УДК 625.032.825:629.4.037.2

Канд. техн. наук И. А. ЖАРОВ, инж. М. А. МАРКОВ

Влияние радиуса кривой и смазывания
на сопротивление движению тележки
при квазистатическом движении

Проблема вписывания экипажа в кривую исследуется длительное время [1, 2, 3]. Наиболее широко эта проблема рассмотрена в работах [4, 5], где учтены нелинейность боковых и продольных сил трения, боковая податливость рельсов, а также продольные силы в поезде. При этом задача сведена к системе транцендентных уравнений, решение которой находится численно. Вопросы, связанные с определением основного и дополнительного (в кривых) сопротивления движению поезда, исследовались в работе [4].

В данной статье анализируется динамика вращения колесных пар вокруг их осей. Учтены моменты от продольных сил трения на поверхностях катания и гребнях колес и от вертикальных сил в точках контакта, учитывается взаимозависимость продольных и боковых сил трения. Исследуется влияние на результаты расчетов (в частности, на сопротивление движению) вида кривой крипа и боковой жесткости рельсов.

Построение моделей квазистатического движения тележки затруднено тем, что каждое колесо тележки может контактировать с рельсом тремя способами: поверхностью катания, гребнем или тем и другим одновременно. Это дает 81 вариант расположения тележки между рельсами. Если рассматривать случаи с отрицательными значениями зазоров между колесной парой и рельсами d и произвольными значениями углов набегания y_i, можно получить любой из этих вариантов. Из-за этого возникают следующие проблемы:

1. Определение варианта расположения при заданных параметрах;

2. Уравнения равновесия колесных пар и тележки для разных вариантов отличаются из-за различного числа точек контакта колес и рельсов. Это дает 16 различных систем уравнений, аналогичных приведенной в [6] для одного из вариантов расположения;

3. Формулы для правого и левого колес и рельсов отличаются знаками перед некоторыми членами, что удваивает количество соответствующих уравнений.

Для решения этих проблем предложено следующее:

1. Вместо уравнений равновесия использовать квазидинамические уравнения движения. При этом искомое положение тележки определяется как установившееся. Эти уравнения не будут совпадать с динамическими уравнениями, поскольку их правые части будут записаны для установившегося положения тележки. Массы и моменты инерции в этих уравнениях можно задавать произвольными положительными величинами, что обеспечивает установление движения. При необходимости можно вводить фиктивные демпферы;

2. Будем формально полагать, что колесо и рельс всегда имеют две точки контакта. Если точка одна, полагаем, что во второй точке нормальная сила N_ijk — нулевая;

3. Формулы будем записывать в таком виде, чтобы они были справедливы как для правого, так и для левого колеса.

Система координат и основные величины. Система координат и основные величины были выбраны так, чтобы ось Х пересекала среднюю линию пути в точках, соответствующих колесным парам (рис. 1). Ось Y направлена параллельно основанию пути в правую сторону относительно направления движения экипажа. Ось Z направлена вниз перпендикулярно плоскости XOY. Углы поворота относительно соответствующих осей обозначаются j, c и y и отсчитываются против часовой стрелки, если смотреть с конца оси. Центр кривой принимаем находящимся с левой стороны по ходу движения.

 

Рис. 1. Система координат тележки

Величины могут иметь индексы i — номер оси, j — правая или левая сторона и k — номер точки контакта. Индексы растут в сторону уменьшения значений по соответствующей оси. То есть i равно 1 для ведущей оси и 2 для ведомой, j равно 1 справа по ходу движения и 2 слева, k равно 1 для контакта с большим значением z (на гребне) и 2 для меньшего значения z (на поверхности катания). Положение колесной пары характеризуется смещением ее центра y_i и разворотом a_i (см. рис. 1).

При этом использованы следующие обозначения:

2а — расстояние между центрами колесных пар тележки;

2b — расстояние между кругами катания колес;

2d, с — зазор в колее и жесткость пути;

r, V — радиус кривой и скорость движения тележки;

Q_j — сила, действующая на колесо со стороны рельса вдоль оси Z (обычно меньше нуля);

w_i — угловая скорость вращения колесной пары вокруг ее оси (близка к и обычно меньше нуля);

— вектор скорости проскальзывания колеса по рельсу;

R_ijk — расстояние от оси колесной пары до точки контакта;

t_k — угол между нормалью в точке контакта и осью Z;

N_ijk — нормальная сила в точке контакта;

— вектор силы трения в точке контакта;

Y_ijk — сила, действующая на колесо вдоль оси Y;

Z_ijk — сила, действующая на колесо вдоль оси Z;

а_неп — непогашенное ускорение;

i* = 2i – 3, j* = 2j – 3, k* = 2k – 3, квадраты этих величин равны 1;

Н_i — рамное усилие (сила), действующее на колесную пару.

Трибологические параметры точек контакта. При квазистатическом движении тележки угловая скорость ее движения  равна –V/r, и справедливы следующие соотношения:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

В соответствии с кривой крипа находим величину K_ijk как функцию от отношения v_ijk/V, которое обычно называется величиной относительного проскальзывания l_ijk. Направление вектора  противоположно вектору :

(5)

Вектор  называется вектором силы трения от единичной нагрузки [6]. Соответственно силы трения находятся по формуле:

(6)

Верны следующие формулы:

	(7)
	(8)

Введем величины r_ijk по формулам

(9)

Заметим, что эти величины не зависят от N_ijk.

Боковой отжим рельсов. Значения R_ijk при двухточечном контакте обозначим через R_k. Эти радиусы зависят от профилей колес и рельсов. Соответствующие этим радиусам значения r_ijk обозначим через r_jk. Введем величины D_ij, которые определим следующим образом:

Dij = – j*Yi – d.

(10)

Если r_j2Q_jЈ cD_ijЈ r_j1Q_j, то контакт двухточечный и силы Z_ijk находятся из уравнений равновесия рельса в вертикальном и боковом направлении:

Zij1 + Zij2 = Qj;	(11)
rj1Zij1 + rj2Zij2 = cDij.	(12)

Если k*cD_ij < k*r_jkQ_j, то контакт одноточечный. При этом

Zijk = Qj,

(13)

сдвиг колеса от положения двухточечного контакта

sijk = Dij– rijkQj/c,

(14)

радиус в точке контакта

Rijk = Rk + tg(tk)sijk.

(15)

Заметим, что величина r_ijk в формуле (14) зависит от R_ijk. Поэтому организуется процесс итераций, где начальное значение R_ijk равно R_k. Критерий окончания этого процесса — изменение R_ijk становится меньше микрона.

Во всех случаях силы Y_ijk определяются по формуле

Yijk = j*rijkZijk,

(16)

а силы N_ijk и  находятся из уравнений (8) и (6).

Уравнения вращения колесных пар. Уравнения динамики колесных пар имеют следующий вид:

(17)

Здесь величины — забеги соответствующих точек контакта [6, 7]. Углы набегания считаются равными y_i.

Уравнения движения тележки. Уравнения движения тележки записываются в предположении, что она двигается как жесткое тело, что верно для квазистатического движения. Они имеют вид:

	(18)
	(19)

При записи этих уравнений смещение тележки считалось равным (у₁ + у₂)/2, а угол ее поворота равным (у₁ – у₂)/(2а). Решая систему из линейных уравнений (18) и (19), находим 

Определение углов набегания (y_i). Углы y_i можно задавать следующими способами:

1. y_i = const. Такое задание углов набегания может потребоваться при обработке результатов измерений углов набегания тележек;

2. y_i =(у₁ – у₂)/(2а) + a_i – i*a/r. При этом предполагается, что колесные пары в тележке развернуты на постоянный угол a_i. В этом и предыдущем случаях уравнения (17)...(19) приводятся к шести дифференциальным уравнениям первого порядка, для которых находится установившееся решение;

3. Углы y_i являются функциями сил, действующих на колеса тележки (например, их линейной комбинацией). В этом случае алгебраические уравнения заменяются дифференциальным путем введения фиктивного демпфера. После этого получается система из восьми уравнений первого порядка;

4. Для углов y_i можно записать уравнения динамики, используя уже введенные выше силы и координаты. В этом случае мы имеем систему из десяти уравнений первого порядка.

Задание исходных данных для расчетов. Для проведения оценок были использованы те же значения величин, что и в работе [6]: радиус кривой r = 300 м, половина расстояния между точками контакта на поверхностях катания соседних колес b = 0,79 м, половина расстояния между осями тележки а = 0,92 м, зазор между гребнем и боковой гранью головки рельса при центрированном положении колесной пары в колее d = 8 мм (половина зазора в колее).

Рельсы и колеса приняты новыми, и, значит, наклон обода колеса tg (t₂) = 0,05, угол наклона гребня t₁ = 60°. Согласно работе [8] разность радиусов R₁ и R₂ близка к 10 мм. Они приняты равными 485 и 475 мм соответственно.

Коэффициенты трения k_jk считаем равными 0,45, что примерно соответствует трению колес по рельсам при отсутствии следов смазки любого вида. Функцию K_ijk(l)/k_jk положим равной минимуму из функций 1 и 200l. При этом предполагается, что вид функции К от i не зависит, а от j и k зависит только через коэффициент трения скольжения k_jk. Непогашенное ускорение принимаем равным нулю, и, следовательно, а_неп = 0, а Q₁ = Q₂ = – P/2. Моменты  и М_у приняты нулевыми. Рассчитанные силы нормировались на величину Р/2, где Р — нагрузка на ось. Величина Р была принята равной 240 кН и соответственно масса М равной 48 000 кг. Величины J_y и  приняты равными 100 кг·м² и 5000 кг·м² соответственно. Для имитации жесткого пути жесткость принята равной 10⁹ Н/м.