eng ukr

Цеплова С.А.

Донецкий Национальный Технический Университет
факультет Вычислительной Техники и Информатики
специальность "Экономическая кибернетика"

ЦЕПЛОВА СВЕТЛАНА АЛЕКСАНДРОВНА

svet_a@ukr.net

"Автоматизированная поддержка курса "Языки программирования"

Руководитель: Серик Александр Евгеньевич
Автобиография Библиотека Ссылки


ДИССЕРТАЦИЯ

Содержание

Общая характеристика работы
Введение
1. Понятие модели
2. Классификация моделей
3 Последовательность разработки математических моделей
3.1. Построение концептуальной модели
 3.2. Разработка алгоритма модели
3.3. Разработка программы
4. Допущения
5. Паутинообразная модель с запаздыванием спроса
6. Паутинообразная модель с запаздыванием предложения
7. Применение паутинообразной модели
8. Концептуальная модель
Заключение

Актуальность темы.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Вместе с тем следует отметить, что исследование экономических проблем современного промышленного производства математическими методами требует прочного владения основами математического анализа, алгебры, теории дифференциальных уравнений и других разделов математики. Проблема практического применения экономико-математического моделирования для задач планирования и управления общественным производством сложна и многогранна. Реальные экономические процессы, протекающие в современном промышленном производстве, столь сложны, что для их изучения с необходимостью привлекается целый комплекс наук- от политэкономии до кибернетики. Моделирование экономических явлений хотя и относительно частным, но весьма важным, мощным средством исследования.

Цели и задачи исследования.

Целью магистерской работы - дать представление об основных принципах построения математических моделей экономических процессов и явлений.

Научная новизна.

Научная новизна состоит в разработке метода построения паутинообразной модели.

Практическая ценность.

Практическая ценность состоит в разработке модели, которую можно применять для конкретной фирмы, с целью выяснения, какую политику выгоднее ей (фирме) вести, какую цену назначить на товар или услугу при данной конкуренции, спросе, предложении на рынке.

Реализация результатов работы.

Результатом работы является разработка паутинообразной модели фирмы, а также рассмотрение как применяется данная модель в различных сферах.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Вместе с тем следует отметить, что исследование экономических проблем современного промышленного производства математическими методами требует прочного владения основами математического анализа, алгебры, теории дифференциальных уравнений и других разделов математики. Проблема практического применения экономико-математического моделирования для задач планирования и управления общественным производством сложна и многогранна. Реальные экономические процессы, протекающие в современном промышленном производстве, столь сложны, что для их изучения с необходимостью привлекается целый комплекс наук- от политэкономии до кибернетики. Моделирование экономических явлений хотя и относительно частным, но весьма важным, мощным средством исследования.

1. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ

Модель - объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала. Анализируя содержание этого определения, можно сделать следующие выводы: 1) любая модель субъективна, она несет на себе печать индивидуальности исследователя; 2) любая модель гомоморфна, т. е. в ней отражаются не все, а только существенные свойства объекта-оригинала; 3) возможно существование множества моделей одного и того же объекта-оригинала, отличающихся целями исследования и степенью адекватности. Модель считается адекватной объекту-оригиналу, если она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

По форме представления объектов модели можно разделить на две группы:
-материальные
-идеальные.
Материальные модели, в свою очередь, делятся на:
-физические
- аналоговые.
В физических моделях обеспечивается аналогия физической природы и модели (примером может служить аэродинамическая труба). В аналоговых моделях добиваются сходства процессов, протекающих в оригинале и модели (так с помощью гидроинтегратора моделируется передача тепла).
Идеальные модели можно разделить на:
-знаковые (семиотические)
-интуитивные (мысленные).
Знаковые модели делятся на:
- логические
- геометрические
- математические.
Математические модели можно разделить на:
-аналитические
-алгоритмические
-комбинированные.
Для аналитического моделирования характерно то, что для описания процессов функционирования системы используются системы алгебраических, дифференциальных, интегральных или конечно-разностных уравнений. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:
а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;
б) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;
в) качественным, когда, не имея решения в явном виде,
можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).
Желая использовать аналитический метод, часто идут на существенные упрощения первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Аналитические модели бывают детерминированные и статистические.
Численный метод проведения аналитических расчетов с помощью датчиков случайных чисел получил название метода статистических испытаний, или метода Монте-Карло.
При алгоритмическом моделировании описывается процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательное и протекания во времени. Алгоритмические модели также могут быть детерминированными и статистическими. В последнем случае в модели с помощью датчиков случайных чисел имитируется действие неопределенных и случайных факторов. Такой метод моделирования получил название метода статистического моделирования. В настоящее время этот метод считается наиболее эффективным методом исследования сложных систем, а часто и единственным практически доступным методом получения информации о поведении гипотетической системы на этапе ее проектирования.
Комбинированное моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и алгоритмического моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования модели на составляющие подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных процессов строятся алгоритмические модели.

3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАЗРАБОТКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В процесс разработки и машинной реализации математической модели входят следующие этапы: -построение концептуальной модели; -разработка алгоритма модели системы; -разработка программы модели системы; -проведение машинных экспериментов с моделью системы.

3.1. Построение концептуальной модели

Построение концептуальной модели включает следующие подэтапы:
- постановку задачи моделирования;
- определение требований к исходной информации;
- выдвижение гипотез и предположений;
- определение параметров и переменных модели;
- обоснование выбора показателей и критериев эффективности системы;
- составление содержательного описания модели.
При постановке задачи моделирования дается четкая формулировка целей и задач исследования реальной системы, обосновывается необходимость машинного моделирования, выбирается методика решения задачи с учетом имеющихся ресурсов, определяется возможность разделения задачи на подзадачи.
При сборе необходимой исходной информации необходимо помнить, что именно от качества исходной информации об объекте моделирования зависит как адекватность модели, так и достоверность результатов моделирования.
Гипотезы при построении модели системы служат для заполнения "пробелов" в понимании задачи исследователем. Предположения дают возможность провести упрощение модели. В процессе работы с моделью системы возможно многократное возвращение к этому подэтапу в зависимости от полученных результатов моделирования и новой информации об объекте.
При определении параметров и переменных составляется перечень входных, выходных и управляющих переменных, а также внешних и внутренних параметров системы.
Выбранные показатели и критерии эффективности системы должны отражать цель функционирования системы и представлять собой функции переменных и параметров системы.
Разработка концептуальной модели завершается составлением содержательного описания, которое используется как основной документ, характеризующий результаты работы на первом этапе.

3.2. Разработка алгоритма модели

Разработка алгоритма модели включает следующие подэтапы:
-пbrостроение логической схемы алгоритма;
- получение математических соотношений;
- проверку достоверности алгоритма.
Вначале создается укрупненная (обобщенная) схема моделирующего алгоритма, которая задает общий порядок действий при моделировании исследуемого процесса. Затем разрабатывается детальная схема, каждый элемент которой впоследствии превращается в оператор программы
Для комбинированных моделей разрабатывается аналитическая часть в виде явных функций и имитационная часть в виде моделирующего алгоритма.
Проверка достоверности алгоритма должна дать ответ на вопрос, насколько алгоритм отражает замысел моделирования, сформулированный на этапе разработки концептуальной модели.

3.3. Разработка программы

Разработка программы для ЭВМ включает следующие подэтапы:
-выбор вычислительных средств;
-проведение программирования;
- проверку достоверности программы.
Прежде всего выбираются тип ЭВМ (компьютера) и язык программирования. Создание программы по детально разработанному алгоритму может осуществить программист без участия и помощи разработчика модели.
После составления программы производится проверка ее достоверности на контрольном примере. На этом подэтапе необходимо оценить затраты машинного времени для расчета одной реализации моделируемого процесса, что позволит разработчику модели правильно сформулировать требования к точности и достоверности результатов моделирования.

5. ДОПУЩЕНИЯ

При рассмотрении паутинообразной модели для моделирования динамики рыночных цен важно ввести некоторые допущения. Для этой модели требуется построить функцию предложения, которая, если допустить, что имеется один продукт, может изменяться только его цена, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на данный товар (цены на другие товары, основные производственные фонды, характер применяемой технологии, налоги и дотации, природно-климатические условия) остаются неизменными, зависимостью предложения Q от цены p:
Q=S(p) (1)

В этой модели учитывается, что при планировании объемов рыночной сделки потребители и производители могут оказаться в неодинаковом положении. Покупатель, планируя в t-м периоде объем спроса, знает цену этого периода, а производитель в момент осуществления мероприятий, определяющих объем его предложения, не знает, какова будет цена к моменту выхода продукции на рынок. Так, фермер, определяя площади посева, не знает цену урожая в день его реализации; когда производитель мебели определяет объем ее выпуска, ему еще неизвестно, по какой цене ее можно будет продать, и т.п. На этом основании предполагается, что объем рыночного спроса в периоде t зависит от цены этого периода, а объем рыночного предложения в данном периоде определяется ценой предшествовавшего периода.
Иначе говоря, паутинообразная модель ценообразования основана на предположении, что в текущем периоде производители определяют объем предложения на основе цены предшествующего периода. При таком поведении рыночных агентов в любом периоде объем отраслевого спроса будет равен объему предложения, если Если , то при на рынке установится длительное равновесие. До тех пор, пока , планируемые на период t объемы спроса и предложения не совпадают, и фактический объем продаж определяет "короткая" сторона рынка. Особенностью данной функции предложения является то, что для многих видов товаров она монотонно возрастает (S'(p)>0). Рост предложения при увеличении цены можно объяснить тем, что увеличивается оптимальный объем выпуска товара предприятием при увеличении его цены, а так же тем, что для производства высокорентабельного товара в отрасль включаются новые предприятия. При этом на плоскости Q0p кривая предложения задается уравнением p=MC(Q) и представляет собой геометрическое место точек минимумов линий постоянной прибыли (линия S на рис.1).
Следующая используемая функция - это функция спроса, которая имеет вид:
Q=D(p) (2)
в случае, когда потребитель предъявляет спрос на определенный товар, исходя из своих предпочтений и бюджетных ограничений.
Причем если может изменяться только цена товара, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на него (цены других товаров, денежный доход, накопленные сбережения и т.п.), остаются неизменными. Характерная особенность этой функции - ее монотонное убывание для многих видов товаров, при этом ее график (кривая D на рисунке 1) представляет собой геометрическое место точек на плоскости Q0p, в которых цена принимает максимально возможное значение на линиях постоянной полезности.
Функции спроса и предложения являются основными составляющими модели рынка товаров, поскольку они - по предположению - представляют собой решения оптимизационных задач, которые возникают перед участниками ("покупателями и "товаропроизводителями").
Пересечение графиков спроса и предложения происходит в точке равновесия (точка А на рис.1), а соответствующая этой точке цена p=pe называется равновесной. Если цена на рынке выше равновесной, то предложение превышает спрос и возникает затоваривание. В этой ситуации товаропроизводители (продавцы) многих видов товаров готовы пойти на снижение цены с целью привлечения большего числа покупателей (например, если речь идет о скоропортящихся товарах). Следовательно, при значениях цены выше равновесной происходит давление на нее в сторону уменьшения.
Если же цена на рынке ниже равновесной, то спрос превышает предложение, и товар становится дефицитным. В этой ситуации часть покупателей готова заплатить за товар более высокую цену, но снизить риск и с уверенностью приобрести товар (например, если образуется очередь покупателей, то стоящие в ее конце могут не получить товара). Таким образом, при значениях цены ниже равновесной происходит давление на нее в сторону увеличения. Эти две тенденции приводят к тому, что на рынках многих видов товаров, как правило, устанавливается равновесие, при котором спрос равен предложению.
В силу свойств кривых спроса и предложения равновесное решение является устойчивым в том смысле, что если цена строго фиксирована и равна равновесной P=Pe , то товаропроизводитель, максимизируя прибыль, поставляет на рынок товар в количестве S(pe)=Qe; одновременно потребитель, стремясь максимизировать полезность, предъявляет спрос D(pe)=Qe. При установлении на рынке совершенной конкуренции равновесной цены объем товаров , предлагаемый товаропроизводителем и доставляющий ему максимум прибыли по данной цене, в точности равен спросу потребителя.
Динамические неравновесные модели рынка используются для анализа изменения переменных (цена, спрос, предложение) во времени в случае, когда цена в начальный момент отличается от равновесной. При этом процесс установления равновесной цены может быть описан различными моделями при использовании одних и тех же функций спроса (2) и предложения (1).
Различают два подхода - непрерывный, в котором динамика цен описывается дифференциальным уравнением
dp/dt = a(D(P)-S(p)),
и дискретный, когда переменные на промежутке времени [t,t+1) принимаются неизменными. В последнем случае последовательным интервалам времени [t,t+1) соответствуют значения цены pt, спроса Dt и предложения St. В зависимости от используемых гипотез в дискретной модели динамики цен происходит либо запаздывание предложения - в этом случае приходим к процессу
S(Pt+1)=D(Pt), (3)
либо запаздывание спроса - в этом случае получаем процесс
D(Pt+1)=S(Pt). (4)
Здесь предполагается, что функции предложения и спроса удовлетворяют следующим условиям:
S'(P)>0, D'(P)<0.
В обоих случаях на плоскости Q0p соответствующий итерационный процесс изображается в виде паутины, которая "намотана" на кривые спроса и предложения. Это дало основание для общего названия дискретных динамических моделей.
Дискретные модели вида (4) представляют интерес потому, что в них более последовательно, чем в непрерывных, отражаются процедуры принятия решений.



6. ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ СПРОСА

Концептуальная модель любого процесса динамики цен включает взаимодействие трех подсистем, которые можно условно назвать "товаропроизводитель", "потребитель" и "рынок" (рис.2).
Паутинообразная модель (модель А), в которой спрос отстает от предложения на один период: D(Pt+1)=S(Pt), также вписывается в схему рис.2.
Эта модель - одна из исторически первых динамических моделей рынка, отражающих поведение участников. Она служит хорошей иллюстрацией применения метода моделирования при анализе экономических процессов.
Значение модели А определяется еще и тем, что многие современные модели динамики цен, а также динамические модели макроэкономики приводят к "паутинообразному" процессу. Рассмотрим гипотезы, которые лежат в основе этой модели.
Гипотеза 1. Товаропроизводитель, принимая решение об объеме предложения, ориентируется на цену предыдущего периода.
Эта гипотеза означает, что товаропроизводитель прогнозирует цену следующего периода. Правда, прогноз здесь очень примитивный, опирается на логическую схему: "сегодня цена была Pt, если и завтра она будет равна Pt, то я получу максимальную выгоду при продаже товара в количестве S(Pt)".
Гипотеза 2. Рынок всегда находится в состоянии локального равновесия.
Эту гипотезу можно трактовать, по Вальрасу , следующим образом. Вместо абстрактного, неодушевленного понятия "рынок" мыслить его в виде некоего человека-аукциониста, распоряжающегося на реальном рынке. Этот аукционист сначала устанавливает произвольные цены на товары, после чего участники рынка совершают условные сделки и сообщают об их результате аукционисту. Если спрос на некоторый товар оказался больше (меньше) предложения, то аукционист меняет первоначальные цены, поднимая (понижая) цену этого товара. Окончательные сделки совершаются лишь после достижения равновесия. Назвав этот процесс нащупыванием, Вальрас считал, что он приводит к цели.
Другая трактовка этой гипотезы состоит в том, что задачей аукциониста является установление максимальной цены, при которой весь товар, поставляемый на рынок производителем, находит покупателя. Формально эти две гипотезы означают следующее:
1) объем предложения на рынке St+1 в каждый период времени t+1 определяется значением цены предыдущего периода при помощи функции предложения St+1=S(Pt);
2) на рынке в каждый период t+1 устанавливается равновесная цена Pt+1, причем эта цена является решением уравнения D(Pt+1)=St+1;
3) потребитель предъявляет спрос, который при цене Pt+1 в каждый момент времени равен предложению St+1, вследствие чего потребитель приобретает все, что ему предложено.
Принятое в модели А взаимодействие подсистем "потребитель", "товаропроизводитель" и "рынок" может быть представлено в виде блок-схемы, изображенной на рис.3.

Использование монотонных функций спроса и предложения позволяет построить последовательность цен Pt, где t - номер шага во времени. Действительно, в силу гипотезы (1) товаропроизводитель по значению цены P1 при помощи кривой предложения определяет S2; в силу гипотезы (2) на рынке устанавливается цена P2 (находится при помощи кривой спроса); в силу гипотезы (3) весь товар в количестве S2 находит потребителя; в силу гипотезы (1) товаропроизводитель, ориентируясь на цену P2, определяет объем предложения S3 и т.д. (рис.3). Далее рассмотренный процесс повторяется.
Таким образом, сформулированные две гипотезы приводят к итерационному процессу (4), где спрос запаздывает от предложения на один период.
Динамика цены (а также спроса и предложения) в рамках данной модели может быть изображена в виде кривой, которую называют либо паутиной, либо спиралью (рис.4). Поэтому в литературе паутинообразную модель иногда называют "динамической спиралью". В случае, изображенном на рис.4, последовательность цен Pt стремится к равновесному уровню pe, и, таким образом, здесь со временем устанавливается равновесие.
Для ответа на вопрос, всегда ли в данной модели итерационный процесс (4) приводит к равновесию, рассмотрим случай, когда функции спроса и предложения линейно зависят от цены, т.е.
D(P)=Qe-d(P-pe), S(P)=Qe+s(P-pe). (5)

Здесь pe - равновесное значение цены; Qe - соответствующее равновесное значение спроса и предложения; d и s - угловые коэффициенты функций спроса и предложения.
В силу уравнений (5) итерационный процесс (4) может быть представлен в виде
Qe-d(Pt+1-pe)=Qe+s(Pt-pe),
или
Pt+1-pe=-s(Pt-pe)/d.
Это значит, что числовая последовательность yt=Pt-pe, которая определяет отклонение текущей цены от равновесной, представляет собой знакочередующуюся геометрическую прогрессию со знаменателем q = -s/d.
Поэтому при
sПри s>d последовательность yt неограниченно возрастает, и амплитуда колебаний цен увеличивается (рис.5).
При s=d последовательность yt последовательно принимает равные по абсолютной величине значения. Как видим, характер динамики цен зависит в данной модели от отношения угловых коэффициентов функций спроса и предложения. Поэтому теоретически равновесное положение паутинообразной модели может быть и неустойчивым.

7. ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПРЕДЛОЖЕНИЯ


Сформулируем гипотезы одной из модификаций паутинообразной модели (3) с запаздыванием предложения (модель В).
Гипотеза 1. При определении объема предложения в каждый период времени товаропроизводитель ориентируется на спрос в предыдущий период.

Эта гипотеза приводит к росту (снижению) предложения в случае, когда спрос больше (меньше) предложения.
Гипотеза 2. Цена предлагаемого товара устанавливается товаропроизводителем на уровне, определяемом в соответствии с функцией предложения.
Здесь товаропроизводитель действует формально: он знает, что кривая предложения в некотором смысле оптимальна. Поэтому он полагает, что при определении уровня цен с помощью функции предложения предлагаемый объем товара будет оптимальным.
Гипотеза 3. Объем потребления не может превосходить ни объема предложения, ни объема спроса.
Эта гипотеза означает, что если предложение меньше спроса, то потребление равно предложению.
Если же спрос меньше предложения (т.е. имеет место избыточное предложение товара), то потребление равно спросу, а непроданный товар приводит к затовариванию. Таким образом в данной модели связь между потреблением Ct, спросом Dt и предложением St в каждый период времени t можно представить в виде
Ct=min(St,Dt). (7)

Последнее означает, что график кривой потребления модели В представляет собой линию SAD (рис.7). В рассматриваемой модели происходит отставание предложения: S(Pt+1)=D(Pt). Подчеркнем, что гипотеза (1), выражающая реакцию производителя на несоответствие спроса Dt предложению St, и гипотеза (2) определяют модель предложения товаров.
Рассуждая формально, приходим к следующему. При заданных S1 и P1, удовлетворяющих условию S1=S(P1), определяется спрос D1, после чего для объема потребления получаем C1=min(S1,D1).
В случае дисбаланса между спросом S1 и предложением D1 товаропроизводитель предлагает в следующий момент времени товар в объеме S2=D1, который он рассчитывает продать по цене P2, определяемой из условия S2=S(P2),

8. ПРИМЕНЕНИЕ ПАУТИНООБРАЗНОЙ МОДЕЛИ

Предположим, некоторый субъект собирается вложить средства в создание фирмы, которая будет выпускать товар и реализовывать его на рынке. Интересно, как будет вести себя цена на товар при изменении объема производства. Известно, что при увеличении производства происходит падение спроса и приходится снижать цену. Мне хотелось бы знать, при каких условиях цена будет стабильной. Можно ли дать ответ на этот вопрос с помощью математической модели? Можно. Известны несколько вариантов такой модели. Все они обладают определенными одинаковыми свойствами. Обычно в них предполагается, что спрос на некоторый продукт (чаще всего рассматривается сельскохозяйственная продукция) на заданном отрезке времени зависит от цены (и других факторов) на этом отрезке. Что же касается предложения, то оно определяется ценами предыдущего периода времени (недели, месяца, квартала и т. д.). Кроме того, предполагается, что рынок всегда находится в условиях локального равновесия. Исторически такая модель получила название "паутинообразной", вероятно, потому, что такого же принципа "учета предыдущего шага" придерживается паук, когда он ткет паутину. Существуют четыре варианта этой модели:
-детерминированная
-вероятностная
-модель с обучением
-модель с запасами.
В детерминированной модели отсутствует учет влияния случайных факторов.
В вероятностной модели учитываются влияние на спрос непредвиденных колебаний предпочтений и доходов потребителей, а также другие случайные факторы, влияющие на величину спроса. Предложение на предыдущем отрезке времени также считается подверженным влиянию случайных факторов. Они отражают влияние колебаний технологии и эффективности производственного процесса и т. д. Наконец, условие локального равновесия означает совпадение спроса и предложения с точностью до некоторой случайной величины. В модели с обучением предполагается, что поставщики учитывают сложившуюся тенденцию изменения цен и с учетом этого планируют выпуск продукции на очередной отрезок времени. В последних двух моделях цены устанавливаются на таком уровне, чтобы обеспечить локальное равновесие рынка только за счет текущего производства, и никаких запасов продукции не создается (например, потому, что продукты быстро портятся). В модель с запасами вводится дополнительная группа участников рыночного механизма, которых можно назвать "коммерсантами". Они держат запасы и организуют торговлю. Для моего случая, наверное, больше подойдет вероятностная модель с обучением.