Медиана и мода. Вариационный ряд, кроме средней арифметической, может быть охарактеризован еще двумя величинами – медианой и модой.

Модой (обозначается Мо) называется та варианта, которой соответствует наибольшее количество частот вариационного ряда. По данным табл.20, мода нахо дится в интервале роста 149,0 – 152,9, так как именно этот рост имеет наиболее многочисленная группа школьников. С некоторым приближением можно принять моду равной середине этого интервала, т.е. Мо = 151,0 см.

Медианой (обозначается Ме) называется варианта, делящая вариационный ряд на две равные половины, т.е. та варианта, меньше которой имеют размеры по ловины частот.

Медиана вычисляется при помощи так называемого начетного ряда, показанного в графе 6 табл.21.

Начетный ряд получают путем последовательного суммирования частот, расположенных в графе 2 той же табл.

Среднее квадратическое отклонение. Вторым параметром вариационного ряда (величиной, характеризующей вариационный ряд) является среднее квадратическое отклонение, обозначаемое σ (малая греческая сигма).

Среднее квадратическое отклонение равняется квадратному корню из суммы произведений частот вариационного ряда на квадраты отклонений вариант от средней арифметической, деленной на ч исло частот:

.

Более правильно в знаменателе подкоренного выражения ставить не n, a n-1. При достаточно большом количестве наблюдений уменьшение знаменателя на 1 не сказывается сколько-нибудь существ енно на результате, так как после всех вычислений изменяется только величина второго или даже третьего десятичного знака. Однако при малом количестве наблюдения (примерно 30 и менее), что почти всегда имеет место при статистической обработке клинических и лабораторно-экспериментальных материалов, это уточнение имеет значение. В этих случаях .

Описанный непосредственный способ вычислений требует большой вычислительной работы. Более простой способ вычисления σ сходен с упрощенным методом вычисления средней арифметической.

.

Если отсутствуют необходимые исходные данные для вычисления среднего квадратического отклонения обычным путем, может быть использован приближенный способ вычисления σ по амплитуде вариационного ряда. Как указывалось выше, амплитудой ряда называется разность между наибольшей и наименьшей вариантами (v_max - v_min).

Среднее квадратическое отклонение, исчисляемое по амплитуде, несколько отличается по величине от σ, вычисленной обычными способами. Различие это тем больше, чем больше число наблюдений, использованных для составления вариационного ряда. Поэтому определение среднего квадратического отклонения по амплитуде более целесообразно производить преиму щественно при ориентировочных расчетах. Вычисление производится по формуле:

где ampl -амплитуда , k-коэффициент, соответствующий числу наблюдений. Определяется k по специальной вспомогательной таблице, исчисленной С.И.Ермолаевым (табл. 26). Приводим эту таблицу, заимствованную у Н.А.Толоконцева

В этой таблице числа n в первом вертикальном столбце означают десятки, а в первой горизонтальной строке – единицы набюдений, например, для числа наблюдени й 87 (n=87) k =4,91, а для n = 18 k = 3,64.

Значения k для вычисления среднего квадратического отклонения (` 3;) по амплитуде.

Для примера, использованного в табл.20, в котором центральная наибольшая варианта равна 167 см, наименьшая – 135 см. а n = 19 7, т.е. приближенно 200, среднее квадратичесое отклонение, исчисленное по амплитуде, равно . Среднее квадратическое отклоненеие для этого вариационного ряда, вычисленное обычным путем, дает более точную величину σ = 6, 44. Однако различие это не слишком велико и, если бы были известны только крайние варианты ряда. Приближенноле вычисление среднего квадратического отклонения по амплитуде вариационого ряда имело бы смысл.

Значение среднего квадратического отклонения. Средняя арифметическая характеризует одной величиной весь вариационный ряд. Олнако чем больше варьирует индивидуал ьные значения вариант, тем. Очевидно, менее точно характеризуется вариационный ряд средней арифметической.

Ряд с большей амплитудой имеет большее среднее квадратическое отклонение (амплитуда приближенно равна 6 σ).

Теоретические основы выборочного метода. Вся совокупность единиц, представляющая изучаемое явление – объект исследования, называется генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, отобранная для обследо вания и изучения, называется выборочной совокупностью. К числу важнейших количественных характеристик выборочной совокупности относятся выборочные средние (xˉ,y&# 713;,zˉ и т.д.) и относительные величины (частость ). Характеристики выборочной совокупности (x_oˉ,p) отличаются, как правило, от аналогичных количественных характеристик генеральной совокупности (xˉ_o,p_o).

Чтобы определить степень точности выборочного наблюдения, необходимо оценить величину ошибки, которая может случайно произойти в процессе выборки. Такие ошибки носят название случайных ошибок презентативности (m) и является фактически разностью между относительными показателями или средними числами, полученными при выборочном статистическом наблюдении, и аналогич ными величинами, которые были бы получены при сплошном исследовании того же объекта наблюдения.

Действие закона больших чисел проявляется в тенденции выборочной средней (частости) максимально приблизиться к генеральной средней (доле). Разность между значениями выборочной средней (частости) и генеральной средней (доли) представляет собой, как было уже сказано, ошибку выборочного наблюдения (ошибку репрезентативности), которая может быть положительной или отрицательной, и стремится к нул ю при бесконечно большом увеличении числа наблюдений выборочной совокупности.

 , (для средних)

где σ – среднее квадратическое отклонение;

n – численность выборки;

, (для относительных величин)

где p - соответствующая доля (в %);

Эти формулы, прежде всего, справедливы для повторной выборки (с возвратом), поскольку вероятность попасть в выборку для каждо й единицы наблюдения не меняется на протяжении всего отбора.

,

где N – объем генеральной совокупности. Множитель всегда меньше единицы, следовательно, при прочих равных условиях, ошибка репрезентативности при бесп овторной выборке меньше, чем при повторной. Если объем генеральной совокупности N значительно больше объема выборочной совокупности n, то величина в медико-статистических работах близка к единице и ею при расчетах можно пренебречь. В таких случаях при определении ошибки случайной бесповторной выборки можно пользоваться формулой ошибки случайной повторной выборки

.

При конечных размерах генеральной совокупности, если объем выборки (n) не менее объема генеральной совокупности (N), ошибка репрезентативности должна определяться по формуле:

 .

,

где σ₁σ₂…σ_{k –} средние квадратические отклонения в каждой типической группе. Использование средневзвешенного среднего квадратического отклонения () обязательно в случае пропорционального (неравного) отбора, т.е. когда объем выборки в группе пропорционален ее доле в генеральной совокупности.

,

Знание величины ошибки выборки еще недостаточно, чтобы быть уверенным в результатах выборочного наблюдения, так как конкретная ошибка каждого одного выборочного наблюдения может быть значительно больше (меньше) величины средней оши бки выборки. Поэтому, кроме величины средней ошибки выборки. На практике следует определять также пределы возможных ошибок выборки. Установлено, что при достаточно большом числе случайно отобранных единиц наблюдений, распределение выборочных средн их близко к нормальному распределению. П.Л. Чебышев и А.М.Ляпунов нашли численное значение вероятности того, что ошибка выборки не будет выходить за величину заданных (допустимых) пределов. Пределы возможных отклонений выборочных средних () от генеральной средней (), выраженные в долях m_x, оцениваются по формуле . Величина t называется доверительным коэффициентом.

Показатель t дает возможность определить вероятность правильного ответа, т.е. указывает, что полученная величин а ошибки выборки будет не больше действительной ошибки, допущенной вследствие несплошного характера наблюдения. Так, если принять t =2,6 , то вероятность правильного ответа равна 0,99, т.е. из ста выборочных наблюдений только один раз выборочная средняя окажется вне пределов генеральной средней плюс 2,6 m_x. При t = 1 вероятность правильного определения пределов для генеральной средней равна только 0,68 (из 100 выборочных наблюдений 32 средних могут оказаться вне вычисленных пределов).

Доверие к такому утверждению измеряется с помощью специального показателя, который называется коэффициентом доверия, или доверительной вероятностью (Pt). Доверительная вероятность характеризует надежность результатов выборочных медико-статистических исследований (следовательно, надежность результатов выборочного исследования – это вероятность того, что ошибка полученного показателя будет не больше определ енной величины, в практике называемой предельной ошибкой). Обычно в медико-статистических исследованиях используют доверительную вероятность (надежность) 95 или 99 процентов (Pt =0,95 или Pt = 0,99). В наиболее ответственных случаях, когда необходимо сделать особенно важные выводы в теоретическом или практическом отношении , используют Pt = 0,997 (99,7%).

Предельная ошибка выборочного исследования (Δ=±tm) позволяет определить величину доверительного интервала, в пред елах которого с определенной вероятностью находится подлинная величина обобщенного показателя.

Применение средней ошибки. Задачей статистического исследования является изучение закономерностей, лежащих в самой природе исследуемых явлений. Полученные в резу льтате исследования относительные числа и средние величины должны слудить отображением действительности.

Для определения степени достоверности результатов статистического исследования нужно для каждой относительной или средней величины вычислять соответствующую среднюю ошибку.

Методика расчета средней ошибки (m) для относительных и средних величин показана в гл.V1.

Средняя ошибка позволяет определить пределы, в которых с той или иной степенью вероятности может находиться истинное значение статистического коэффициента или средней величины. Для того, чтобы результаты исчисления соответствовали той степени вероятности, с которой требуется получить нужные выводы, величины m следует умножить на доверительный коэффициент t , значения которого приведены в табл.30 (см. ниже).

Табл.3.0 Краткая таблица значений интеграла вероятностей

Как видно из таблицы 30, вероятность получения правильного заключения возрастает с увеличением t . Практически достаточно бра ть t, равное 1,96 (2,0) или 2,58 и только в случаях, требующих особенно большой степени вероятности, приравнивать его к 3.

Так, например, на основании измерения веса определенного правильно отобранного числа мальчиков одного возраста (8 лет), проживающих в поселке Н, установлено, что средняя арифметическая вел ичина веса у них равна 23,89 кг, а средняя ошибка средней арифметической – 0,14 кг. В таком случае с вероятностью, равной 68,3%, можно утверждать, что средний вес всех мальчиков того же возраста в этом поселке не превышает 28,39±0,14 ()(в кг) и находится в пределах от 23,75 до 24.03 кг. С вероятностью, равной 95,5%, можно определить средние размеры веса этих детей, как 23,89±2 х 0,14 () или в пределах 23, 54 – 24,24 кг.

Точно так же, если на основе ряда правильно организованных статистических наблюдений установлена эффективность воздействия на больной организм какого-либо лечебного препарата и сделано заключение о достоверности этого вывода с веро ятностью 0,95 (95%), что примерно соответствует t = 2, то при повторных опытах, организованных таким же образом, как и и первый, вывод об эффективном действии препарата будет подтвержд ен в 95 из 100 случаев.

Средняя ошибка разности. При оценке достоверности разности между двумя средними или относительными величинами вычисляется средняя ошибка этой разности по формуле :

,

Если разность средних величин (относительных коэффициентов) больше средней ошибки разности в 2,5-3,0 или хотя бы в 2 раза, то с вероятностью, определяемой по табл. 30, можно утверждать, что различие средних (относительных) величин не случайно, а зависит от какой-то определенной причины. Ели же разность средних меньше, чем в 2 раза, превышает свою среднюю ошибку, нет достаточных оснований считать, что различие этих сред них не случайно. При повторных исследованиях это различие может не подтвердиться.

. Требуется решить, является ли преобладание уровня заболе-ваемости в поселке А случай ным или оно является результатом худшего санитар-но-эпидемиологического состояния этого поселка и требуется принять специаль-ные меры для его оздоровления. Средние ошибки коэффициентов равны:

,

.

.

Сама разность средних величин равна 28,1-28,0=0,1 и она не превышает даже в 2 раза свою среднюю ошибку. Следовательно, в данном случае небольшое снижение веса детей явл яется случайным и не может считаться показателем ухудшения их физического развития. Если бы разность средних превышала свою среднюю ошибку в 2-3 раза, вывод бы был обратным.

Малые выборки. Привденные выше формулы и построенные на основании их оценочные таблицы применимы только при наличии относительно большого (практически не менее 30) числа наблюдений. При меньшем количестве наблюдений (так называемая малая выб орка), что довольно часто имеет место в клинических и экспериментальных работах, для оценки достоверности результатов прибегают к специальным таблицам. (Напомним, что среднее квадратическ ое отклонение при малых выборках вычисляется по формуле:

).

Английский ученый В.Госсет (Стьюдент) исследовал распределение t для малых выборок и установил формулу плотности этого распределения.

Для определения пределов колеблемости полученной по данным малдой выборки средней величины и оценки достоверности различий, сравниваемых средних (относительных величин) используют специальную таблицу критерия t (Стьдента).

В графах 2.3 и 4 таблицы помещены величины доверительного коэффициента (t), показывающие во сколько раз разность сравниваемых величин при данном малом чис ле наблюдений должна превышать свою среднюю ошибку для того, чтобы эта разность могла быть признана достоверной с данным уровнем вероятности, а результаты статистического исследования – достаточно надежными. Числа графы 2-й исчислены для вероятности прав ильного заключения равной 0,95 (95%) и вероятности ошибки – 0,05 (5%), числа графы 3-й – с соответствующими вероятностями 0,99 (99%) и 0,01(1%); числа графы 4-й соответственно – 99,9 и 0,1%. Практически достаточно пользоваться числами графы 3 и даже 2 и только в случае необходимости, особенно большой точности, прибегать к числам графы 4.

Значение коэффициента t (Стьюдента) зависит не только от вероятности (р_t), но и от объема выборки (при n` = n-1). Из таблицы видно, что чем меньше выборка, тем больше значение t.

Обращаться к таблице следует по графе 1, в которой указано число степеней свободы n` = n-1, т.е. числу проведенных наб людений , уменьшенному на единицу. Так, например, если после 8 испытаний действия спинномозговой анестезии на уровень кровяного двления установлено, что средняя величина снижения кровяного давления составляла 5,75 мм при средней ошибке 0,65, то из таблиц ы t видно, что при n` = 8-1 = 7; t =2,36 (графа 2 приложения 11). Это значит, что с вероятностью ошибки не более чем 5% можно утверждать, что размеры снижения кровяного давления при спинномозговой анестезии находятся в пределах 5,75±2,36 х 0,65, т.е. в пределах 5,75±1,53 или 4,22 – 8,26 мм; с вероятностью ошибки не более чем 1% можно утверждать, что ра змеры снижения кровяного давления в результате спинномозговой анестезии составляют 5,75±3,50 х 0,65 (графа 3 приложения 11) или 3.48 – 8,02 мм.

Если оценивается достоверность разности коэффициентов или средних, т.е. , то n₁ + n₂ – 2 .

Таблица 31.

Вычисления и m_x для каждого ряда можно произвести обычным путем, но для упрощения расчетов можно использовать следующую формулу, удобную для применения при малых числах наблюдений :

.

Упрощение расчетов при использовании этой формулы достигается тем, что вместо вычисления σ и m для каждого ограничиваются определением для каждого ряда чисел, что значительно облегчает вычислительную работу (v – о тдельные наблюдения, варианты). В данном примере:

Σv₁²= 6²⁺5²+7²+4² +8² +5² =288 , а

Σv²₂ = 2² +3² +4² + 2² +7²+5² 4² +3² =132.

как указано было выше, равняются соответственно 5,75 и 3,75; их квадраты .

Оценивая t по данным приложения 2, видим, что при n` =8 +8-2=14 в графе 2 этой таблицы стоит величина 2.14. Следовательно, для достоверности утверждения неслучайности различия величин и , с вероятностью ошибки не более чем 0, 05 (не более чем 5%) достаточно, чтобы t было не менее чем 2.14. В данном примере t =2,25. Значит, действие двух п риведенных видов обезболивания на снидение кровяного давления действительно различно и это различие может считаться статистически доказанным.

Оценка достоверности интенсивных коэффициентов заболеваемости при наличии повторных заболеваний. Формула средней ошибки показателя пригодна для оценки показателей только в случаях так называемого альтернативного варьирования, т.е. тогда, когда возможны только два исхода (умер или не умер, заболел данной болезнью или не заболел, привить против данного заболевания или не привит и т.п.).

, строя вариационные ряды, где вариантами являются числа заболеваний или случаев временной нетрудоспособности в связи с заболеванием в течение года ( 0;1;2;3;4 и т.д.), а частотами – числа болевших данное число раз.

 а .

Описанные методы оценки достоверности результатов статистического исследования с помощью критерия t (критерий Стьюдента) в основном пригодны для так называемого нормального распределения, т.е. такого, при котором крайние значения (самые малые и самые большие) вариант встречаются редко, а наиболее часты варианты. Близкие по своей величине к средней арифметической ряда; или для состояния (да-нет, жив-умер и т.п.). Методы оценки достоверности различия параметров таких вариационных рядов называются параметрическими.