, чтобы его левая сторона была равна Cu/2Q, то его правая сторона будет идентична написанному выше выражению для f(y,z), которое представляет собой двойное гауссово распределение. Единицы, в которых выражается концентрация C газообразных веществ, определяется единицами, используемыми для выражения величин Q, u, σ_y и σ_z. В технической литературе σ_y и σ_z обычно выражаются в метрах, а u – в метрах в секунду. Если необходимо C выразить в микрограммах на кубический метр, то скорость выброса Q должна быть выражена в микрограммах в секунду. Если y и z принять равными нулю, то уравнение (4.9) упростится до

Это уравнение применимо для расчета приземной концентрации на центральной линии от точечного наземного источника.

Список использованной литературы

1. Prandtl L., Bericht uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz. ZAMM, Bd. V, s. 136, 1925.
2. Дюранд В.Ф., Аэродинамика, т. III, стр. 190. Оборонгиз, 1939.