Analisys of modal control systems, which confined across the full order state observer, has carried out. The method of system transfer function definition was suggested with help of transfer functions of system, confined on proper state variables, and observer's transfer function. It was proved the appropriateness of using the symbol mathematic software for analisys and sinthesys such kind of systems.

Рассмотрим систему модального управления (СМУ), замкнутую через наблюдатель состояния (НС) полного порядка, структурная схема которой показана на рис.1, где u – управляющее воздействие; f – возмущающее воздействие; A_o, B_o, B_f, C_o, A_н, B_н, C_н – матрицы состояния, управления, возмущения и выхода объекта регулирования (ОР) и наблюдателя соответственно; K=[k₁ k₂ ... k_n] – коэффициенты передачи модального регулятора (МР); L=[l₁ l₂ ... l_n]^Т – коэффициенты НС.

В [1] показано, что при полной идентичности разомкнутых ОР и НС

, (2)

где (3)

– вектор ошибок оценивания НС,

– матрицы состояния СМУ, замкнутой через НС, СМУ, замкнутой по собственным переменным состояния, и наблюдателя состояния соответственно.

На основании анализа клеточной матрицы А_з иногда делают вывод о том, что замкнутая система с одним регулятором состояния является более быстродействующей, чем система, замкнутая через наблюдатель, поскольку характеристический полином СМУ с НС полного порядка G_з равен произведению характеристических полиномов СМУ без НС G_оз и НС G_нз:

. (5)

. (6)

Воспользовавшись формулой обращения клеточной матрицы [2], получим

. (7)

. (8)

Из (8) видно, что ПФ СМУ, замкнутой через НС, от управляющего воздействия до переменных состояния объекта регулирования W_xu(p) совпадает с соответствующей ПФ СМУ без НС W_xuo(p):

, (9)

а ошибки оценивания НС при отработке управляющего воздействия тождественно равны нулю. Сопоставляя характеристический полином ПФ (9) с полиномом (5), приходим к выводу, что передаточные функции СМУ с НС полного порядка по управляющему воздействию содержат в числителе характеристический полином наблюдателя, который сокращается с таким же полиномом в знаменателе.

При отработке возмущающего воздействия поведение вектора ошибок оценивания D X определяется передаточной функцией W_xfн(p) НС, к которому приложено возмущающее воздействие

, (10)

, (11)

Умножая обе части уравнения (11) на вектор выхода С слева, получим ПФ системы от возмущающего воздействия до выходного сигнала:

. (13)

Попробуем воспользоваться уравнением (13) для оценки статизма по нагрузке системы тиристорный преобразователь-двигатель постоянного тока (ТП-Д) с компенсацией внутренней обратной связи по ЭДС двигателя с модальным регулятором, рассмотренную в [3]. Структурная схема этой системы в относительных единицах представлена на рис.2. Здесь возмущающим воздействием является ток нагрузки f=I_с^*, управляющим – задание на скорость двигателя u=w _з^*, переменными состояния – скорость двигателя, ток якоря и ЭДС преобразователя X=[w ^* I^* E_п^*], выходной координатой – скорость двигателя y=w ^*, C=[1 0 0].

, ; (14)

Используя формулу (13) при p=0 с учетом (14) и (15), имеем:

. (16)

Разделив обе части уравнения (16) на первое слагаемое, получим выражение для отношения падения скорости в СМУ с НС D w _с^* к падению скорости в СМУ без НС D w _со^*:

. (17)

В настоящее время многие программные пакеты обладают способностью решать математические задачи в аналитическом виде. Из них в наибольшей степени для исследования и проектирования САУ приспособлена система MATLAB 5 [4], которая имеет в своем составе пакет прикладных программ символьной математики Symbolic Toolbox, инструментарий для анализа и синтеза линейных систем Control Toolbox, приложение для структурного математического моделирования Simulink и многие другие полезные функции. В состав пакета Symbolic Toolbox включено ядро мощной системы символьных вычислений MAPLE V.

Рассмотрим возможность применения вышеназванных программных средств для синтеза МР и НС системы рис.2 и для анализа влияния отношения среднегеометрических корней характеристических полиномов СМУ, замкнутой по собственным переменным состояния, и наблюдателя (W ₀ и W _н).

syms var1 var2 ...varN – объявление символических переменных;

Ac = ctrb (A, B) – формирование матрицы управления;

Ao = obsv (A, C) – формирование матрицы наблюдения;

Ai = inv (A) – обращение матрицы;

Листинг решения поставленной задачи с помощью системы MATLAB, имеет вид:

L =

Здесь обозначено: Ta® T_я , Tm® T_м , Tmu® Tm , w0® W _o , wn® W _н , kw® kW =W _н/W _o , dWc0® D w _co^*/I_c^*, dWc® D w _c^*/I_c^*, a1, a2 ® a ₁, a ₂ – коэффициенты нормированного полинома третьего порядка

, (18)

принятого в качестве желаемого для характеристических полиномов СМУ и НС, которые в данном случае будут отличаться друг от друга только значением среднегеометрического корня W .

Во второй части программы выполнена подстановка в символьные выражения конкретных значений, в результате чего получены графики зависимостей D w _co / D w _c от kW при разных значениях T_я и T_м, представленные на рис.4 а, б (a ₁ = a ₂ = 2 – фильтр Баттерворта).

Графики рис.4 имеют один “ноль” и два экстремума: максимум и очень сглаженный минимум, которые можно найти при помощи MATLAB-функций diff (expr, var), выполняющей дифференцирование выражения expr по заданной переменной var, и solve (expr), определяющей корни уравнения expr(var)=0. Из графиков видно, что в большом диапазоне параметров статизм СМУ, замкнутой через наблюдатель (рис.2), оказывается ниже, чем аналогичной системы без НС (рис.3а), причем при некотором значении kW , близком к 1, анализируемая система становится астатической.

Для подтверждения правильности полученных результатов на рис.5 приведены графики переходных процессов тока и ошибки по скорости при набросе номинальной нагрузки в СМУ с T_я=4Tm , T_м=8Tm _, W _o=0.5/Tm . Штрих-пунктиром показаны переходные процессы в СМУ, замкнутой по собственным координатам, а сплошными линиями – в системе с НС при значениях коэффициента kW , обеспечивающих нулевую (графики 1) и экстремальные (графики 2, 3) величины статического падения скорости. Из рисунка видно, что замыкание СМУ через наблюдатель полного порядка при данных параметрах привода приводит к снижению статического и динамического падения скорости, к увеличению перерегулирования по току и к уменьшению времен достижения током и скоростью максимальных значений.

а) б)

1. СМУ, замкнутая через НС полного порядка, при полной идентичности параметров объекта регулирования и наблюдателя отрабатывает управляющее воздействие так же, как СМУ, замкнутая по собственным переменным состояния; отклонения координат наблюдателя от соответствующих координат объекта в этом режиме тождественно равны нулю.
2. Передаточные функции исследуемой СМУ по управляющему воздействию содержат в числителе характеристический полином наблюдателя, который сокращается с таким же полиномом в знаменателе.
3. ПФ исследуемой СМУ по возмущающему воздействию равна сумме соответствующей передаточной функции СМУ без НС по возмущающему воздействию и скалярного произведения передаточной функции СМУ без НС по управляющему воздействию, вектора коэффициентов модального регулятора и передаточной функции замкнутого наблюдателя от возмущающего воздействия, приложенного к НС, до его переменных состояния. Это свойство позволяет упростить вывод передаточных функций и коэффициентов усиления систем модального управления с наблюдателями полного порядка.
4. Быстродействие и другие показатели качества переходных процессов СМУ с НС по возмущающему воздействию зависят от структуры и параметров конкретной системы и могут оказаться не хуже, чем в СМУ, замкнутой по собственным переменным состояния.
5. Существенно облегчить и ускорить анализ и синтез систем с наблюдателями можно, используя пакет MATLAB 5.

1. Акимов Л.В., Долбня В.Т., Клепиков А.В. Об итерационности по возмущению модальных систем, замкнутых по вектору состояния через наблюдатель. Сб. Автоматизированные электромеханические системы с модальными регуляторами и наблюдателями состояния. – Харьков: ХГПУ, 1997. С.29-38.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: “Наука”, 1970. – 664 с.
3. Толочко О.И., Тищенко А. . Система модального управления приводом постоянного тока с узлом токоoграничения. – Здесь же
4. Потемкин В.Г. Система MATLAB 5 для студентов. Справочное пособие. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998 – 314 с.
5. O. Tolochko, P. Kotsegub, R.Fedoryak.

   Analysis and synthesis of modal systems, confined across the full range state observer.