В проектной практике и эксплуатации возникает необходимость расчета стационарных режимов электроэнергетических систем, в состав которых входят генераторы, линии электропередачи, трансформаторы, автотрансформаторы, двигательная и стационарная нагрузка. Это необходимо для определения потерь в сети, степени загрузки оборудования в ремонтных и других режимах, для точной настройки систем управления, автоматики и защиты. Все эти расчеты также производятся еще на стадии проектирования любого энергетического объекта для правильного выбора каждой единицы оборудования.

     В данное время существует большое количество методов и созданных на их основе программ для расчета режимов энергосистем. Поэтому кроме оптимизации одного из существующих методов в моей работе стоит вопрос о рассмотрении, анализе (на примерах) и систематизации всех остальных. Эта систематизация наиболее рациональных методов будет оформлена в виде методических указаний, которые будут внедрены в учебный процесс и пригодятся при самостоятельном изучении математических методов расчета и моделирования в энергосистемах студентам и аспирантам электротехнических специальностей.

     Для расчета стационарных и переходных режимов в энергосистемах используют в основном схемы с жесткой структурой с решением систем нелинейных уравнений, записанных относительно активной и реактивной мощностей и узловых напряжений. При этом возникают проблемы с необходимостью обращения матриц проводимостей большой размерности и обеспечением сходимости решения.

     В данной работе предложен алгоритм автоматического формирования схемы заданной структуры за счет ввода информации о графе сети с помощью вектора соединения ветвей и узлов схем и использования уравнений Ома и Кирхгофа в матрично-векторной форме. За основу принят метод узловых напряжений. Сопротивления нагрузок представлены в виде нелинейных зависимостей от напряжений или токов, а также учитываются взаимоиндуктивности между ветвями. Представление решаемых нелинейных систем уравнений относительно проводимостей и сопротивлений практически во всех случаях обеспечивает сходимость решения при использовании метода простой итерации, в котором коррекция нелинейных сопротивлений нагрузок производится на каждом шаге расчета. Обычно здесь используются метод Ньютона или градиентный метод.

     Таким образом, в данной работе решается вопрос сходимости решения систем уравнений, а также систематизации методов расчета стационарных и переходных процессов путем расчета примера схемы электрической сети методами контурных токов, узловых напряжений, а также с использованием законов Ома и Кирхгофа. Расчет ведется в как с учетом нелинейности нагрузок, так и без него.

     Расчет произведен в среде пакета MathCad. В качестве примера рассматривается электрическая схема сети, показанная на рис.1.

     Рис.1. Схема электрической сети.

     Первым этапом в расчете схемы является составление ее схемы замещения (рис.2) и графа. Граф – это геометрический образ схемы, состоящий из узлов и соединяющих их ветвей. Порядок составления графа следующий: 1.Задаем положительные направления ветвей (а следовательно токов и напряжений). 2.Один из узлов принимаем за базисный. 3.Строим дерево графа, в котором содержатся все узлы и связи между ними, но нет ни одного замкнутого контура. Ветви, не вошедшие в дерево, называют хордой графа, и каждой из них соответствует один из независимых главных контуров.

     Рис.2. Расчетная схема замещения заданной электрической системы.

     Следующим этапом в расчете электрической сети является составление матрицы соединений, которая описывает граф схемы. В этой матрице число строк – число ветвей дерева, а в столбцы заносятся номера узлов начала и конца каждой из ветвей. Составление матрицы соединений подробно проиллюстрировано на рис.3.

     Рис.3. Составление матрицы соединений.

     Далее рассчитываются параметры схемы замещения и результаты заносятся в матрицы с соответствующими индексами. Например, параметры линий электропередачи рассчитываются по формулам:

     и тогда, соответственно для заданной схемы после расчета сопротивлений получаем матрицу параметров линий электропередачи:

     В этой матрице 1-ый столбец – номер ветви, которая содержит ЛЭП, 2-ой – заданная длина линии, 3-ий и 4-ый – соответственно активное и индуктивное удельные сопротивления линии, Ом, 5-ый – комплексное полное сопротивление, Ом. После вычисления всех параметров схемы замещения производится расчет сети различными методами. Рассмотрим суть каждого из них:

     Метод узловых напряжений.

     Этот метод является частным случаем метода независимых напряжений. При этом матрица узловых проводимостей симметрична, и для цепей без взаимоиндукции ее можно сформировать прямо по заданной схеме. При наличии взаимных индуктивностей между ветвями схемы эту матрицу надо находить путем обращения квадратной матрицы сопротивлений ветвей Zv.

     Основное матрично-векторное уравнение этого метода имеет вид:

     где Uy - (q-1)-мерный вектор искомых узловых напряжений (q – общее количество узлов схемы);

      Yy - квадратная (q-1)-порядка матрица узловых проводимостей схемы;

     Jk - (q-1)-мерный вектор источников тока, подключенных к узлам схемы;

     Jke - (q-1)-мерный вектор эквивалентных источников тока, полученных в результате замены ЭДС ветвей.

     Приведенные выше величины рассчитываем по формулам:

     где Y - матрица проводимостей ветвей;

     Ye - квадратная (q-1)-порядка матрица узловых проводимостей, используемая для преобразований ЭДС ветвей в эквивалентные источники тока;

     U - вектор напряжений ветвей;

     I - вектор токов ветвей.

     Метод контурных токов.

     Основное матрично-векторное уравнение этого метода имеет вид:

     где Ik - n-мерный вектор искомых контурных токов;

     Zk - квадратная порядка n матрица контурных и взаимных сопротивлений, формируемая как:

     где Г, Гт - исходная и транспонированная матрицы независимых контуров (ветви-контуры);

     Z - матрица сопротивлений ветвей;

     Eke - вектор контурных ЭДС, имеющий размерность n и определяемый через ЭДС ветвей Е как:

     Ek - вектор эквивалентных контурных ЭДС, создаваемых заданными в узлах схемы источниками тока:

     где Zj - квадратичная размерности nґn матрица сопротивлений для источников тока, вычисляемая как:

     Тогда уравнение метода контурных токов примет вид:

     Из этого уравнения можно найти вектор контурных токов, но для этого надо сформировать для ветвей схемы матрицы ЭДС, сопротивлений, токов, а также матрицы соединений П, независимых контуров Г, источников задающих токов в узлах Jk.

     Решив это уравнение, находим контурные токи Ik, после чего вычисляем вектор токов всех ветвей как:

     напряжения ветвей как:

     мощность ветвей как:

     где I - вектор сопряженных комплексов токов ветвей.

     Метод определения токов и напряжений в схеме на основе законов Ома и Кирхгофа.

     Сформируем и решим записанное в матричном виде уравнение указанных законов:

     Откуда найдем:

     где: 01 - нулевая матрица с размером как и у матрицы P; 02 - нулевая матрица с размером как и у матрицы Bi; 0 -вектор с размерностью равной числу хорд 11 - диагональная единичная матрица с размером числа ветвей.

     В результате расчетов приведенными выше методами получим матрицы токов и мощностей ветвей, узловых напряжений, что очень удобно для сравнения этих методов. Таким образом, имея готовую программу и меняя исходную матрицу соединений можно рассчитать стационарный процесс практически для любой электрической схемы.

     Переходный процесс рассчитывается аналогичным образом. Необходимо только задать время возникновения короткого замыкания и время его отключения. Расчет ведется теми же методами – методами узловых напряжений и контурных токов. Результат этого расчета выглядит очень наглядно, так как есть возможность вывести графики изменения токов и напряжений в ветвях заданной схемы (рис.4,5)

     Рис.4. Изменение тока в ветвях при переходном процессе.

     Рис.5. Изменение напряжения в ветвях при переходном процессе.

     Интересным разделом также является исследование асинхронного режима. Путем задания параметров генераторов и изменения частоты их вращения создается асинхронный режим. Для этого э.д.с генератора задается в виде:

     Просчитывая режим с такими значениями э.д.с., можно наблюдать за изменениями токов в ветвях, напряжений в узлах электрической сети во время асинхронного режима.

     Таким образом, практически для любой электрической схемы можно рассчитывать стационарные и переходные процессы, а также асинхронный режим. Приведенный алгоритм занимает важное место в процессе обучения студентов специальности «Электрические станции», так как рассматривает основные методы расчета электрических цепей и внедрен в учебный процесс в виде курсового проекта по курсу «Математический задачи энергетики».

1. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей: Учеб. пособие для электр. и электроэнерг. спец. вузов. - М. Высш. шк., 1988-335с.
2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники, Т. 1, 2 - Л.:Энергоиздат, 1981.
3. Сивокобыленко В.Ф. Переходные процессы в многомашинных системах электроснабжения электрических станций. Уч. пособие. Донецк. ДПИ, 1984.
4. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноуцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М., Наука, 1979 - 208с.
5. Винославский В.Н., Пивняк Г.Г., Несен Л.И. и др. Переходные процессы в системах электроснабжения, В. школа, 1989 - 422с.