Когда инженер или ученый строит количественную математическую модель системы практически любого рода, он обычно начинает с установления поведения бесконечно малого (дифференциального) ее элемента на основании предполагаемых соотношений между главными переменными, характеризующими систему. Это приводит к описанию системы при помощи дифференциальных уравнений. Как только построена основная модель и выяснены свойства конкретного дифференциального уравнения, дальнейшие усилия
направляются на получение решения уравнений в конкретной области, которая часто имеет очень сложную форму и состоит из различных сред, имеющих сложные свойства. На границах области задаются различные условия; они могут быть постоянными или меняться со временем и т.д. Поэтому не удивительно, что решение таких дифференциальных уравнений было основным делом аналитиков в течение более двух столетий.
Наличие нерегулярных грариц в большинстве практических задач не позволяет построить аналитическое решение дифференциальных уравнений, и численные методы стали единственным возможным средством получения достаточно точных и подробных результатов.
            Наиболее широко используемые в настоящее время численные методы рассматривают дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они были выведены, при помощи одного из двух подходов:

• при помощи аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях более простыми локализованными алгебраическими операторами, действующими в последовательностях узлов, находящихся в области;
• при помощи представления самой области элементами среды, не являющимися бесконечно малыми (т.е. конечными элементами), которые в совокупности аппроксимируют реальную систему.

            Метод конечных разностей - родоначальник первого подхода и до последних 30-35 лет, когда его стали заменять методами второго рода, он наиболее широко использовался. Методы конечных разностей привлекательны тем, что их в принципе можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений, но, к несчастью, учет граничных условий задачи очень часто является громоздкой и трудно программируемой операцией. Точность полученного численного решения полностью зависит от степени измельчения сетки,
определяющей узловые точки, и, следовательно, в процессе решения задачи всегда приходится иметь дело с системами алгебраических уравнений очень высокого порядка
            В настоящее время  наиболее популярным является иной подход, состоящий в возвращении к характерному для физики разбиению тела на элементы конечных размеров; чем больше эти элементы, тем лучше с точки зрения минимизации числа получающихся уравнений. Поведение каждого элемента приближенно воспроизводит поведение малой области тела, которую он представляет, но условие полной непрерывности между элементами налагается только в общем смысле (обычно в узлах), а не на всем протяжении границ тела (т.е. такие методы, в сущности, аппроксимируют тело и задают способ его
составления).
            Метод конечных элементов воплощает этот подход и в настоящее время достиг такого уровня развития, что многие часто сомневаются - может ли появиться хоть когда-нибудь равносильный метод, не говоря уже о лучшем. Диапазон применимости методов конечных элементов, их эффективность и сравнительная легкость, с которой могут быть учтены реальные граничные условия, действительно делают их весьма серьезными соперниками для любого конкурирующего метода. Самая слабая его сторона состоит в том,
что он по идее представляет собой схему дискретизации всего тела, а это неизбежно ведет к очень большому количеству конечных элементов, особенно в трехмерных задачах с удаленными границами, в пределах каждой их которых не все неизвестные переменные изменяются непрерывно.
 

            Очевидным альтернативным подходом к системе дифференциальных уравнений была бы попытка аналитически проинтегрировать их каким-нибудь способом или перед переходом к какой-либо системе дискретизации, или перед введением какой-либо аппроксимации. Какой бы метод ни использовали, чтобы найти решение, пытаются проинтегрировать дифференциальные уравнения, но сущность методов
граничных интегральных уравнений состоит в преобразовании дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений в качестве первого шага решения задачи. Такая операция (если она окажется успешной) даст систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области.
            Отсюда в свою очередь должно следовать, что любая схема дискретизации будет приводить лишь к разбиениям поверхности, ограничивающим область. Так и происходит; поэтому в любой однородной области требуется дискретизировать только поверхность, а не всю область (отсюда и название - метод граничных элементов), так, что область становится одним большим сложным "элементом" в смысле метода конечных элементов.
            Вывод граничных интегральных уравнений и их решение могут оказаться более сложными математически, чем прочие упомянутые выше методы. Это верно лишь отчасти, несмотря на то что методы граничных интегральных уравнений в прошлом развивались лишь математиками. Однако с практической точки зрения ситуация за последние два-три десятилетия улучшилась. Теперь доступны методы граничных элементов, развитые, по существу, на основе идей интегральных уравнений. Эти методы широко применимы без использования доказательств существования и единственности для каждого отдельного решения. В результате они становятся теперь чрезвычайно популярными и реализуются в алгоритмах для быстродействующих компьютерных систем.
 

            В то время как главные свойства дифференциальных уравнений были хорошо уяснены в XIX веке, первое строгое исследование интегральных уравнений классических видов было опубликовано Фредгольмом только в 1905г. С тех пор они интенсивно изучались и имеется много учебников, излагающих эти результаты.
            Значительный вклад в формальное понимание интегральных уравнений был сделан позднее С.Г. Михлиным.
            Несмотря на большие успехи, достигнутые в классификации и анализе свойств интегральных уравнений, оказалось, что никто из крупных авторов, по-видимому, не рассматривал возможности построения основанного на этих уравнениях общего численного алгоритма решения широкого класса практических задач. Толчок этому развитию был дан созданием быстродействующих ЭВМ, и результатом было появления метода граничных элементов.
            МГЭ был разработан в Саутгемптонском университете на основе проведенных там исследований по методам решения классических интегральных уравнений и конечным элементам.
 

            Хотя все МГЭ имеют общее происхождение, они естественным образом делятся на три различные, но тесно связанные между собой категории.

1. Прямой вариант МГЭ. В этом варианте неизвестные функции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными, имеющими физический смысл переменными задачи. Так, например, в задачах теории упругости такое решение интегрального уравнения должно сразу давать все усилия и смещения на границе, а внутри тела они должны быть получены из граничных значений численным интегрированием. Некоторые из разработанных алгоритмов, основанных на этом подходе. Описаны Крузом (Cruse T.A.), Лаша (Lachat J.C.), Риццо (Rizzo F.J.), Шоу (Shaw R.P.) Уотсоном (Watson J.O.) и другими и названы ими методами граничных интегральных уравнений.
2. Полупрямые варианты МГЭ. В качестве альтернативы можно составлять интегральные уравнения для неизвестных функций, аналогичных функциям напряжений в теории упругости. Когда получено решение для этих функций, простое дифференцирование даст, например, распределение внутренних напряжений. Этот подход, известный под названием полупрямого метода, был развит Генри (Henry A.S.), Джесуоном (Jaswon M.A.), Понтером (Ponter A.R.), Римом (Rim K.) и Симмом (Simm G.T.).
3. Непрямые варианты МГЭ. В непрямом варианте интегральные уравнения полностью выражаются через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенной с неизвестной плотностью по границам рассматриваемой области. Сами по себе функции плотности не имеют определенного физического смысла, но, когда они найдены (численным решением интегральных уравнений), значения параметров решения везде внутри тела могут быть получены из них простым интегрированием. Алгоритмы, основанные на таком подходе, описаны Бенерджи (Banerjee P.K.), Баттерфилдом (Butterfield R.), Хессом (Hess J.L.), Джесуоном (Jaswon M.A.),  Массоне (Massonnet C.E.), Оливейрой (Oliveira E.R.), Симмом (Simm G.T.), Томлином (Tomlin G.R.), Уотсоном (Watson J.O.) и другими, использовавшими их для решения широкого круга технических задач.

            В принципе эти методы могут быть применены к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений. В задачах, сводящихся к эллиптическим дифференциальным уравнениям, решения получаются сразу, в то время как для параболических и гиперболических систем уравнений должны быть введены процессы продвижения по времени.
            Таким образом, охватывается очень широкий класс физических задач; при помощи прямых или непрямых формулировок МГЭ могут быть решены, например, задачи об установившемся и неустановившемся потенциальных течениях, задачи статической и динамической теории упругости, упругопластичности, акустики и др.
            МГЭ может быть также использован в сочетании с другими численными методами (см. работы Зенкевича О.), такими, как методы конечных элементов или конечных разностей, т.е. в смешанных формулировках. Соответствующие комбинированные решения почти неограниченно расширяют область применения методов, ибо МГЭ обладает четко выраженными преимуществами для областей больших размеров, в то время как методы конечных элементов являются удобным средством включения в такие системы объектов конечного размера или уточнения поведения решения в зонах быстрого изменения свойств.