Оригинал перевода статьи находится на сайте НПП “Навгеоком” по адресу http://www.agp.ru/gps/dop/

Фактор потери точности (Dilution of Precision)

Перевод статьи опубликованной в 2000 году в журнале GPS World,
Advanstar Communications, 859 Willamette Street, Eugene, OR 97401, USA
Phone: +(541) 343-1200
Fax: +(541) 984-5333
E-mail:

Перевод выполнен "Навгеоком" © 2002

Richard B. Langley - Университет из Нью-Брунсвик (New Brunswick)

Примечание: Данная версии статьи использует греческие символы (такие как r и s). Если эти символы отражаются неверно, то попробуйте изменить вид кодировки вашего броузера на Unicode UTF-8.

Фактор потери точности (Dilution of precision – DOP): мы все слышали этот термин и большинство из нас знают, что чем меньше DOP тем лучше. Многие из нас знают, что DOP бывает разный: геометрический (GDOP), позиционный (PDOP), горизонтальный (HDOP), вертикальный (VDOP) и временной (TDOP). Но что означают эти аббревиатуры? В этой статье мы рассмотрим фактор потери точности GPS и то, как он влияет на точность с которой наши приёмники могут определять координаты и время.

Насколько точна система GPS? Новички всегда задают этот вопрос. Каков ответ? Он находится в зависимости от многих факторов. Говорим ли мы об автономном режиме (один приёмник) или дифференциальном режиме, одно- или двухчастотном приёмнике, режиме реального времени или постобработки. Даже если мы ограничимся рассмотрением только услуги стандартного местоопределения (SPS - Standard Positioning Service), официально предоставляемой правительством США для пользователей во всем мире, ответ будет тот же – точность зависит от многих факторов.

Определяемая SPS точность дается в значении “минимального возможного уровня” - это значит, что точность будет не хуже определенного уровня за определенный промежуток времени. Для любой точки земной поверхности, точность в горизонтальной плоскости эквивалентна или лучше чем 100 метров исходя из среднеквадратической ошибки измерения удвоенного расстояния (twice-distance–root-mean-square). Это значит, что за период времени в 24 часа, плановые координаты, определяемые с помощью GPS, будут находиться не дальше чем в 100 метрах от истинных координат на протяжении 95 процентов времени наблюдений. Соответствующая точность определения высот – 156 метров, а для времени – 340 наносекунд.

Эти расчётные параметры точности определены для орбитальной группировки из 24-х спутников, при маске возвышения 5 градусов без препятствий и как минимум, четырёх наблюдаемых спутников с геометрическим фактором потери точности позиционирования (PDOP) не более 6. Это означает, что в зависимости от местоположения или времени суток реальная точность GPS будет меняться. В глубоких каньонах городов мы можем столкнуться с тем, что в поле зрения не будет и четырех спутников или PDOP станет значительно больше 6.

Изменчивость реальной точности GPS в зависимости от места или времени – доминирующий эффект в потере точности из-за геометрического фактора, который при умножении на ошибки измерений и прочее даёт суммарную ошибку в координатах, компонентах координат или времени. Перед тем, как мы рассмотрим влияние геометрии на GPS, давайте взглянем на простой пример.

ГЕОМЕТРИЯ: ПРОСТОЙ ПРИМЕР

Представьте себе навигационную систему, в которой приёмник измеряет дальности до двух наземных передатчиков для определения своих плановых координат. Приёмник находится в точке пересечения двух окружностей с центрами в точках расположения передатчиков (см. Рисунок 1). Существует некоторая неточность в измерениях приёмника, поэтому, положение окружности определяющей дальность, будет неточным, что в итоге приведет к ошибке вычисления координат приёмника. Эта ошибка зависит от взаимной геометрии положения приёмника и передатчиков.

На Рисунке 1а передатчики расположены на большом расстоянии друг от друга, давая относительно небольшую определяемую область, в которой с некоторой вероятностью может находиться приёмник. Передатчик 1 находится в перпендикулярном направлении к передатчику 2, так что координаты X и Y приёмника определяются с равной точностью. На Рисунке 1б, передатчики расположены ближе друг к другу, что в результате даёт значительно большую область неопределенности, в которой достоверность определения Y координаты будет меньше, чем X координаты.

Несмотря на искусственность, этот простой пример не так далек от принципов радионавигации в системе Loran-C (хотя в Loran-C мы обычно измеряем разность дальностей, линии определяющие местоположение являются гиперболами, а не окружностями). Фактически, концепция потери точности возникла при использовании системы Loran-C.

Аналогично мы можем теперь рассмотреть эффект влияния геометрии на точность GPS. Но сначала давайте освежим в памяти основы GPS позиционирования с использованием псевдодальностей.

ИЗМЕРЕНИЯ ПСЕВДОДАЛЬНОСТЕЙ

Приёмник GPS вычисляет свои трёхмерные координаты и сдвиг тактовой частоты по четырем или более измерениям псевдодальности. Эти неточные измерения дальностей (далее используется термин псевдодальности) между антенной приёмника и антеннами каждого отслеживаемого спутника производятся с помощью кросскорреляции псевдослучайного кода, принимаемого со спутника и такого же кода, генерируемого приёмником. Точность измеренных псевдодальностей и достоверность модели, используемой для обработки этих измерений, отчасти определяют точность определения координат приёмником.

Основные принципы модели псевдодальности описываются формулой:

[1]

где P означает измеренную псевдодальность; r – геометрическое расстояние между антенной приёмника в момент приёма сигнала и спутниковой антенной в момент передачи; dT и dt – отражают уход часов приёмника и спутника от точного времени GPS соответственно; d_ion и d_trop – ионосферная и тропосферная задержки; e учитывает шум и немоделируемые эффекты, такие как переотражения; c – скорость света в вакууме.

Учитывая расчеты, производимые приемником для определения ухода часов (на основе навигационных сообщений) и атмосферных задержек (на основе моделей, запрограммированных в микропрограммном обеспечении) мы можем упростить модель расчёта псевдодальности:

  [2]

В этом выражении e_c отражает зашумление измерений и модель ошибок, также как и любые немоделируемые эффекты (например, режим избирательного доступа – SA). Существует n таких выражений, которые приёмник должен решить используя n одновременных измерений.

Параметр r – нелинейная функция координат приёмника и спутника. Для определения координат спутника мы должны линеаризовать псевдодальностное выражение, используя некоторые начальные оценки или приблизительные координаты приёмника (точка линеаризации). Затем мы можем определить поправки к этим начальным оценкам для определения истинных координат приёмника и ухода часов. Группируя наши выражения вместе и представляя их в виде матрицы мы можем представить нашу модель в виде:

  [3]

где DP_c - вектор (n-ой длины) разностей между скорректированными измерениями псевдодальностей и значениями моделируемых псевдодальностей, основанных на координатах точки линеаризации; Dx означает четырехэлементный вектор неизвестных – координаты приёмника и уход часов (в единицах измерения расстояний) от точки линеаризации; A – это матрица частных производных от псевдодальностей дифференцируемых по неизвестным, размером n x 4; e_c - это вектор (n-ой длины) ошибок измерения и прочих ошибок. Первые три строки матрицы A - простые компоненты единичного вектора с направлением от точки линеаризации на спутник; четвертая строка – незначащая.

Приёмник (или программное обеспечение постобработки) вычисляет матрицу с помощью метода наименьших квадратов (приёмник может использовать фильтр Калмана, который в наибольшей степени подобен среднеквадратичному). Формула 4 дает следующее решение:

[4]

Весовая матрица (W) характеризует разности между ошибками одновременных измерений так, как они распределяются по измерениям. Весовая матрица также эквивалентна выражению s₀²C_DPc^-1, где C_DPc – ковариационная матрица ошибок псевдодальностей, а s₀² – масштабирующая величина, известная как априорное отклонение удельных весов. В основном, для достижения верного результата при решении нелинейных задач должно быть выполнено несколько итераций. Однако, если точка линеаризации достаточно близка к истинному решению, будет достаточно и всего одной итерации.

 

Ковариационная матрица

Итак, насколько точны координаты приемника и расчет ухода часов в полученном решении? Другими словами, насколько измерения псевдодальностей и модель ошибок влияют на параметры оценки, получаемые из Формулы 4? Это определяется законом распространения ошибки, также известным как ковариационный закон:

 [5]

где C_Dx – ковариационная матрица оценок параметров.

Формула 5 выражает основное отношение, используемое в науке и инжиниринге не только для анализа произведенных измерений, но также для экспериментов и проектирования систем. Оно позволяет ученым или инженерам изучать возможность измерения определенных параметров без производства каких-либо измерений.

При изучении GPS, например, мы можем использовать это выражение для ответа на самые различные вопросы: Каково поведение ковариационной матрицы параметров оценки как функции от расположения спутников? Как различные модели ошибок воздействуют на координаты приемника в зависимости от расположения спутников? Какая величина допуска не должна быть превышена при создании модели ошибки для достижения заданной точности позиционирования? Такие вопросы не ограничивают область рассмотрения только анализом псевдодальностей, они могут быть заданы и в отношении более точных фазовых измерений и разностных наблюдений.

В формуле 5, если мы примем, что измерения и модель ошибок одинаковы для всех измерений с некоторым стандартным отклонением (дисперсией) s и они не коррелированы, тогда C_DPc можно приравнять к Is² (где I единичная матрица). Выражение для ковариантности Dx упрощается до:

[6]

(Более точный анализ ошибки может быть выполнен с использованием неоднородной дисперсии и ненулевой корреляции, однако для обучения, так же как для планирования или в целях оценки, принятия нулевой корреляции и равной дисперсии более чем достаточно).

Поскольку среднеквадратические оценки коэффициентов сдвига просто добавляются к значениям точки линеаризации (линейная операция) параметры оценок и коррекции будут иметь ту же самую ковариантность. Диагональные элементы матрицы C_Dx являются дисперсией координат приемника и ухода часов, недиагональные элементы (ковариации) – указывают на степень корреляции этих оценок.

 

ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКАЯ ОШИБКА ДАЛЬНОСТИ (UERE - user equivalent range error).

Как мы уже говорили ранее, s отражает стандартное отклонение (девиацию) измерения псевдодальности с остаточной ошибкой модели, которая в свою очередь, как мы приняли, одинакова для всех одновременных измерений. Если мы в дальнейшем примем, что ошибка измерения и ошибка компонентов модели независимы, то мы сможем извлечь квадратный корень из суммы квадратов составляющих этих ошибок для вычисления значения s. Когда мы комбинируем шум приёмника, ошибку хода часов спутника и ошибку эфемерид, атмосферные ошибки, переотражения и SA, выражая все в единицах измерения расстояний, мы получаем величину, известную как полная пользовательская ошибка дальности (UERE), которую мы можем использовать для s.

Для режима SPS общая ошибка UERE находится обычно вблизи 25 метров. Когда SA отключен, общая ошибка UERE должна быть менее 5 метров, причем основную погрешность вносят ионосферная задержка и эффект переотражения сигнала. Пользователи двухчастотного режима PPS имеют возможность исключить практически все ионосферные задержки из измерений псевдодальности, и соответственно получают меньшую ошибку UERE. В будущем, используя новые гражданские GPS сигналы гражданские пользователи так же смогут компенсировать ионосферную задержку и получить непревзойденный уровень UERE.

 

Различные факторы ухудшения точности (DOPs)

Имея значение s, мы можем вычислить компоненты матрицы C_Dx используя формулу 6. Затем мы можем оценить общую точность среднеквадратического решения, взяв квадратный корень из суммы параметров отклонения оценок:

[7]

где s_E², s_N², и s_U² - дисперсия по восточной, северной и вертикальной компоненте оценки координат приёмника, s_T² – дисперсия оценки ухода часов приёмника. Если алгоритм решения параметризован в единицах геоцентрической прямоугольной системы координат, используется прямой метод для трансформации решения ковариационной матрицы в локальной системе координат. Эта оценка точности решения – квадратный корень следа решения ковариационной матрицы – эквивалентна измерению псевдодальности и стандартной дисперсии ошибки моделирования (s), умноженных на масштабирующий коэффициент, эквивалентный квадратному корню следа матрицы D. Элементы матрицы D – функция, зависящая только от взаимной геометрии приёмник-спутник. Масштабирующий коэффициент обычно больше единицы, он увеличивает ошибку измерения псевдодальности, понижение точности определения координат. Поэтому этот масштабирующий коэффициент обычно называют геометрическим понижением точности (GDOP).

Кроме оценки качества общего решения, нам может потребоваться оценка точности определенных компонент (трёхмерные координаты приёмника или уход часов). Чтобы получить её мы просто берём или комбинируем соответствующие дисперсии C_Dx:

            

                                                                             [8]

Для каждой из этих ошибок измерения мы можем определить соответствующие значения DOP (для координат, горизонтальной и вертикальной составляющих координат и времени):

  

                                     [9]

Заметьте, что PDOP² = HDOP² + VDOP², и GDOP² = PDOP² + TDOP². Эти отношения могут быть использованы для установления взаимосвязи между различными DOP. Поскольку различные DOP являются функцией от положения приёмника и спутников, они могут быть вычислены на будущее с использованием спутникового альманаха для любого набора спутников, видимых из точки, для которой производятся вычисления.

Если оси векторов приемник-спутник лежат в одной плоскости, DOP бесконечно велики. Фактически при такой геометрии приемник-спутник невозможно произвести вычисление координат, т.к. матрица A^TA становится вырожденной (см. Формулу 6). При решении невозможно найти отличия между ошибкой ухода часов приемника и ошибкой его местоположения. Значения DOP значительно меньше и соответственно меньше ошибки решения когда спутники, используемые для решения, разбросаны по небу.

Наиболее просто показать зависимость ошибки решения от геометрии приемник-спутник предположив, что приемник наблюдает только четыре спутника. В этом случае мы не имеем избыточных измерений и возможно получить только прямое решение линеаризованных уравнений (пока матрица A не станет вырожденной). Однако, ковариантность решения, снова предполагающая равенство некоррелированных ошибок, имеет ту же форму, что и для решения полученного среднеквадратическим методом по Формуле 6.

 

Тетраэдр. Оси векторов приемник-спутник образуют тетраэдр (см. Рисунок 2). Объем этой геометрической фигуры связан с величиной DOP. Чем больше объем тетраэдра, тем меньше DOP. Тетраэдр самого большого объема возможен в случае, когда один из спутников находится в зените, а три остальных спутника расположены с равными по азимуту расстояниями ниже горизонта с углом возвышения –19,47 градусов: GDOP при этом будет составлять 1,581. Естественно, GPS приемник не способен принимать сигналы от спутников, расположенных ниже горизонта, поэтому наименьший GDOP (1,732) достижим в случае, когда один из спутников находится в зените, а три остальных спутника расположены с равными по азимуту расстояниями вблизи горизонта. Некоторые ранние модели GPS приемников могли отслеживать одновременно только четыре спутника. Эти приемники использовали такой алгоритм выбора видимых спутников, при котором отслеживались только те четыре, которые обеспечивали наименьшие значения DOP.

 

HDOP в сравнении с VDOP. Обычно, чем больше спутников используется при решении, тем меньше значения DOP и соответственно, меньше ошибка решения. Рисунок 3 показывает значения DOP, вычисленные для текущего состояния созвездия спутников, видимого при маске возвышения 15 градусов из Фредериктона в Канаде (Fredericton, New Brunswick, Canada). Значения HDOP находятся обычно между единицей и двойкой. Значения VDOP, большие чем значения HDOP, показывают, что ошибки определения местоположения в вертикальной плоскости больше, чем в горизонтальной. Мы получаем этот эффект потому, что спутники, с которых мы принимаем сигнал находятся выше приемника. Горизонтальные составляющие координат не подвержены этому эффекту, так как мы обычно принимаем сигналы с разных сторон.

Если бы земная поверхность была прозрачна для радиоволн, мы могли бы определять вертикальную составляющую координат с той же точностью, что и горизонтальную. Мы также можем увеличить точность определения вертикальной составляющей координат, если мы имеем приемник с точными часами или смещение хода часов которого от времени GPS может быть точно определено, так, что приемнику будет необходимо только уточнять свои координаты. Например, допустим, что мы наблюдаем один спутник в зените, а три других спутника расположены с равными по азимуту расстояниями на возвышении в 15 градусов от горизонта. Если мы оцениваем смещение хода часов вместе с координатами, HDOP составит 1,195, а VDOP – 1,558. Предположим теперь, что ошибка хода часов приемника равна нулю - HDOP по прежнему будет 1,195, но значение VDOP изменится на 0,913 – действительно лучше чем HDOP.

Возвращаясь к Рисунку 3, мы можем заметить большой всплеск величины HDOP (также как и PDOP и GDOP) в районе нуля часов. Что происходит в это время? В это время число видимых спутников, находящихся выше маски возвышения, падает до пяти. Положение этих пяти спутников на небе показано на Рисунке 4. Расположение спутников, спроецированное на плоскость горизонта, почти колинеарно, что делает элементы матрицы D большими. Если мы используем меньший угол маски возвышения в 5 градусов, большее число спутников станет доступно для приема сигналов и значение HDOP упадет до единицы, соответственно уменьшится GDOP (см. Рисунок 5). В действительности, величина HDOP находится в районе единицы весь день, за исключением коротких периодов, когда она возрастает до 1,5 или около того.

 Широта. Неравенство между значениями HDOP и VDOP больше для высоких (северных или южных) широт, потому что оттуда видно меньше высоких спутников. Это ограничение возникает оттого, что наклон орбит спутников GPS составляет около 55 градусов, а это означает, что вы никогда не увидите спутник прямо над собой с широт севернее или южнее 55 градусов. На полюсах возможно наибольшее возвышение спутников порядка 45 градусов.

Если мы используем маску возвышения 15 градусов и отслеживаем только четыре спутника – те четыре, которые позволяют получить наименьшие значения DOP – мы обнаружим, что значение HDOP находится между единицей и двойкой, в то время как VDOP практически всегда около трех и иногда увеличивается до семи. В этом нет ничего особенно удивительного, так как мы можем использовать спутники в диапазоне всего 30 градусов по возвышению. Насколько плох VDOP равный семи? Если ошибка UERE составляет 25 метров, среднеквадратическая ошибка по вертикальной плоскости должна быть около 175 метров, и с 95% уровнем неопределенности эта ошибка может увеличиться до 350 метров. Уменьшение маски возвышения до 5 градусов улучшает значение VDOP до двух-трех с редкими выбросами до четырех.

Больше спутников. Высокое значение DOP может иногда быть получено даже в средних широтах для приемников, позволяющих отслеживать все видимые спутники. В некоторых местах, таких как сильно залесенная местность и городские каньоны, антенна GPS приемника не может принимать сигнал со всех сторон из-за препятствий. Если мы получаем сигнал только из ограниченной области небесного пространства, значение DOP будет большим, точность определения местоположения уменьшится. Возможность слежения за большим количеством спутников может помочь в такой ситуации и применение совмещенных приемников GPS/GLONASS может позволить достичь требуемой точности. Новые технологии, используемые при создании приемников, позволяющие работать со слабыми сигналами GPS даже внутри зданий также позволят добиться хороших результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой короткой статье мы представили введение в концепцию потери точности и рассмотрели важность влияния геометрического расположения спутников и приемника на точность определения местоположения в GPS. Поскольку эта геометрия всегда будет оказывать некоторое влияние на определение местоположения с помощью GPS, новые спутниковые сигналы, развитие схемотехники приемников, использование дополнительных сигналов систем GLONASS и проектируемой Galileo помогут минимизировать такое влияние. В не очень далеком будущем мы можем ожидать повышение точности определения местоположения в реальном времени при автономном режиме до нескольких метров или лучше даже в сильно застроенных городских районах.

 

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаем признательность Полу Коллинзу (Paul Collins) из Нью-Брунсвикского университета (New Brunswick's) за подготовку графиков DOP (Рисунки 3 и 5).