Древнейшая задача на экстремум (задача Дидоны).

Аннотация

Т.С. Майлатова, О.А. Рудакова Древнейшая задача на экстремум (задача Дидоны).

Постановка задачи

Этот эпизод даёт повод задуматься над вопросом: сколько же земли можно окружить бычьей шкурой? Для того, чтобы правильно ответить на этот вопрос, нужно правильно математически поставить задачу. Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Эту задачу и называют задачей Дидоны или классической изопериметрической задачей. Изопериметрические фигуры – это фигуры, имеющие одинаковый периметр. Классической изопериметрической задаче посвящено значительное количество работ, например, работы Куранта и Роббинса, Крыжановского, Радемахера и Теплица.

Столько купили земли и дали ей имя Бирса, Сколько смогли окружить бычьей шкурой. ©Вергилий Энеида

Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой – круг. ©Пифагор

Введение

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят – оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

В математике исследование задач на максимум и минимум берет свое начало очень давно. Один из величайших поэтов Древнего Рима – Вергилий, в своём бессмертном творении «Энеида», повествует нам об одной интересной легенде, произошедшей в IXвеке до н.э. Давным-давно, финикийская царевна Дидона с небольшим отрядом преданных ей людей покинула родной город Тир, спасаясь от преследований своего брата тирана Пигмалиона. Ее корабли отправились на запад по Средиземному морю и плыли, пока Дидона не облюбовала удобное для поселения место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе. Изгнанница повела переговоры с местным предводителем Ярбом с просьбой выделить ей немного земли для постройки дома для себя и своей свиты. Ярб разрешил Дидоне построить дом, но занимать места он должен не более того, что ограничит воловья шкура... Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так на северном побережье Африки возникла крепость Бирса, что означает «шкура». Ярб понял хитрость и коварство финикиянки слишком поздно, но простодушный, и честный, не стал отказываться от данного слова. И вскоре у стен крепости раскинулся город Карфаген.

Основной материал

Решение частного случая задачи Дидоны, было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум. Напомним, что решения задачи на экстремум понимают так: дать ответ и доказать его экстремальное свойство. Но не будем чрезмерно углубляться в это и подойдем к данной задаче наивно, как подходили к ней древние (и как должна была на практике подойти к ней сама Дидона).

Сначала отмотаем от катушки кусочек нити, затем отрежем его и свяжем концами. Теперь положим эту связанную нить на лист бумаги. В результате получили плоскую замкнутую кривую. Если теперь вырезать кусок бумаги по контуру нити, то получим образ площади, охватываемой этой кривой. Эту площадь, соответственно, можно измерить. При этом измерение можно провести достаточно точно, если лист был листом миллиметровки. Теперь надо выяснить, как следует положить нить, чтобы она охватила наибольшую площадь. Установлено, что кривая, решающая классическую изопериметрическую задачу, – это окружность. Вместе с изопериметрическим свойством круга (т.е. свойством окружности охватывать наибольшую площадь среди изопериметрических фигур) античные геометры отмечали изопифанное свойство шара (т.е. свойство сферы охватывать наибольший объем среди изопифанных фигур – фигур, имеющих равную площадь поверхности). С этим свойством – наибольшей вместимости – связаны представления о круге и шаре как воплощении геометрического совершенства. Но кто же на самом деле (не считая Дидоны) решил классическую изопериметрическую задачу? Из огромного количества работ, посвященных изопериметрическому свойству кругу и изопифанному свойству шара, выделим монографию немецкого геометра В. Бляшке . Первые строгие доказательства максимального свойства круга и шара дал господин тайный советник из Берлина Герман Амандус Шварц. На самом деле Шварцу, а до него – Вейрштрассу и после него – самому Бляшке (как и многим другим математикам XIX и XX столетий) принадлежит лишь оформление идей своих далеких предшественников. Основные же пути решения изопериметрической задачи были абсолютно правильно намечены еще в античные времена.

Изопериметрические задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (III в. до н.э.-I в н.э.). Зенодор на современном уровне строгости доказал следующее утверждение.

если существует плоский n-угольник, имеющий наибольшую площадь среди всех n-угольников с заданным периметром, то он должен быть равносторонним и равноугольным.

Если ввести определение максимального n-угольника, как плоского n-угольника, имеющего наибольшую площадь среди всех изопериметрических с ним n-угольников, то, используя этот термин, теорему Зенодора можно сформулировать короче:

Максимальный n-угольник (если он существует) должен быть правильным.

Теорема Зенодора является следствием двух лемм.

Лемма 1: Максимальный n-угольник должен быть равносторонним.

Лемма 2: Максимальный n-угольник должен быть равноугольным.

Из леммы 1 вытекает, что максимальным треугольником является равносторонний и что максимальным четыреугольником должен быть ромб. Однако, на самом деле максимальный четырехугольник – квадрат.

Кроме того, в самой формулировке теоремы Зенодора есть фраза если максимальный n-угольник существует. Но существует ли максимальный n-угольник? Ведь не всякая функция имеет максимум. Например, функция f(x)=-(1+x2)-1 не достигает своего наибольшего значения. Но вопросы существования решений не были предметом рассмотрения древних авторов. Значение проблем существования и методы доказательства теорем существования были поняты примерно сто с лишним лет назад. Приведем следующее утверждение, которое Зенодор считал само собой разумеющимся.

Лемма 3. Максимальный n-угольник существует.

Таким образом, из лемм 1,2 и 3 следует теорема.

Теорема Зенодора. Максимальный n-угольник является правильным n-угольником.

Теперь приведем лемму, связывающую все понятия, участвующие в формулировке классической изопериметрической задачи, с понятием n-угольника. Она означает, что длину кривой и площадь, охватываемую ею, можно с любой степенью точности приблизить длиной и площадью n-угольника.

Лемма 4. Для любой замкнутой плоской кривой длины P*, охватывающей площадь S*, и для любого e>0 можно найти некоторый n-угольник, периметр P и площадь S которого удовлетворяют неравенствам | P – P *|<e, | S – S*|<e.

Подытоживая все сказанное выше, можно сформулировать следующий результат.

Теорема. Площадь, охватываемая любой замкнутой кривой данной длины, не превосходит площади круга, окружность которого имеет ту же длину.

Выводы

Таким образом, полное решение изопериметрической задачи получилось соединением двух геометрических лемм Зенодора и двух современных лемм 3 и 4. Заметим, что все необходимое для доказательства леммы 3 было заготовлено в трудах Вейерштрасса; понятиям длины кривой и площади, охватываемой кривой, было придано точное значение Жорданом и тем самым им были сделаны основные заготовки для доказательства леммы 4. Подробные доказательства лемм 3 и 4 приведены в книге В. Бляшке .

Список использованной литературы

1. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах / В.М. Тихомиров // Библиотечка Квант, вып. 56, М.: Наука, 1986.
2. Курант Р. Что такое математика / Р. Курант, Г. Роббинс. – М. –Л.: Гостехиздат, 1947.
3. Крыжановский Д.А. Изопериметры / Д.А. Крыжановский. – М. – Л.: ОНТИ, 1938.
4. Радемахер Г. Числа и фигуры / Г. Радемахер, О. Теплиц. – М.: Физматгиз, 1962.
5. Бляшке В. Круг и шар / В. Бляшке. – М.: Наука, 1968.
6. Бляшке В. Греческая и наглядная геометрия / В. Бляшке // В сб. Математическое просвещение. – М.: Физматгиз, 1958