Метод конечных элементов

                Как правило, развитие новых областей знания проходит через три стадии. В течение первой стадии достижения в новой области отражаются на страницах периодических изданий и координируются время от времени редкими обзорными статьями. Практические приложения весьма редки. На второй стадии появляются
монографии, в которых активно работающие в данной области специалисты обстоятельно излагают состояние и перспективы дальнейшего развития области. Прикладные исследования становятся достоянием коллективов исследователей, располагающих передовой технологией и работающих в организациях, которые имеют значительные производственные возможности. Наконец, область приложения распространяется практически на все сферы деятельности, а в учебных заведениях предмет преподается как обычный академический курс.
                Конечно-элементный анализ лишь недавно вышел из второй стадии развития. Появился ряд монографий, приближающихся к традиционному учебному курсу и ориентированных на читателя, не знакомого с этой областью знания.

            Первые разработки метода конечных элементов (МКЭ) были выполнены в 50-х годах для решения задач сопротивления материалов. В 60-е годы математики получили строгие формулировки для этого метода, после чего он становится общим средством изучения задач в частных производных, понемногу вытесняя метод конечных разностей, который рассматривался в период своего апогея как универсальное средство решения
задач такого типа. После подробного математического его исследования оказалось, что при негладких входных данных задачи МКЭ часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости. Начиная с 1970 г. этот метод становится все более популярным среди инженеров всех специальностей благодаря работам Зинкевича, Галлагера, Одена, Лиона, Равьяра, Сильвестера.

            Кратко остановимся на связях и сравнении МКЭ с методом конечных разностей, этих наиболее распространенных и эффективных численных методов. Построение конечно-разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений, как правило, меньшего, чем в МКЭ. Однако достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т. д. Кроме того, математический анализ МКЭ является более простым, его методы применимы к более широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что основу для исследования МКЭ создали фундаментальные результаты, связанные с исследованием сходимости и устойчивости конечно-разностных схем, проекционных методов, обобщенных решений.
 

Теоретические основы метода конечных элементов

            Фундаментальный принцип МКЭ заключается в разбиении изучаемой области на элементарные области конечных размеров (конечные элементы). В каждом таком элементе неизвестная функция аппроксимируется полиномом, степень которого меняется в зависимости от аппроксимируется задачи, но остается обычно невысокой (от 1 до 6). Для каждого элемента аппроксимирующий полином определяется его коэффициентами. Коэффициенты могут быть определены значениями функции в частных точках, называемых узлами элемента. Если известна функция в каждом узле, то имеется возможность ее аппроксимации на всей области. Можно также сказать, что неизвестная функция A(x,y,z) зависит от M параметров A1, A2, ..., AM, являющихся неизвестными, которые функция принимает в каждом узле каждого элемента. Определение параметров A1, A2, ..., AM является этапом определения A(x,y,z).
            Зная вариационное представление задачи, заменяют тройной интеграл на сумму интегралов на каждом конечном элементе области:  , где Ne - число элементов разбиения и Fe - часть F на элементе с номером e. На каждом элементе с номером e функция A может быть заменена ее аппроксимацией A=P( , x, y, z), интегрирование которой дает F(A) в виде функции одних только
параметров   элемента e: Fe(A)=F( ). Суммируя, получают  , принимая во внимание, что некоторые из узлов 1, 2, ...,M являются общими для нескольких элементов и что вклад каждого элемента должен учитываться в выражении для функции F относительно величин A1, A2, ..., AM неизвестной функции в этих узлах, когда объединяют элементы для всей области.
            Отыскивается оптимум F по всей области, имея в виду, что частные производные F относительно величин A1, A2, ..., AM одновременно обращаются в нуль: , ... .
            Эта операция приводит к составлению системы из M уравнений с M неизвестными, которые определяют величины A1, A2, ..., AM в узлах разбиения. Правая часть этих уравнений получается, исходя из той части функционала, которая содержит в себе члены, характеризующие источники, или на основе значений А, заданных на границе области (неоднородные граничные условия Дирихле).
 

Численные методы

            Ниже приведены основные численные методы, необходимые для использования МКЭ. Более основательно эти методы рассмотрены в литературе. Здесь же для каждого из них представлены лишь принципы работы.
            Основными методами решения систем линейных уравнений вида АХ = В, получаемых при использовании МКЭ, являются следующие:
1) прямые методы:

2) итерационные методы: В модифицированном виде данные методы можно использовать для решения нелинейных систем методом Ньютона-Рафсона. Данный метод можно также использовать для улучшения результата, полученного при решении системы линейных алгебраических уравнений.

            При использовании МКЭ приходится вычислять определенные интегралы, когда на каждом элементе сети разбиения определяется элементарная матрица интегрированием на каждом элементе функционала, аппроксимируемого с помощью функций формы. Если же элементы криволинейны или задача нелинейна, аналитическое интегрирование становится невозможным и тогда приходится прибегать к численному интегрированию.
            Использование МКЭ приводит к вычислению определенных интегралов на отрезках прямых, дуг кривых или в некоторых областях. При интегрировании по области можно использовать интегрирование по каждому ее элементу, тогда для интегралов, упомянутых выше, необходимо использовать эффективные и точные методы численного интегрирования.
Основные методы численного интегрирования:

  1. метод Гаусса, широко используемый при интегрировании на элементах, но требующий вычисления в определенном числе точек. Этот метод имеет преимущества при вычислении на элементах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую точность;
  2. метод Ньютона-Котеса: позволяет вычислять интегралы только в точках, определенных пользователем, полезен для интегрирования на поверхностях, для которых расчет гауссовых координат является необходимым и где достаточно равномерного распределения точек.
            Применение МКЭ к задачам параболического типа приводит к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае применяют следующие методы:
  1. метод касательных: довольно простой метод, однако, чтобы получить достаточную точность решения, требуется очень мелкий временной шаг;
  2. явные методы: проще использовать, однако часто необходимо выбирать очень мелкие временные шаги по причине явления численной неустойчивости. Один из методов - метод Рунге-Кутта;
  3. неявные методы: более устойчивы и допускают большие временные шаги, однако на каждом временном шаге необходимо увеличивать объем вычислений из-за наличия неявного члена;
  4. полунеявные методы обеспечивают большую точность по сравнению с неявным методом, однако, как и в случае неявного метода, необходимо значительное число вычислений на каждом шаге. Чаще применяется схема Крэнка-Николсона, обеспечивающая устойчивость и высокую точность:

    5. методы прогноза-коррекции: предназначены для того, чтобы на каждом временном шаге избежать ряда расчетов, характерных для неявного метода. Их принцип заключается в двойной (одновременно неявной и явной) формулировке при выполнении только одной итерации.
     
            Популярность МКЭ способствовала созданию коммерческих пакетов программ, среди которых можно отметить следующие часто используемые:             Пакеты NASTRAN, TITUS, MODULEF обладают очены высокой универсальностью и априорно обеспечивают решение любой задачи, не содержащей особых сложностей.