ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ

Кулиш В.А., студент; Казакова Е.И., проф., д.т.н.

Донецкий национальный технический университет

Как известно, спрос и предложение – экономические категории товарного производства, возникающие и функционирующие на рынке, в сфере товарного обмена. При этом спрос – представленная на рынке потребность в товарах, а предложение – продукт, который есть на рынке или может быть доставлен на него. Одним из эконо-мических законов товарного производства является закон спроса и предложения, ко-торый заключается в единстве спроса и предложения и их объективном стремлении к соответствию.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в течении некоторого (достаточно продолжительного) времени корпорация продает на рынке уголь ( например, марки К, Г ), причем продает его сразу после добычи, с недельными перерывами. Тогда при имеющихся у корпорации запасах угля недельное предложение будет зависеть как от ожидаемой цены в наступающей недели, так и от предполагаемого изменения цены в последующие недели. Если в наступающей неделе предполагается, что цена упадет, а в последующие недели повысится, то предложение будет сдерживаться при условии превышения ожидаемого повышения цен над издержками хранения. При этом предложение товара в ближайшую неделю будет тем меньше, чем больше предпола-гается в дальнейшем повышение цены. И наоборот, если в наступающей неделе цена будет высокой, а затем ожидается ее падение, то предложение увеличится тем больше, чем большим предполагается понижение цены в дальнейшем.

Если обозначить через Р цену на уголь в наступающей неделе, а через Р’ – так называемую тенденцию формирования цены (производную цены по времени), то как спрос, так и предложение будут функциями указанных величин. При этом, как показывает практика, в зависимости от разных факторов спрос и предложение могут быть различными функциями цены и тенденции формирования цены.

В частности, одна из таких функций задается линейной зависимостью, математически описываемой соотношением:

y = ap’ +bp + c, (1)

где a, b, c –некоторые вещественные постоянные.

А тогда, если , например, в рассматриваемой задаче цена на уголь составляло вначале $ 30 за 1 т., через t недель она была уже $ Р(t) за 1 т., а спрос q и предложение s определялись соответственно соотношениями:

q = 4p’-2p + 39; s = 44p’ + 2p – 1, (2)

то для того, чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнить равенства:

4p’-2p + 39 = 44p’ + 2p – 1,

40p’ + 4p – 40 =0,

10p’ + p –10 =0,

p’=(10-p)/p,


-ln| 10-p|= (1/10)t – lnc,

ln| 10-p|= -(1/10)t + lnc,
,
.

Если задача Коши представлена при следующих условиях: р=1 при t = 0, то частное решение может быть представлено в следующем виде:

. (3)

Таким образом, если требовать, чтобы между спросом и предложением все время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена изменялась в соответствии с формулой (3).

Выход в электронную библиотеку